【重难点突破】专题4.4 图形与坐标章末训练（含解析）

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图形与坐标章末重难点突破8大题型
【考点1 象限内和坐标轴上点的特征】
【例1】（2021 丰台区模拟）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（　　）
A．C（﹣1，0） B．D（﹣3，1） C．E（﹣2，﹣5） D．F（5，2）
【变式1-1】（2021 中原区校级模拟）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（　　）
A．（﹣2，10） B．（6，﹣30） C．（5，40） D．（﹣3，﹣20）
【变式1-2】（2021春 河东区期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上．
【变式1-3】（2021春 庐江县期中）如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；
②当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；
③当表示政府广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；
④当表示政府广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【考点2 点到坐标轴的距离】
【例2】（2021春 饶平县校级期末）若点P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．则点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【变式2-1】（2021春 阳信县期中）已知平面直角坐标系中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．
【变式2-2】（2021春 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，3）作PA⊥y轴，垂足为点A，那么PA的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．
【变式2-3】（2021春 金乡县期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）
若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
【考点3 象限角平分线上点的特征】
【例3】（2021春 饶平县校级月考）已知点A（a﹣2，﹣2），B（﹣2，2b+1），A、B两点在第一、三象限的角平分线上．请确定a、b的值．
【变式3-1】（2021秋 监利县期中）已知点A（a，2）、B（﹣3，b），根据下列条件求出a、b的值：
（1）AB∥y轴；
（2）A、B两点在第二、四象限的角平分线上；
（3）点A在某象限的角平分线上，点B到x轴的距离是4．
【变式3-2】（2021秋 建湖县期末）已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【变式3-3】（2021秋 监利县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1） 由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A′坐标为（2，0），请在图中分别标明点B（5，3），C（﹣2，﹣5）关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′　
（2） 　、C′　 　；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′坐标为　 　．
【考点4 平行于坐标轴的直线上的点的特征】
【例4】（2021春 武昌区期中）已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
【变式4-1】（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系中，线段AB＝3，且AB∥x轴，如果点A的坐标为（﹣1，2），那么点B的坐标是 　 　．
【变式4-2】（2021春 饶平县校级期末）解答下列各题
（1）已知点P（a﹣1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
【变式4-3】（2021春 和平区校级期中）已知点A的坐标是A（﹣2，4），线段AB∥y轴，且AB＝5，则B点的坐标是　 　．
【考点5 图形在坐标轴上的对称】
【例5】（2021春 博兴县期末）如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（﹣2，2）表示左眼，用（0，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【变式5-1】（2021 兰州）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【变式5-2】（2021春 梁平区期末）中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化，如图，如果士所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），相所在位置的坐标为（2，﹣2），那么将棋子炮右移一格后的位置的坐标为　 　．
【变式5-3】已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为：A（﹣3，4），B（4，﹣2）．
（1）求点A、B关于y轴对称的点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中分别作出点A、B关于x轴的对称点M、N，顺次连接AM、BM、BN、AN，求四边形AMBN的面积．
【考点6 点的坐标与图形的面积】
【例6】（2021春 黄埔区期末）如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：
（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；
（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【变式6-1】（2021秋 姑苏区期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
【变式6-2】（2021春 扎兰屯市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a，b的值及S△ABC；
（2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标．
【变式6-3】（2021春 红花岗区校级期末）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点7 图形在坐标轴上的平移】
【例7】（2021春 乐陵市期中）如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．
（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．
（2）市场、超市的坐标分别为　 　、　 　；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）
【变式7-1】（2021春 海珠区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（　　）
A．（4，2） B．（1，0） C．（4，4） D．（4，0）
【变式7-2】（2021春 增城区期中）在平面直角坐标系中，线段CD是线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）时对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣8，﹣3） B．（0，1） C．（4，2） D．（1，8）
【变式7-3】（2021春 饶平县校级期末）线段AB经过平移得到线段CD，其中点A、B的对应点分别为点C、D，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段AB上的一点P（a，b）经过平移后，在线段CD上的对应点Q的坐标是（　　）
A．（a﹣1，b+3） B．（a﹣1，b﹣3） C．（a+1，b+3） D．（a+1，b﹣3）
【考点8 点在坐标内的变化规律】
【例8】（2021春 景县期末）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　）
A．（44，4） B．（44，3） C．（44，5） D．（44，2）
【变式8-1】（2021春 莆田校级月考）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称轴P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2016的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【变式8-2】（2021秋 永嘉县期末）把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标．例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（﹣1，2）．那么，2004的对应点的坐标是什么？
【变式8-3】（2021秋 丰台区期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（　　）
A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
图形与坐标章末重难点突破
【考点1 象限内和坐标轴上点的特征】
【例1】（2021 丰台区模拟）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（　　）
A．C（﹣1，0） B．D（﹣3，1） C．E（﹣2，﹣5） D．F（5，2）
【解题思路】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．
【解答过程】解：根据点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），
可得：
C（0，0），D（﹣3，1），E（﹣5，﹣2），F（5，﹣2），
故选：B．
【变式1-1】（2021 中原区校级模拟）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（　　）
A．（﹣2，10） B．（6，﹣30） C．（5，40） D．（﹣3，﹣20）
【解题思路】根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是（﹣3，﹣20）．
【解答过程】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是（﹣，﹣），观察各选项只有D符合题意，
故选：D．
【变式1-2】（2021春 河东区期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上．
【解题思路】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a，再求解即可；
（2）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
【解答过程】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上，
∴2a+8＝0，
解得a＝﹣4，
所以，a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，
所以，点P（﹣6，0）；
（2）∵点P（a﹣2，2a+8）在y轴上，
∴a﹣2＝0，
解得a＝2，
所以，2a+8＝2×2+8＝12，
所以，点P（0，12）.
【变式1-3】（2021春 庐江县期中）如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；
②当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；
③当表示政府广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；
④当表示政府广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【解题思路】根据各结论所给两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案．
①每个小格1个单位，可做判断；
②每个小格2个单位，可做判断；
③每个小格2个单位，且原点不在格点上，可做判断；
④每个小格3个单位，且原点不在格点上，可做判断．
【解答过程】解：①当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；
所以①正确，
②当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；
所以②正确；
③当表示政府广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；
所以③正确，
④当表示政府广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）；
所以④正确．
故选：D．
【题型2 点到坐标轴的距离】
【例2】（2021春 饶平县校级期末）若点P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．则点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【解题思路】根据点P的位置确定P点坐标即可．
【解答过程】解：∵点P在x轴的下方，到x轴的距离是3，
∴P点纵坐标为﹣3，
∵P在y轴的左方，到y轴的距离是2，
∴P点横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，﹣3），
故选：D．
【变式2-1】（2021春 阳信县期中）已知平面直角坐标系中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．
【解题思路】根据点的到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求出a的值，再求解即可．
【解答过程】解：∵点M的坐标为（2﹣a，3a+6），且点M到两坐标轴的距离相等，
∴2﹣a＝3a+6或（2﹣a）+（3a+6）＝0，
解得，a＝﹣1或a＝﹣4，
∴M点坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
【变式2-2】（2021春 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，3）作PA⊥y轴，垂足为点A，那么PA的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．
【解题思路】根据点（x，y）到y轴的距离是|x|，可以求出PA的长度．
【解答过程】
解：如图，∵过点P（﹣2，3）作PA⊥y轴，垂足为点A，
∴线段PA的长度是点P到y轴的距离；
∵点P（﹣2，3）到y轴的距离是2，
∴PA＝2．
故选：A．
【变式2-3】（2021春 金乡县期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）
若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
【解题思路】根据y轴上点的横坐标为零，可得答案；
【解答过程】解：由点A在y轴上，得
3a﹣5＝0，解得a，a+1，
若点A在y轴上，a的值是，点A的坐标（0，）
【题型3 象限角平分线上点的特征】
【例3】（2021春 饶平县校级月考）已知点A（a﹣2，﹣2），B（﹣2，2b+1），A、B两点在第一、三象限的角平分线上．请确定a、b的值．
【解题思路】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列式计算即可得解．
【解答过程】解：∵A、B两点在第一、三象限的角平分线上，
∴a﹣2＝﹣2，2b+1＝﹣2，
解得a＝0，b．
【变式3-1】（2021秋 监利县期中）已知点A（a，2）、B（﹣3，b），根据下列条件求出a、b的值：
（1）AB∥y轴；
（2）A、B两点在第二、四象限的角平分线上；
（3）点A在某象限的角平分线上，点B到x轴的距离是4．
【解题思路】（1）根据与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同、纵坐标不等求解；
（2）根据第二、四象限的角平分线上点的横纵坐标互为相反数求解；
（3）根据角平分线的性质和点到坐标轴的距离的意义得到|a|＝2，|b|＝4，然后根据绝对值的意义求a、b的值．
【解答过程】解：（1）∵AB∥y轴，
∴a＝﹣3，b≠2；
（2）∵A、B两点在第二、四象限的角平分线上，
∴a+2＝0，﹣3+b＝0，
∴a＝﹣2，b＝3；
（3）∵点A在某象限的角平分线上，
∴|a|＝2，解得a＝2或﹣2；
∵点B到x轴的距离是4，
∴|b|＝4，
∴b＝4或﹣4．
【变式3-2】（2021秋 建湖县期末）已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【解题思路】（1）根据角平分线上的点到坐标轴的距离相等，可得答案；
（2）根据坐标的和，可得方程．
【解答过程】解：（1）由题意，得
4x＝x﹣3，
解得x＝﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x＝﹣1．
（2）由题意，得
4x+[﹣（x﹣3）]＝9，
则3x＝6，
解得x＝2，此时点P的坐标为（8，﹣1），
∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x＝2．
【变式3-3】（2021秋 监利县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A′坐标为（2，0），请在图中分别标明点B（5，3），C（﹣2，﹣5）关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′　（3，5）　、C′　（﹣5，﹣2）　；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′坐标为　（b，a）　．
【解题思路】（1）分别作出点B和C关于直线y＝x的对称点B′、C′，然后写出它们的坐标；
（2）利用（1）三组对应点的坐标规律得到关于直线y＝x对称的点的坐标特征为横纵坐标互换．
【解答过程】解：（1）如图，B′（3，5）、C′（﹣5，﹣2）；
（2）P′（b，a）．
故答案为（3，5），（﹣5，﹣2）；P′（b，a）．
【题型4 平行于坐标轴的直线上的点的特征】
【例4】（2021春 武昌区期中）已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
【解题思路】根据平行于x轴的直线纵坐标相等解答可得．
【解答过程】解：∵AB∥x轴，
∴b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
【变式4-1】（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系中，线段AB＝3，且AB∥x轴，如果点A的坐标为（﹣1，2），那么点B的坐标是 　（﹣4，2），（2，2）　．
【解题思路】根据AB∥x轴知点A、B纵坐标相等，再根据AB＝3知其横坐标的两种可能取值，从而得出答案．
【解答过程】解：∵AB∥x轴且A（﹣1，2），
∴点B的纵坐标为2，
又∵AB＝3，
∴点B的横坐标为﹣1+3＝2或﹣1﹣3＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，2）或（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，2），（2，2）．
【变式4-2】（2021春 饶平县校级期末）解答下列各题
（1）已知点P（a﹣1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
【解题思路】（1）让点P的横坐标为0即可求得点P的坐标；
（2）让两点的纵坐标相等，保证两点不是同一个点即可．
【解答过程】解：（1）∵点P在y轴上，
∴a﹣1＝0，即a＝1，
∴点P坐标为（0，9）；
（2）∵两点A（﹣3，m），B（n，4），且AB∥x轴，
∴m＝4，n≠﹣3．
【变式4-3】（2021春 和平区校级期中）已知点A的坐标是A（﹣2，4），线段AB∥y轴，且AB＝5，则B点的坐标是　（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）　．
【解题思路】根据A的坐标和AB∥y轴确定横坐标，根据AB＝5可确定B点的纵坐标．
【解答过程】解：∵线段AB∥y轴，A的坐标是A（﹣2，4），
∴B点的横坐标为﹣2，
又∵AB＝5，
∴B点的纵坐标为﹣1或9，
∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣2，9），
故答案为：（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）
【题型5 图形在坐标轴上的对称】
【例5】（2021春 博兴县期末）如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（﹣2，2）表示左眼，用（0，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【解题思路】以左眼向下2个单位为原点，建立平面直角坐标系，然后写出嘴的坐标即可．
【解答过程】解：建立平面直角坐标系如图，
嘴的坐标为（﹣1，0）．
故选：B．
【变式5-1】（2021 兰州）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解题思路】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（﹣2，3），可得点N的坐标．
【解答过程】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，
∴点N与点P关于原点对称，
又∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点N的坐标为（2，﹣3），
故选：C．
【变式5-2】（2021春 梁平区期末）中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化，如图，如果士所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），相所在位置的坐标为（2，﹣2），那么将棋子炮右移一格后的位置的坐标为　（﹣2，1）　．
【解题思路】根据平面直角坐标系即可解决问题；
【解答过程】解：平面直角坐标系如图所示：
炮的位置（﹣3，1），向右平移一格后的坐标为（﹣2，1），
故答案为（﹣2，1）．
【变式5-3】已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为：A（﹣3，4），B（4，﹣2）．
（1）求点A、B关于y轴对称的点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中分别作出点A、B关于x轴的对称点M、N，顺次连接AM、BM、BN、AN，求四边形AMBN的面积．
【解题思路】（1）平面内关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（2）根据题意，易得M，N的坐标；进而可得AM、BM、BN、AN的长；梯形的面积公式计算即可．
【解答过程】解：（1）根据轴对称的性质，得A（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4）；
点B（4，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．
（2）根据题意：点M、N与点A、B关于x轴对称，可得M（﹣3，﹣4），N（4，2）；
进而可得四边形AMBN为梯形，且AM＝8，BN＝4．
故四边形AMBN的面积为 （8+4）×7＝42．
【题型6 点的坐标与图形的面积】
【例6】（2021春 黄埔区期末）如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：
（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；
（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．
【解题思路】（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；
（3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答过程】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
（2）体育馆C（1，﹣3），食堂D（2，0）如图所示；
（3）四边形ABCD的面积＝4×53×32×31×31×2，
＝20﹣4.5﹣3﹣1.5﹣1，
＝20﹣10，
＝10．
【变式6-1】（2021秋 姑苏区期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
【解题思路】（1）利用点A的坐标画出直角坐标系；
（2）根据点的坐标的意义描出点C；
（3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积得到△ABC的面积．
【解答过程】解：（1）如图，点O即为原点，
（2）如图，点C即为所求；
（3）S△ABC＝3×42×11×43×3＝4.5．
【变式6-2】（2021春 扎兰屯市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a，b的值及S△ABC；
（2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标．
【解题思路】（1）由“|a+2|0”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACMS△ABC，即可得出AM的值，从而得出点M的坐标．
【解答过程】解：（1）∵|a+2|0，
∴a+2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．
又∵点C（0，3），
∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，
∴S△ABCAB CO6×3＝9．
（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
又∵S△ACMS△ABC，
∴AM OC9，
∴|x+2|×3＝3，
∴|x+2|＝2，
即x+2＝±2，
解得：x＝0或﹣4，
故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．
【变式6-3】（2021春 红花岗区校级期末）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）因为点A与点B都在x轴上，所以到点A的距离为2的点有两个．
（2）点A、B共线，故：S△ABCAB×4．
（3）设存在一点P（0，y），则由S△ABP AB |y|＝7分析求解．
【解答过程】解：（1）如下图所示：
△AB′C或△AB″C是所求作的三角形．
由图形可知：点B的坐标为（﹣3，0）或（1，0）．
（2）S△ABC AB CB′4，
即：△ABC的面积为4．
（3）设存在一个点P（0，y），使得使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，
则：S△ABP AB |y|＝7
即：2×|y|＝7
解之得：y＝±7
所以，点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7），其中，x为任意一个实数．
即：存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，其中点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．
【题型7 图形在坐标轴上的平移】
【例7】（2021春 乐陵市期中）如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．
（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．
（2）市场、超市的坐标分别为　（4，3）　、　（2，﹣3）　；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）
【解题思路】（1）利用火车站和宾馆的坐标画出直角坐标系；
（2）利用坐标系中各象限点的坐标特征写出市场、超市的坐标；
（3）把体育场、宾馆和火车站的横坐标不变，纵坐标减去4描出各点即可得到△A′B′C′；
【解答过程】解：（1）如图，
（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；
（3）如图；
【变式7-1】（2021春 海珠区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（　　）
A．（4，2） B．（1，0） C．（4，4） D．（4，0）
【解题思路】让点P的横坐标加1，纵坐标减2即可得到平移后点B的坐标．
【解答过程】解：将点P（3，2）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3+1，2﹣2），即（4，0），
故选：D．
【变式7-2】（2021春 增城区期中）在平面直角坐标系中，线段CD是线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）时对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣8，﹣3） B．（0，1） C．（4，2） D．（1，8）
【解题思路】根据点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），可知横坐标由﹣2变为2，向又移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，以此规律可得D的对应点的坐标．
【解答过程】解：点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），可知横坐标由﹣2变为2，向右移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，
于是B（﹣4，﹣1）的对应点D的横坐标为﹣4+4＝0，点D的纵坐标为﹣1+2＝1，
故D（0，1）．
故选：B．
【变式7-3】（2021春 饶平县校级期末）线段AB经过平移得到线段CD，其中点A、B的对应点分别为点C、D，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段AB上的一点P（a，b）经过平移后，在线段CD上的对应点Q的坐标是（　　）
A．（a﹣1，b+3） B．（a﹣1，b﹣3） C．（a+1，b+3） D．（a+1，b﹣3）
【解题思路】依据B（1，3），D（2，0），可得线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD，再根据P（a，b），即可得到对应点Q（a+1，b﹣3）．
【解答过程】解：由图可得，点A、B的对应点分别为点C、D，而B（1，3），D（2，0），
∴线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD，
又∵P（a，b），
∴Q（a+1，b﹣3），
故选：D．
【题型8 点在坐标内的变化规律】
【例8】（2021春 景县期末）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　）
A．（44，4） B．（44，3） C．（44，5） D．（44，2）
【解题思路】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【解答过程】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动，
..．
于是会出现：
（44，44）点粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子将会向下运动，
∴在第2021分钟时，粒子又向下移动了2021﹣1980＝41个单位长度，
∴粒子的位置为（44，3），
故选：B．
【变式8-1】（2021春 莆田校级月考）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称轴P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2016的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【解题思路】从特殊到一般寻找规律，发现从P5开始出现循环，由此即可解决问题．
【解答过程】解：由题意P1（2，0），P2（0，﹣2），P3（﹣2，0），P4（0，2），P5（2，0），…P5与P1重合，从P5开始出现循环，
2016÷4＝504，
∴P2016与P4重合，
∴P2016（0，2）．
故选：A．
【变式8-2】（2021秋 永嘉县期末）把自然数按下图的次序排在直角坐标系中，每个自然数就对应着一个坐标．例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（﹣1，2）．那么，2004的对应点的坐标是什么？
【解题思路】观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．依此先确定2025的坐标为（22，﹣22），再根据图的结构求得2004的坐标．
【解答过程】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．
452＝2025，
由2n+1＝45得n＝22，
所以2025的坐标为（22，﹣22）．
2004＝2025﹣21，22﹣21＝1，
所以2004的坐标是（1，﹣22）．
【变式8-3】（2021秋 丰台区期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（　　）
A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
【解题思路】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置．
【解答过程】解：由图可得，
点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），
第二次碰撞后的点的坐标为（3，4），
第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），
第四次碰撞后的点的坐标为（8，1），
第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），
第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），
…，
∵2020÷6＝336…4，
∴小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（8，1），
故选：D．
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