压轴专题3 整式中的规律探索问题（含解析）

专题3 整式中的规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
A．5 B． C． D．
【变式训练1】阅读解答：
（1）填空：_____；_____；_____……
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；
（3）根据上述规律，计算：．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【变式训练3】已知整数，，…，（n为正整数）满足，，，，…，以此类推，则=__________．
类型二、图形类规律探索
例.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…
解答下面的问题：
（1）按此规律第6个图形中共有点的个数是_______．
（2）若n个图形中共有166个点，求n的值．
【变式训练1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【变式训练2】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要_______________枚棋子．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（　　）
A．99 B．100 C．101 D．102
2．计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是______．
3．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
4．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
5．一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么5张桌子需配椅子____把．
6．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．
7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
8．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
专题2 整式中的规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， 是的差倒数，∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，∴，∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以．
故选B．
【变式训练1】阅读解答：
（1）填空：_____；_____；_____……
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；
（3）根据上述规律，计算：．
【答案】（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）
【解析】（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；
（2）由题意可得：2n-2n-1=2n-1；
（3）设，
∴，
∴==．
故答案为：（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【答案】0 1
【解析】由题意得：第3个数是，
第4个数是，第5个数是，第6个数是，
则前6个数的和是，
第7个数是，第8个数是，
归纳类推得：这2021个数是按循环往复的，
，且前6个数的和是0，
这2021个数的和与前5个数的和相等，即为，
故答案为：0，1．
【变式训练3】已知整数，，…，（n为正整数）满足，，，，…，以此类推，则=__________．
【答案】
【解析】由题知a1=0，
a2=-|a1+1|=-1，a3=-|a2+2|=-1，a4=-|a3+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-2，a6=-|a5+5|=-3，…，
所以n是奇数时，an=，n是偶数时，an=，
∴a2021=-1010，
故答案为：-1010．
类型二、图形类规律探索
例.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…
解答下面的问题：
（1）按此规律第6个图形中共有点的个数是_______．
（2）若n个图形中共有166个点，求n的值．
【答案】（1）64；（2）n＝10．
【解析】（1）第1个图中共有1+1×3＝4个点，
第2个图中共有1+1×3+2×3＝10个点，
第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3＝19个点，…
第n个图点的个数为1+1×3+2×3+3×3+…+3n＝+1．
所以第6个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3+6×3＝64．
故答案为：64；
（2）当+1＝166时，解得n＝10，n=-11（负值舍去）．
故答案为：（1）64；（2）n＝10．
【变式训练1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【答案】1275
【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，故答案为：1275．
【变式训练2】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要_______________枚棋子．
【答案】
【解析】时，总数是；
时，总数为；
时，总数为枚；…；
时，有枚．
故答案为：．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【答案】114
【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，
则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=个，
故答案为：114，．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
【答案】2021
【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，
第n个图形五角星的个数是：1+3 n＝1+3n，
∵，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（　　）
A．99 B．100 C．101 D．102
【答案】B
【详解】
解：观察图形知：
第一个图中有3=1+2×1个正方形，
第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，
第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，
…
故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201（个）正方形，
解得n=100
故选B．
2．计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是______．
【答案】1
【详解】
解：由，，，，，，，…，可知计算结果中的个位数字以1、3、7、5为一个循环组依次循环，
∵，
∴的个位数字是1，
故答案为：1．
3．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
【答案】16 674
【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，
第n行的最后一个数字为：，
第6行最后一个数字为：；，解得：，
故答案为：16,674．
4．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
【答案】
【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，
∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M=m（n+1），
∴M=11×(12+1)=143．
故答案为：143．
5．一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么5张桌子需配椅子____把．
【答案】14
【详解】
解：设n张桌子需配椅子an（n为正整数）把．
观察图形，可知：a1＝6＝2×1+4，a2＝8＝2×2+4，a3＝10＝2×3+4，
∴an＝2n+4，
∴a5＝2×5+4＝14．
故答案为：14．
6．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．
【答案】（6n+2）
【详解】
解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．
拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．
拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．
…
拼接n（n为正整数）张桌子，可以坐（6n+2）人．
故答案是：（6n+2）．
7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1），符合；（2）；（3）见解析
【详解】
解：（1）由题意得：
，符合；
（2）；
答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；
（3）设上边第一个数为x，则其后的数为（x+1），第二行的两个数分别为（x+7），（x+8），
根据题意，得．
8．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．