(共27张PPT)
3.5.2 圆周角（2）
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.进一步掌握圆周角的概念及定理，并能利用圆周角定理解决问题。
2.理解圆周角定理的推论，会用圆周角定理的推论解决实际问题.
3.创设问题情景激发对数学的“好奇心、求知欲”，在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养严谨求实的态度思考数学。
【想一想】
1.什么叫做圆周角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
新知导入
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径.
新知讲解
我们知道，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
新知讲解
∠1=∠ABD
∠2=∠BAC
∠3=∠CBD
【做一做】如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上. 找出图中分别与∠1，∠2，∠3 相等的角.
新知讲解
【例2】已知：如图3-40，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分AB. 求证:AC=BD.
）
证明：如图，连结CD.
∵AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等).
）
）
新知讲解
∵∠ABC= ∠ACB,
∴∠ABC=∠BCD.
∴AC=BD(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)，
∴AC=BD.
）
）
【例2】已知：如图3-40，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分AB. 求证:AC=BD.
）
新知讲解
【例3】如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=50°.
问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
分析：由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎
样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑. 船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.
新知讲解
解：∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB =∠C= 50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB >∠S，即当∠ASB <50°时船不进入暗礁区.所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB < 50°.
【例3】如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=50°.
问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，C，D分别是 ⊙O上直径AB两侧的点．若∠ABC＝25°，则 ∠BDC的度数是( )
A．85°
B．75°
C．70°
D．65°
D
课堂练习
2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于P，∠C=35°，∠APD=75°，则∠D=( ).
A．15°
B．40°
C．35°
D．75°
B
课堂练习
3.如图，AD是半圆的直径，O为圆心，B、C是半圆上的两点，∠ABC=110°，则∠CAD=_______.
20°
课堂练习
B
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数为( ).
A．20°
B．40°
C．70°
D．110°
︵
︵
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.如图，△ADC内接于圆O，BC是圆O的直径，若∠A=66°，则∠BCD等于( ).
A．66°
B．34°
C．24°
D．14°
C
课堂练习
6.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是________．
①AB＝AD；②BC＝CD；③AB＝AD；④∠BCA＝∠DCA；
⑤BC＝CD.
︵
︵
︵
︵
②⑤
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，A，C，B，D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB=6，∠ACD=45°，求弦AD的长.
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD=AD，∴∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
）
）
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
板书设计
课题：3.5.2 圆周角（2）
教师板演区
学生展示区
一、圆周角定理推论
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，AB是半圆的直径，C、D两点都在圆上，且CD=AD，∠ABC=50°，则∠DAB等于( ).
A．50°
B．40°
C．100°
D．65°
D
作业布置
2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥
B．①③⑤⑥
C．②③④⑥
D．①③④⑤
D
作业布置
选做题：
3.如图，△ABC内接于⊙O，E是BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OEB的度数为( ).
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
︵
D
作业布置
4.如图，AB是直径，C为AE与BD的交点，AD=DE，则图中与∠BCE相等的角有( ).
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F. 求证：CF=BF
︵
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠ABC.
∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A.
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F. 求证：CF=BF
︵
又∵C是BD的中点，∴CD=CB，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF.
︵
︵
︵
谢谢
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3.5.2 圆周角（2） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 圆的有关性质在我们的日常生活及工、农业生产等各个领域都有着广泛的运用，本节课是在学生学习了圆周角概念及性质的基础上对圆周角定理的又一次探索。它既是前面所学知识的延续，又是后面研究圆与其它平面图形的桥梁和纽带。本节课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有机渗透的“分类”思想、“由特殊到一般”思想、“化归”思想、因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十分重要的作用。
学习者分析 初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，既能在探索过程中有条理地清晰的阐述自己的观点，也能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。因此，本节课设计了一系列探究活动，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
教学目标 1.进一步掌握圆周角的概念及定理，并能利用圆周角定理解决问题。2.理解圆周角定理的推论，会用圆周角定理的推论解决实际问题。3.创设问题情景激发对数学的“好奇心、求知欲”，在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养严谨求实的态度思考数学。
教学重点 进一步掌握圆周角的概念及定理，学习理解圆周角定理的另一个推论。
教学难点 熟练掌握圆周角定理的几个推论，并且能够运用这些推论解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：【想一想】1.什么叫做圆周角？2.圆周角定理是什么？3.圆周角定理的推论1的内容是什么？答案：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.学生活动1：学生复习回忆上节课所学知识，回答教师提出的问题。活动意图说明：学生复习上节课知识，为本节课所学内容做铺垫。环节二：学习圆周角定理的另一个推论教师活动2：教师出示课本问题：我们知道，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.【做一做】如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上. 找出图中分别与∠1，∠2，∠3 相等的角.∠1=∠ABD∠2=∠BAC∠3=∠CBD学生活动2：学生在教师的引导下学习圆周角定理的另一个推论。学生根据圆周角定理推论完成课本练习题，通过解决问题理解推论。活动意图说明：通过例题，加深对知识了解，做到数和形完美结合，经过此题有意训练，培养学生的思维严密性，为以后能灵活地利用知识处理问题奠定了坚实基础。环节三：用圆周角定理的推论解决问题教师活动3：【例2】已知：如图3-40，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分. 求证:AC=BD.证明：如图，连结CD.∵，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等).∵∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠BCD.∴(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)，∴AC=BD.【例3】如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区 分析：由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑. 船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.解：∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB =∠C= 50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB >∠S，即当∠ASB <50°时船不进入暗礁区.所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB < 50°.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.5.2 圆周角（2）一、圆周角定理推论二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.如图，C，D分别是 ⊙O上直径AB两侧的点．若∠ABC＝25°，则 ∠BDC的度数是( D )A．85° B．75° C．70° D．65°2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于P，∠C=35°，∠APD=75°，则∠D=( B ).A．15° B．40° C．35° D．75°3.如图，AD是半圆的直径，O为圆心，B、C是半圆上的两点，∠ABC=110°，则∠CAD=___20°____.4.如图，在⊙O中，，∠B=70°，则∠A的度数为( B ).A．20° B．40° C．70° D．110°选做题：5.如图，△ADC内接于圆O，BC是圆O的直径，若∠A=66°，则∠BCD等于( C ).A．66° B．34° C．24° D．14°6.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是___②_⑤____．①AB＝AD；②BC＝CD；③；④∠BCA＝∠DCA；⑤【综合实践类作业】7.如图，A，C，B，D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB=6，∠ACD=45°，求弦AD的长.解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.如图，AB是半圆的直径，C、D两点都在圆上，且CD=AD，∠ABC=50°，则∠DAB等于( D ).A．50° B．40° C．100° D．65°2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是( D )A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥C．②③④⑥ D．①③④⑤选做题：3.如图，△ABC内接于⊙O，E是弧BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OEB的度数为( D ).A．70° B．65° C．60° D．55°4.如图，AB是直径，C为AE与BD的交点，AD=DE，则图中与∠BCE相等的角有( D ).A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【综合实践类作业】5.如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F. 求证：CF=BF证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠ABC.∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是弧BD的中点，∴弧CD=弧CB，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
教学反思 初三学生虽然有一定的理解能力，但在某种程度上，特别是平面几何问题，学生还是依靠事物的具体直观形象。所以我在教学过程中要利用多媒体辅助教学，使学习的主要内容不是由教师传授给学生，而是以问题的形式间接呈现出来的。教师引导学生通过动手实践、自主探索、合作交流等活动去发现问题，让学生学会用数学的观点思考问题、发现规律、验证猜想。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，进一步理解了旋转的性质，认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式，并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识，教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展，从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 （一）教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法；掌握点和圆的位置关系；会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程； 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题． （二）教学重点、难点 重点：1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法； 2.掌握点和圆的位置关系； 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念，完成课本练习题。1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法； 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径 2．外心的位置： （1）锐角三角形外心在三角形的内部 （2）直角三角形的外心在斜边上 （3）钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴. 2.通过猜想，证明，形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理． 2．运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2.解决有关弦的问题，1.探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理． 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质． 掌握圆心角定理，会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理，猜想结论，并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念． 2.掌握圆周角与圆心角的关系． 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义，并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理，会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．掌握圆内接四边形的性质定理． 理解“内对角”这一重点词语的意思．1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．了解正多边形可以通过切割圆得到；理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形，并了解正多边形有哪些性质？弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程； 2.了解弧长计算公式，并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式；用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2.了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．1.扇形的概念和扇形面积的计算公式． 2.弧长与扇形面积的关系． 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
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