3.3垂径定理 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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3.3垂径定理浙教版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.如图，是的直径，弦于点，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
3.如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以坐标原点为圆心，以为半径作交直线于点，则的值( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，点在的直径上，作正方形和正方形，其中点，在直径所在直线上，点，，，都在上，若两个正方形的面积之和为，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9.九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯该材料，锯口深寸，锯道长尺，如图，已知弦尺，弓形高寸注：尺寸，问这块圆柱形木材的直径是( )
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
10.九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深寸，锯道长尺．如图，已知弦尺，弓形高寸，注：尺寸问这块圆柱形木材的直径是( )
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.在中，弦和弦构成的，，分别是和的中点，则的度数为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长的最小值为______．
13.如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为 ．
14.如图，已知半径，点为圆上的一点，点为劣弧上的一动点，，，连接，要使取得最大值，则等于_______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．
求圆弧所在圆的半径的长．
当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施．若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？
16.本小题分
如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点求的长．
17.本小题分
如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、．
求证；
若，大圆和小圆的半径分别为和，则的长度是____．
18.本小题分
如图，为一张直径为的圆形纸片，现将上任意一点与圆心重合折叠，得折痕求折痕的长．
19.本小题分
如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点已知，．
求作此残片所在的圆不写作法，保留作图痕迹；
求中所作圆的半径．
20.本小题分
如图，是的直径，四边形内接于，交于点，．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
连接交于点，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
【解答】
解：连接交于点，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
米，
在中，米，
点到弦所在直线的距离米，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．根据垂径定理可以得到的长，在直角中，根据勾股定理即可求得．
【解答】
解：为圆的直径，弦，垂足为点．
．
在直角中，
．
则．
故选A
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
延长交于，根据、的度数易证得是等边三角形，由此可求出、的长；过作的垂线，设垂足为；在中，根据的长及的度数易求得的长，进而可求出的长；由垂径定理知，由此得解．
【解答】
解：延长交于，作于．
，
；
为等边三角形；
；
，
又，
；
；
；
故选：．
4.【答案】
【解析】如图，过点作于点，连结．，．
，，，，．
在中，，．
在中，，，，．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程，设的半径是米，由垂径定理，勾股定理，列出关于的方程，即可求解．
【解答】
解：设的半径是米，
，
米，
，
，
，
的半径是米．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理．也考查了勾股定理以及含度的直角三角形的性质．
作于，连结，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，即．
【解答】
解：作于，连结，如图，

，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，则，
直线交轴于点，交轴于点，
，，
在中，，，由勾股定理得，
，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
．
故选：．
过点作于点，则由垂径定理可得；由直线交轴于点，交轴于点，分别得出点和点的坐标，由勾股定理得出的值；再由面积法得出的长；然后由勾股定理求得的长，则的值也可得，最后用的长减去和的长即为的长．
本题考查了垂径定理、一次函数在几何问题中的应用、面积法及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：作于，设正方形的边长是，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
两个正方形的面积之和为，
，
或舍，
，，
，，
．
故选：．
设正方形的边长是，由条件得到，从而求出正方形的边长，得到正方形的边长，进一步求出，的长，即可求出的长．
本题考查正方形的性质，垂径定理，关键是由条件列出关于小正方形边长的方程，求出小正方形边长．
9.【答案】
【解析】解：设的半径为．
在中，，，，
则有，
解得，
的直径为寸，
故选：．
设的半径为在中，，，，则有，解方程即可；
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：设的半径为．
在中，，，，
则有，
解得，
的直径为寸，
故选：．
本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设的半径为在中，，，，则有，解方程即可．
11.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了垂径定理，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
连接，，利用垂径定理得，，再分类讨论，当，在圆心异侧时如图，利用四边形内角和得结果；当，在圆心同侧时如图，利用等角的余角相等得结果．
【解答】
解：连结，，
，分别是和的中点，
，．
当，在圆心异侧时，如图，在四边形中，
，
当，在圆心同侧时，如图，
，，
即．
综上，的度数为或．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．
易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由条件可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【解答】
解：对于直线，当时，，
故直线恒经过点，记为点．
过点作轴于点，
则有，，
．
过点，
，
．
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
的最小值为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点的位置是解此题的关键．
连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，根据勾股定理求出，代入求出即可．
【解答】
解：连接，如图，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时，
的最大值为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，延长交于，延长交于，连接．
，，
，，
，
当是直径时，的长最大，
连接，
，，，
，，
，
如图，延长交于，延长交于，连接根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得，当是直径时，的长最大，再证明，即可解决问题．
本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
15.【答案】解：连结，
由题意得：，，
在中，由勾股定理得：，
解得，，
故圆弧所在的圆的半径的长为；
连结，
，
在中，由勾股定理得：
，即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【解析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
连结，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
连结，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
16.【答案】解：过点作于点，
则，
，，，
，
，
，
，
．
【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
首先过点作于点，由，，，可求得的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得的长，由勾股定理求得的长，然后由垂径定理求得的长．
17.【答案】证明：作于，如图，
，
，，
，
．
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理．
作于，如图，根据垂径定理得到，，利用等量减等量差相等可得到结论
连接，如图，设，利用勾股定理得到，，则，然后解方程求出即可得到的长．
【解答】
见答案；
解：连接，如图，设，
在中，，
在中，，
，
解得，
．
故答案为．
18.【答案】略
【解析】略
19.【答案】解：作弦或的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，或、长为半径作圆，就是此残片所在的圆，如图．
如图，连接，设，则．
，
．
根据勾股定理列方程，得，
解得．
故所作圆的半径为．
【解析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决此题的关键．
由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；
在中，由勾股定理可求得半径的长．
20.【答案】证明：，
，
，
，
是直径，
，
，
．
解：，
，
设，
在中，，
，
，
，
，，
．
【解析】这部分证明，可得结论．
利用勾股定理求出半径，再求出，利用三角形的中位线定理可得结论．
本题考查垂径定理，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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