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和相似三角形有关的证明专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1.已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P.
(1)求证：△ADP∽△CBP；(2)求证：AP·BP＝DP·CP
2.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2＝AB·AD，
求证：△ABC∽△ACD.
3．已知：如图，AD·AB＝AE·AC，求证：△FDB∽△FEC.
4．已知：如图，＝＝．求证：AB·CE＝AC·BD．
5.试判断如图所示的两个矩形是否相似.
如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD边上，连结BF并延长，
交CD的延长线于点E．求证：△ABF∽△CEB．
7．如图，∠O＝90°，OA＝OB＝BC＝CD．证明：△ABC∽△DBA．
8.如图，在边长为1的小正方形组成的网 ( http: / / www.21cnjy.com )格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）证明三角形△ABC为直角三角形；（2）证明：△ABC∽△DEF相似；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 ( http: / / www.21cnjy.com )P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
连续递推，豁然开朗
9.已知：如图，A，C，E和B，F，D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE．
求证：OA·OD＝OC·OF．
10.已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）
11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
12．已知，如图，△ABC中，D在AC上，且AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，求证：BF∶FC＝1∶3.
思维拓展，更上一层
13．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F. 求证：BP2＝PE·PF.
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
如图所示，△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC＝BD∶DC.
要求：两种证明方法
参考答案
1.解：(1)证明：∠DAP＝∠BCP，∠ADP＝∠CBP(同弧所对圆周角相等)，
所以△ADP∽△CBP.
(2)因为△ADP∽△CBP，＝(相似三角形的对应边成比例)，所以AP·BP＝DP·CP.
2.证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.∵AC2＝AB·AD，∴＝，
∴△ABC∽△ACD.
3.证明：∵AD·AB＝AE·AC，∠A为公共角，∴△ABE∽△ACD，
∴∠B＝∠C，又∠BFD＝∠CFE，∴△FDB∽△FEC.
4.证明：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵＝，∴＝，∴△ABE∽△ACE，∴＝，∴AB·CE＝AC·BD．
5.证明：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.
从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，
于是两个矩形的长之比为=,宽之比为,
符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.
6.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．
7.证明：设OA＝OB＝BC＝CD＝x．根据勾股定理，得AB＝＝x，
AC＝＝x，AD＝＝x．
∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DBA．
8.证明：（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；
显然有AB2+AC2=BC2，
∴根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形。
（2）△ABC和△DEF相似。理由如下：
根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2。
∴。∴△ABC∽△DEF。
（3）如图：
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（3）连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，DE=4，
∴。∴△ABC∽△P2P4 P5。
9.证明：∵AB∥ED，∴＝，∴OA·OD＝OE·OB．
∵BC∥FE，∴＝，∴OE·OB＝OC·OF．∴OA·OD＝OC·OF．
10.证明：（1）∵，∴ ∠．∵∥，∴ ，
．∴ ． ∵ ，∴ △∽△．
（2）由△∽△，得．∴ ．
由△∽△，得．又∵ ∠∠，∴ △∽△．
∴ ． ∴ ． ∴ ．
11.证明：(1)如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A＝∠B，
又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；
如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴＝，∴CD＝CB.
12.证明：∵AD∶DC＝1∶2，∴AD∶AC＝1∶3.
作DG平行于AF交BC于G，则＝，
根据比例的性质知，＝＝，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，
∴BF＝FG.∴＝，即BF∶FC＝1∶3.
13.证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE＝∠PFC.
又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF.∴＝(相似三角形的对应边成比例)．
∴PC2＝PE·PF.∵PC＝BP∴BP2＝PE·PF.
14.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，
∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴＝，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC.
15.证明：过B作BE∥AC，交AD的延长线交于点E.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
又∵BE∥AC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴AB＝BE.
又∵BE∥AC，∴△BDE∽△CDA，
∴BE∶AC＝BD∶DC，所以AB∶AC＝BD∶DC.
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和相似三角形有关的计算专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
1.．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，求河的宽度
2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.
3. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，求的值 ．
4.如图，已知FE//CD，DE//BC，AF=3，AD=5，AE=4，求AC,AB的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．
（1）求证：△DFC∽△EFB；（2）若DC＝6，BE＝4，DE＝8，求DF的长度．
6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连结BD，AE⊥BD，垂足为E.(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)求线段BE的长．
7. 如图，在正方形中，分别是边上的点，
连结并延长交的延长线于点（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
8．如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，求路灯BM的高度
连续递推，豁然开朗
1．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，求正方形的边长．
2.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
．
思维拓展，更上一层
1．剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，求在“小纸片①”中，较长直角边长．
．
2．如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，求EJ的长
参考答案
夯实基础，稳扎稳打
1.解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝，∴AB＝40
2.解：由已知得△DEF∽△DCB，∴＝，∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，
CD＝8 m，∴＝.∴BC＝4 m．∴AB＝4＋1.5＝5.5(m)．
3.解：，
4.解：，，即，解得，，
，，即，解得，
5.（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，∴AECD，∴∠E＝∠CDF，
∵∠DFC＝∠EFB，∴△DFC∽△EFB．
（2）解：由（1）得：△DFC∽△EFB，∴，即，解得：DF＝．
6.解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC.
(2)∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.
由△ABE∽△DBC，得＝.
∵AB＝AD＝25，BC＝32，∴＝，∴BE＝20，
7.（1）证明：在正方形中，，.
∵ ∴ ，
∴ ，∴.
（2）解：∵ ∴ ，
由(1)得，∴ ，
∴ .由∥，得，∴ △∽△，
∴ ，∴ .
8．解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB∴△ACD∽△AMB，∴
同理可得： 由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴设BF＝x，则 ，，解得： ∴∴BM＝6
连续递推，豁然开朗
1.解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠MAB=∠BCE=90°，∠M+∠ABM=90°，∠ABM+∠CBE=90°，
∴∠M=∠CBE，∴△AMB∽△CBE，∴=，
∵MB=6，BE=4，∴===，
∵AB=BC，∴=，
设CE=2x，则BC=3x，在Rt△CBE中，
BE2=BC2+CE2，即42=（3x）2+（2x）2，解得x=，
∴CE=，AB=BC=，
2.解析 解法1:(两次相似)∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,
∵∠AOD=∠EFG=90°,
∴△AOD∽△EFG,∴=,即=,∴AO=15. 同理可得△BOC∽△AOD,∴=,即=,∴BO=12,∴AB=AO-BO=15-12=3,故旗杆的高AB是3米.
解法2:(构造相似三角形)如图,过点C作CM⊥OD交AD于M,易得△EGF∽△MDC,∴=,即=,∴CM=3,∵AB∥CM,AD∥CB,∴四边形ABCM为平行四边形,∴AB=CM=3,故旗杆的高AB是3米.
．
．思维拓展，更上一层
1.解：设则，∵，∴，∴，∴,
又∵，∴，∴，∴较长直角边为
2.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∵CF=2，CD=6，∴DF=DC-CF=6-2=4，
由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，∴∠FHJ=∠B，∠G=∠C
∵∠FHC+∠FHJ+∠JHB=180°，∠JHB+∠B+∠BJH=180°，∴∠FHC=∠BJH=∠EJG，
∴△CFH∽△GEJ，∴，即，∴EJ=2.8.
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和相似三角形有关的计算专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，AC=28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求该建筑物CD的高度．
2.如图，在△ABC中，∠=900，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E． BC=2DE，AB=10，
求AD的长．
3． 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，若矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，求a︰b的值
4．如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若AB=4，BE=3，AC=3，求CD 的长．
5．如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，求DF的长．
6.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
7．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，（1）求证：△ADE∽△CDF （2） 求DF长
8.如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)放置边长分别为3，4，x的三个正方形，求x的值
连续递推，豁然开朗
9．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，求
．
10．如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，求长
思维拓展，更上一层
11．如图，在四边形ABCD中，，，，，，求BD的长．
12．如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，求八边形每条边的长度.
参考答案
1.解：，，，，∽，
，，，，，，
2．解：∵，∴∵∴
∵∴∵，∴∴
3.解：由题意，得b︰＝a︰b，∴a︰b＝︰1．
4．解：∵、分别是、上的高，
即，∵，∴，∴，
∵，，，故，解得，
5.解：∵ED=2AE，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴，
∴△BCF∽△DEF，∴，∴，∴，
6..解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，
∴＝，∴DE＝＝＝12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝＝＝6.
7. 解：设DF和AE相交于O点，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，即∠FDC=∠ADE，∵AE⊥CF于点H，∴∠F+∠FOH=90°，∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，∴∠F=∠E，∴△ADE∽△CDF，∴AD：CD=DE：DF，∵AD=3，DC=4，DE=，∴DF=．
8.解： 如答图所示，可知△DEF∽△HMN，
∴＝，即＝，解得x＝7(x＝0舍去)．
9.【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵， ∴，
又∵，
∴，∴，
∴.
.10.解：正三角形∴
∵∴∴即∴
∵，，∴∴
11.解：如图，连接 过作交的延长线于
12.【解析】如图：
∵正方形的面积为4 ∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，在与中，∴ ，
∴，∵，∴，∴，
∵＝，∴＝∴，
由题意可得：∴∴∴
同理可得：∴∴
∴
∵∴∴OL=1/3OG=/6
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和相似三角形有关的函数问题专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1) 求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H. (1)求证：＝
(2)设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．
3．如图，在Rt△ABC 中， ，作 的内接矩形 ．设 DE=x ，矩形 面积 为S，求S与x的函数关系式,并求x取何值时矩形的面积最大？
连续递推，豁然开朗
4．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x, CE=y
如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；画y关于x的函数图象·世纪*教育网
5.已知：在△ABC中，BC=10，B ( http: / / www.21cnjy.com )C边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，画△DEF的面积S关于x的函数图象·世纪*教育网
6.如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.【版权所有：21教育】(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
.
思维拓展，更上一层
7.．在中，，点是边上的一动点，过点作交边于点，过点作交的延长线于点，分别以为对角线画矩形和矩形，则在从到的运动过程中，设CD=x, 矩形和矩形的面积和为y，求y与x的函数关系式，当矩形和矩形的面积和最小时,求线段EF长；
8．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝5，分别以AD、BC为斜边向矩形内作Rt△ADE≌Rt△CBF，∠AED＝∠CFB＝90°，连接EF，延长AE、BF相交于点G．
（1）求证：△ADE∽△BAG；（2）若DE＝4，求EF的长；
（3）在点E运动变化的过程中，求线段EF的最小值
参考答案
1.解：(1) ，．∴．又，，，，∴．∴, 自变量的取值范围为．
(2) ．
∴当时，有最大值，且最大值为．
2.解：(1)证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.
∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC，EF∥PQ，∴AH⊥EF.∴＝
(2)设矩形EFPQ的面积为y.∵＝，∴＝.∴AH＝.
∴DH＝4－x，∴y＝－x2＋4x＝－(x－)2＋5，
又∵a＝－<0，∴当x＝时，y有最大值5.
即当x＝时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.
3.解：设矩形 为S， ∵四边形 为矩形，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
当 时，S有最大值，最大值为300．即x取15时矩形的面积最大．
4．(l)在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300, ∴∠ABC＝∠ACB=750,
∴∠ABD＝∠ACE=1050, ∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB,∴△ADB∽△EAC.
∴ HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.DSMT4 ,即.
5. 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，∴EF= 10=10﹣2x，∴S=（10﹣2x） x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜10）， ( http: / / www.21cnjy.com )
6.解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP =90°
∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°∴∠QAB+ ∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中∵∴△ADP∽△ABQ
（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC ∴∵点M是PQ的中点 ∴
∴又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ∴ ∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：
当即时，线段BM长的最小值.
7.【解析】在中，，
，
设，则，，，即，，，
四边形和都是矩形，，四边形是平行四边形，，
则
=
=
，
，当时，有最小值，
，
，，
，
即当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为，
8．解：（1）∵∠DAB＝∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°＝∠BAG+∠DAE，
∴∠ADE＝∠BAG，又∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠CBF＝∠ADE，
∴∠CBG+∠DAE＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠G＝∠AED＝90°，∴△ADE∽△BAG；
（2）∵Rt△ADE中，AD＝5，DE＝4，∴AE＝3，∵△ADE∽△BAG，
∴＝＝，即＝＝，∴AG＝8，BG＝6，又∵BF＝DE＝4，
∴GF＝2，GE＝5，∴Rt△EFG中，EF＝＝＝；
（3）设DE＝x，AE＝y，则Rt△ADE中，x2+y2＝52＝25，
由Rt△ADE≌Rt△CBF，△ADE∽△BAG，可得AG＝2x，BG＝2y，BF＝x，
∴FG＝2y﹣x，EG＝2x﹣y，
∴Rt△EFG中，EF＝＝＝，
由（x﹣y）2≥0可得，x2+y2≥2xy，∴xy≤，
∴当xy＝时，EF的最小值为＝＝5，
A
E
D
B
C
10
x
20－x
N
10
x
20－x
N
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圆中的相似专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且AB＝AC.
(1)求证：DE平分∠CDF； (2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的长．
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D.
(1)求证：∠BAE＝∠CAD；(2)若⊙O的半径为4，AC＝5，CD＝2，求CF的长．
3.如图，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E，
若BC＝4，AD＝，求AE的长
连续递推，豁然开朗
4．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若，求的长
5．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．弦的长为，，求弦的长
思维拓展，更上一层
6．如图，⊙是的外接圆，弦AE交BC于点D，且．
（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．
，
参考答案
1.解： (1)证明：∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE＋∠ADC＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠EDF＝∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDE，∴DE平分∠CDF；
(2)∵∠ADB＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴＝，
∵AB＝AC＝3，AD＝2，∴AE＝＝，∴DE＝－2＝(cm)．
2.解： (1)证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°，
∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，又∵∠BEA＝∠ACD，∴∠BAE＝∠CAD；
(2)∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BEA＝∠ACD，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，即＝，解得BE＝，由(1)得∠BAE＝∠CAD，∴＝，∴CF＝BE＝.
3.解 ∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4，
∴∠D＝90°，∵在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，∴BD＝，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD∶BC＝∶4＝1∶5，
∴△ADE与△BCE的相似比为1∶5，设AE＝x，则BE＝5x，DE＝－5x，
∴CE＝28－25x，∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1，即AE＝1
4.如图示，连接，交于F，
∵D是的中点，∴，，∴，
∵，，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
设，则，，∴，∴，即，
在中，，
.
5.解：如图，连接AD、BE，
∵DE为的弦，，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，，
∵，∴，∴，
6.解：（1）证明：如图1，连接BE，
∵，，∴△ABD∽△AEB，∴，
又，∴，∴AB＝AC；
（2）如图2，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，
∵AF＝4，CF＝5，∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在BC的垂直平分线上，
∴，又AB＝AC，∴AH平分，∴，
∵OA＝OB，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，∴，∴，∴．
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