浙教版八年级下册第2章 2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．
故选D．
【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
2．△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），
根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，
a+b=6，ab=m，
∵a＜b+5，即a﹣b＜5，
∴（a﹣b）2＜25，
∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，
∴m＞，
∴m的取值范围是＜m≤9．
故选B．
【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．
3．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（ ）
A．19 B．18 C．15 D．13
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0
所以 3k2+16k+16≤0，
所以 （3k+4）（k+4）≤0
解得﹣4≤k≤﹣．
又由x1+x2=k﹣2，x1 x2=k2+3k+5，得
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，
当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．
故选：B．
【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．
4．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（ ）
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，
所以p=﹣1，q=﹣2．
故选：B．
【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．
5．若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（ ）
A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．
故选A．
【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．
6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，
所以===﹣1．
故选A．
【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．
7．方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（ ）
A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；
当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，
所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．
故选B．
【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．
8．已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（ ）
A．0 B． C． D．0或
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；
由5n2+2n﹣3=0得 n1=，n2=﹣1．
=，
①当m=﹣1，n=时，原式=；
②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；
③当m=，n=时，原式=0；
④当m=，n=﹣1时，原式=．
综上所述，=0或．
故答案为0或．
【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．
9．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a＜2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，
（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．
所以﹣＜a≤符合条件，
②若方程有两个正根，则 ，
解可得 a＞，
综上可得，﹣＜a≤2．
故选C．
【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根 （1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．
10．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（ ）
A．-4 B．8 C．6 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，
故选：A．
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．
11．（2015八下·绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
12．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤
x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，
x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2
=4m2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m﹣）2+，
所以m=时，x1（x2+x1）+有最小值，最小值为．
故选D．
【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+的最小值为．
13．（2016八下·安庆期中）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．
A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；
D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，
故选：B．
【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和 是否为3及两根之积 是否为2即可．
14．（2016八下·安庆期中）若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．
α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005．
所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．
故选B．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
15．（2015八下·江东期中）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2+4x﹣3=0 C．x2﹣4x+3=0 D．x2+3x﹣4=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，
则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3
∴p=﹣4，q=3，
∴原方程为x2﹣4x+3=0．
故选C．
【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．
二、填空题
16．已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则 ．
【答案】m=1或m=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，
∵，而由知，x1，x2异号．
故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，
则得：，
从上面两式消去k，得：，
即：m2﹣6m+5=0，
解之得：m1=1，m2=5．
故答案为：1或5．
【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．
17．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为 ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，
∴a2﹣a﹣3=0，
∴a2=a+3，
∴a2+b+3=a+3+b+3
=a+b+6，
∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，
∴a+b=1，
∴a2+b+3=1+6=7．
故答案为7．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．
18．（2016八下·安庆期中）等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于 ．
【答案】25或16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，
此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；
当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．
故答案为25或16．
【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．
19．（2015八上·重庆期中）从﹣4、- 、0、 、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条件的a值的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；概率公式
【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣ ，符合题意；
当a=﹣ 时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣ ，符合题意；
当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，不符合题意；
当a= 时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣ ，符合题意；
当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2= ，符合题意．
∴取到满足条件的a值的概率= ．
故答案为： ．
【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．
20．（2015八上·永胜期末）已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有 个．
【答案】6；2
【知识点】分式有意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，
∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，
∴a=6；
当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，
∵a＜6，
∴△=25﹣4a＞0，
故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，
即使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6，2．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
三、解答题
21．已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．
【答案】解：由根与系数的关系：，，
∴+
=
=
=
=4．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系求得关于mn的代数式值，由平方关系变形，代入所求的代数式求值．
22．已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）
（1）证明方程的两根都小于0；
（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．
【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，
∴﹣4≤k≤﹣，
∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，
∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，
∴方程的两根都小于0；
（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，
∵﹣4≤k≤﹣，
∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．
23．已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．
四、综合题
24．（2015八下·绍兴期中）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．
【答案】（1）解：根据题意得
[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，
解得，x1=k+1，x2=k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）2+（k+2）2=52，
解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），
∴k=2
（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0
4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，
不可能是等腰三角形．
②如果AB=5，或者AC=5
x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0
k2﹣7k+12=0
（k﹣4）（k﹣3）=0
k=4或者k=3（都符合题意）
k=4时：
x2﹣11x+30=0
（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，
k=3时：
x2﹣9x+20=0
（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．
25．（2016八下·西城期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（用含m的代数式表示）；
①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；
②若mx1＜8﹣4x2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，
∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，
∵m＞3，
∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）①由求根公式得x= ，
∴x=1，或x= ，
∵m＞3，
∴ ＞3，
当x1＜x2，
∴x1=1，x2=2﹣ ；
当x1＞x2，
这种情况不存在；
∴x1=1，x2=2﹣ ；
②∵mx1＜8﹣4x2，
∴m＜8﹣4（2﹣ ），
解得：3＜m＜2 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2，即可得到 结果．
26．（2015八下·杭州期中）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+ = = = =﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则 + = =﹣ ， = = ，
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
1 / 1浙教版八年级下册第2章 2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
2．△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤
3．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（ ）
A．19 B．18 C．15 D．13
4．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（ ）
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2
5．若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（ ）
A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5
6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
7．方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（ ）
A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013
8．已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（ ）
A．0 B． C． D．0或
9．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a＜2 B． C． D．
10．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（ ）
A．-4 B．8 C．6 D．0
11．（2015八下·绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
13．（2016八下·安庆期中）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0
14．（2016八下·安庆期中）若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
15．（2015八下·江东期中）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2+4x﹣3=0 C．x2﹣4x+3=0 D．x2+3x﹣4=0
二、填空题
16．已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则 ．
17．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为 ．
18．（2016八下·安庆期中）等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于 ．
19．（2015八上·重庆期中）从﹣4、- 、0、 、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条件的a值的概率为 ．
20．（2015八上·永胜期末）已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有 个．
三、解答题
21．已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．
22．已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）
（1）证明方程的两根都小于0；
（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．
23．已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？
四、综合题
24．（2015八下·绍兴期中）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．
25．（2016八下·西城期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（用含m的代数式表示）；
①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；
②若mx1＜8﹣4x2，直接写出m的取值范围．
26．（2015八下·杭州期中）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．
故选D．
【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），
根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，
a+b=6，ab=m，
∵a＜b+5，即a﹣b＜5，
∴（a﹣b）2＜25，
∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，
∴m＞，
∴m的取值范围是＜m≤9．
故选B．
【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0
所以 3k2+16k+16≤0，
所以 （3k+4）（k+4）≤0
解得﹣4≤k≤﹣．
又由x1+x2=k﹣2，x1 x2=k2+3k+5，得
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，
当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．
故选：B．
【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，
所以p=﹣1，q=﹣2．
故选：B．
【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．
故选A．
【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，
所以===﹣1．
故选A．
【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；
当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，
所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．
故选B．
【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；
由5n2+2n﹣3=0得 n1=，n2=﹣1．
=，
①当m=﹣1，n=时，原式=；
②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；
③当m=，n=时，原式=0；
④当m=，n=﹣1时，原式=．
综上所述，=0或．
故答案为0或．
【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，
（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．
所以﹣＜a≤符合条件，
②若方程有两个正根，则 ，
解可得 a＞，
综上可得，﹣＜a≤2．
故选C．
【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根 （1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，
故选：A．
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．
故选C．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤
x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，
x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2
=4m2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m﹣）2+，
所以m=时，x1（x2+x1）+有最小值，最小值为．
故选D．
【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+的最小值为．
13．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．
A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；
D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，
故选：B．
【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和 是否为3及两根之积 是否为2即可．
14．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．
α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005．
所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．
故选B．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
15．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，
则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3
∴p=﹣4，q=3，
∴原方程为x2﹣4x+3=0．
故选C．
【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．
16．【答案】m=1或m=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，
∵，而由知，x1，x2异号．
故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，
则得：，
从上面两式消去k，得：，
即：m2﹣6m+5=0，
解之得：m1=1，m2=5．
故答案为：1或5．
【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．
17．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，
∴a2﹣a﹣3=0，
∴a2=a+3，
∴a2+b+3=a+3+b+3
=a+b+6，
∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，
∴a+b=1，
∴a2+b+3=1+6=7．
故答案为7．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．
18．【答案】25或16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，
此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；
当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．
故答案为25或16．
【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．
19．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；概率公式
【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣ ，符合题意；
当a=﹣ 时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣ ，符合题意；
当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，不符合题意；
当a= 时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣ ，符合题意；
当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣ ，x2= ，符合题意．
∴取到满足条件的a值的概率= ．
故答案为： ．
【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．
20．【答案】6；2
【知识点】分式有意义的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，
∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，
∴a=6；
当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，
∵a＜6，
∴△=25﹣4a＞0，
故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，
即使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6，2．
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
21．【答案】解：由根与系数的关系：，，
∴+
=
=
=
=4．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系求得关于mn的代数式值，由平方关系变形，代入所求的代数式求值．
22．【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，
∴﹣4≤k≤﹣，
∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，
∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，
∴方程的两根都小于0；
（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，
∵﹣4≤k≤﹣，
∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．
23．【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．
24．【答案】（1）解：根据题意得
[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，
解得，x1=k+1，x2=k+2，
若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，
那么有（k+1）2+（k+2）2=52，
解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），
∴k=2
（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0
4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，
不可能是等腰三角形．
②如果AB=5，或者AC=5
x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0
k2﹣7k+12=0
（k﹣4）（k﹣3）=0
k=4或者k=3（都符合题意）
k=4时：
x2﹣11x+30=0
（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，
k=3时：
x2﹣9x+20=0
（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．
25．【答案】（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，
∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，
∵m＞3，
∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）①由求根公式得x= ，
∴x=1，或x= ，
∵m＞3，
∴ ＞3，
当x1＜x2，
∴x1=1，x2=2﹣ ；
当x1＞x2，
这种情况不存在；
∴x1=1，x2=2﹣ ；
②∵mx1＜8﹣4x2，
∴m＜8﹣4（2﹣ ），
解得：3＜m＜2 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2，即可得到 结果．
26．【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+ = = = =﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则 + = =﹣ ， = = ，
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
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