第四章相似三角形专题4.2 由平行线截得的比例线段【八大题型】（解析版）
文档属性
| 名称 | 第四章相似三角形专题4.2 由平行线截得的比例线段【八大题型】（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-27 15:22:35 | ||
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文档简介
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平行线分线段成比例【八大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc23847" 【题型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc17840" 【题型2 “X”字型】 2
HYPERLINK \l "_Toc7971" 【题型3 “A”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc8529" 【题型4 “8”字型】 5
HYPERLINK \l "_Toc22567" 【题型5 判断比例式】 6
HYPERLINK \l "_Toc182" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 7
HYPERLINK \l "_Toc20548" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 8
HYPERLINK \l "_Toc13463" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 9
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式1-1】（2022 福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
【变式1-2】（2022秋 清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022秋 长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2022春 莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】（2022 广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（2022秋 船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2-3】（2022秋 合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【变式3-1】（2022秋 越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022秋 新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式3-3】（2022秋 覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 ．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2022 镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022秋 金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-2】（2022秋 南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人均正确 D．两人均不正确
【变式4-3】（2022秋 宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【题型5 判断比例式】
【例5】（2022春 潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022春 东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022秋 青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022 香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2022 沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022春 任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ ．
【变式6-2】（2009秋 北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明．
【变式6-3】（2022春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（ ）
A． B． C． D．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2022 宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式7-1】（2022秋 虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022秋 亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【变式7-3】（2022 邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2022 襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【变式8-1】（2022 雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ ．
【变式8-2】（2022秋 六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ ．
【变式8-3】（2022 宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
平行线分线段成比例【八大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc16849" 【题型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc8485" 【题型2 “X”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc29812" 【题型3 “A”字型】 6
HYPERLINK \l "_Toc24151" 【题型4 “8”字型】 9
HYPERLINK \l "_Toc3625" 【题型5 判断比例式】 11
HYPERLINK \l "_Toc11121" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 15
HYPERLINK \l "_Toc11730" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 19
HYPERLINK \l "_Toc14006" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 23
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴，
∴DE，
故选：B．
【变式1-1】（2022 福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，即，
∴EF＝4，
∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，
故选：C．
【变式1-2】（2022秋 清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
故选：B．
【变式1-3】（2022秋 长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求出AB，再计算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到，然后求出BM后计算EM+BM即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，
易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴，即，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2022春 莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF＝3：1，BE＝12，可计算出CE的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴3，
∴BC＝3CE，
∴CEBE12＝3，
故选：A．
【变式2-1】（2022 广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
又∵DG＝2，DF＝10，，
∴，
∴AG＝4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋 船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：AF＝3：5，BE＝12，
∴，
解得：BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋 合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AH＝2HDDF，
∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
故选：B．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明F’与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
故选：D．
【变式3-1】（2022秋 越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-2】（2022秋 新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入数据计算即可．
【解答】解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，
∵BC，
∴AC＝3BC＝2．
故选：B．
【变式3-3】（2022秋 覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 ．
【分析】设CE＝AD＝x，则，求出CE，由EF∥DB可求出的值．
【解答】解：设CE＝AD＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝7.5，
∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，
∴．
故答案为：．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2022 镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴，
∴
故选：C．
【变式4-1】（2022秋 金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：AC＝4，
故选：C．
【变式4-2】（2022秋 南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人均正确 D．两人均不正确
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴1，
即1，
∴1．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋 宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，求出AGBD，CDBD，再求出即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴，
∵AF：BF＝2：5，
∴，
即AGBD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CDBD，
∴，
∵l1∥l2，
∴，
故选：C．
【题型5 判断比例式】
【例5】（2022春 潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故B正确，不符合题意．
∵CD∥EF，
∴
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式5-1】（2022春 东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，
∴，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，
∴，
∴，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋 青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．
【解答】解：A．因为，所以DE∥AC，故A不符合题意；
B．因为，所以DE∥AC，故B符合题意；
C．因为，所以DE∥AC，故C不符合题意；
D．因为，所以DE∥AC，故D不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】（2022 香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2022 沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EH∥AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HD，3，计算即可．
【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，
则，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴3，
∴，
故选：B．
【变式6-1】（2022春 任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ 1：4 ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴，
∴AF：FC＝1：4，
故答案为：1：4
【变式6-2】（2009秋 北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明．
【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【解答】解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，（2分）
∴；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；
（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴，
∴；
同理可得：，
∴．
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
【变式6-3】（2022春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DG∥BE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EFDG，DGBE，可求出n，即可得出答案．
【解答】解：取CE中点G，连接DG，
∵点D为BC中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DGBE，DG∥BE，
∵点F为AD中点，EF∥DG，
∴EF为△ADG的中位线，
∴点E为AG中点，EFDG，
∴，EFBE，
∴，
即m，n，
∴m+n，
故选：C．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2022 宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．
【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故选：C．
【变式7-1】（2022秋 虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：如图：
∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
故选：B．
【变式7-2】（2022秋 亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，，再根据平行线分线段成比例定理得，由中点的定义得EG＝3，代入即可求解．
【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，
∴，
∴，
∵AD∥EF，
∴，
∵点G是EF的中点，
∴EG＝3，
∴M
∴AD．
故选：D．
【变式7-3】（2022 邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【分析】如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．首先证明HG＝MGCF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MGCF，
∴，
∴y+z＝x，
∴，
∴x+y＝4z，
∴xz，yz，
∴x：y：z＝5：3：2，
故选：D．
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2022 襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
【变式8-1】（2022 雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ 2：3 ．
【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FEBC，根据已知推出CDBC，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴，
∵AF：BF＝1：2，
∴，
∴，
即FEBC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CDBC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【变式8-2】（2022秋 六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ 5：6 ．
【分析】如图，过点E作ET∥BF交CD于点，利用平行线分线段成比例定理求出DF：FT可得结论．
【解答】解：如图，过点E作ET∥BF交CD于点T．
∵ET∥BF，
∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，
∵DF：CF＝1：2，
∴DF：TF＝5：6，
∵FG∥ET，
∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，
故答案为：5：6．
【变式8-3】（2022 宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，
∴△AEF的面积的最大值，
故答案为：
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平行线分线段成比例【八大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc23847" 【题型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc17840" 【题型2 “X”字型】 2
HYPERLINK \l "_Toc7971" 【题型3 “A”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc8529" 【题型4 “8”字型】 5
HYPERLINK \l "_Toc22567" 【题型5 判断比例式】 6
HYPERLINK \l "_Toc182" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 7
HYPERLINK \l "_Toc20548" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 8
HYPERLINK \l "_Toc13463" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 9
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式1-1】（2022 福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
【变式1-2】（2022秋 清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022秋 长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2022春 莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】（2022 广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（2022秋 船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2-3】（2022秋 合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【变式3-1】（2022秋 越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022秋 新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式3-3】（2022秋 覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 ．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2022 镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022秋 金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-2】（2022秋 南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人均正确 D．两人均不正确
【变式4-3】（2022秋 宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【题型5 判断比例式】
【例5】（2022春 潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022春 东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022秋 青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022 香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2022 沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022春 任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ ．
【变式6-2】（2009秋 北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明．
【变式6-3】（2022春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（ ）
A． B． C． D．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2022 宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式7-1】（2022秋 虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022秋 亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【变式7-3】（2022 邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2022 襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【变式8-1】（2022 雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ ．
【变式8-2】（2022秋 六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ ．
【变式8-3】（2022 宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
平行线分线段成比例【八大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc16849" 【题型1 “#”字型】 1
HYPERLINK \l "_Toc8485" 【题型2 “X”字型】 4
HYPERLINK \l "_Toc29812" 【题型3 “A”字型】 6
HYPERLINK \l "_Toc24151" 【题型4 “8”字型】 9
HYPERLINK \l "_Toc3625" 【题型5 判断比例式】 11
HYPERLINK \l "_Toc11121" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 15
HYPERLINK \l "_Toc11730" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 19
HYPERLINK \l "_Toc14006" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 23
【知识点1 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 “#”字型】
【例1】（2022 醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴，
∴DE，
故选：B．
【变式1-1】（2022 福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，即，
∴EF＝4，
∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，
故选：C．
【变式1-2】（2022秋 清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
故选：B．
【变式1-3】（2022秋 长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求出AB，再计算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到，然后求出BM后计算EM+BM即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，
易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴，即，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【题型2 “X”字型】
【例2】（2022春 莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF＝3：1，BE＝12，可计算出CE的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴3，
∴BC＝3CE，
∴CEBE12＝3，
故选：A．
【变式2-1】（2022 广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
又∵DG＝2，DF＝10，，
∴，
∴AG＝4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋 船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：AF＝3：5，BE＝12，
∴，
解得：BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋 合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AH＝2HDDF，
∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
故选：B．
【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．
平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明F’与F重合即可．
【题型3 “A”字型】
【例3】（2022秋 零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
故选：D．
【变式3-1】（2022秋 越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-2】（2022秋 新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入数据计算即可．
【解答】解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，
∵BC，
∴AC＝3BC＝2．
故选：B．
【变式3-3】（2022秋 覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 ．
【分析】设CE＝AD＝x，则，求出CE，由EF∥DB可求出的值．
【解答】解：设CE＝AD＝x，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
解得x＝7.5，
∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，
∴．
故答案为：．
【题型4 “8”字型】
【例4】（2022 镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴，
∴
故选：C．
【变式4-1】（2022秋 金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：AC＝4，
故选：C．
【变式4-2】（2022秋 南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人均正确 D．两人均不正确
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴1，
即1，
∴1．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋 宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，求出AGBD，CDBD，再求出即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴，
∵AF：BF＝2：5，
∴，
即AGBD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CDBD，
∴，
∵l1∥l2，
∴，
故选：C．
【题型5 判断比例式】
【例5】（2022春 潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故B正确，不符合题意．
∵CD∥EF，
∴
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式5-1】（2022春 东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，
∴，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，
∴，
∴，故D正确，不符合题意，
故选：B．
【变式5-2】（2022秋 青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．
【解答】解：A．因为，所以DE∥AC，故A不符合题意；
B．因为，所以DE∥AC，故B符合题意；
C．因为，所以DE∥AC，故C不符合题意；
D．因为，所以DE∥AC，故D不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】（2022 香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解答】解：AB∥CD，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2022 沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EH∥AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HD，3，计算即可．
【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，
则，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴3，
∴，
故选：B．
【变式6-1】（2022春 任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝ 1：4 ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴，
∴AF：FC＝1：4，
故答案为：1：4
【变式6-2】（2009秋 北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明；
（3）若点D是BC上任意一点，试证明．
【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【解答】解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，（2分）
∴；
（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；
（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴，
∴；
同理可得：，
∴．
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
【变式6-3】（2022春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DG∥BE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EFDG，DGBE，可求出n，即可得出答案．
【解答】解：取CE中点G，连接DG，
∵点D为BC中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DGBE，DG∥BE，
∵点F为AD中点，EF∥DG，
∴EF为△ADG的中位线，
∴点E为AG中点，EFDG，
∴，EFBE，
∴，
即m，n，
∴m+n，
故选：C．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】
【例7】（2022 宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．
【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故选：C．
【变式7-1】（2022秋 虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：如图：
∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
故选：B．
【变式7-2】（2022秋 亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，，再根据平行线分线段成比例定理得，由中点的定义得EG＝3，代入即可求解．
【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，
∴，
∴，
∵AD∥EF，
∴，
∵点G是EF的中点，
∴EG＝3，
∴M
∴AD．
故选：D．
【变式7-3】（2022 邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（ ）
A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2
【分析】如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．首先证明HG＝MGCF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．
∵MH∥BC，
∴，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MGCF，
∴，
∴y+z＝x，
∴，
∴x+y＝4z，
∴xz，yz，
∴x：y：z＝5：3：2，
故选：D．
【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】
【例8】（2022 襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
【变式8-1】（2022 雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝ 2：3 ．
【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FEBC，根据已知推出CDBC，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴，
∵AF：BF＝1：2，
∴，
∴，
即FEBC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CDBC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【变式8-2】（2022秋 六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝ 5：6 ．
【分析】如图，过点E作ET∥BF交CD于点，利用平行线分线段成比例定理求出DF：FT可得结论．
【解答】解：如图，过点E作ET∥BF交CD于点T．
∵ET∥BF，
∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，
∵DF：CF＝1：2，
∴DF：TF＝5：6，
∵FG∥ET，
∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，
故答案为：5：6．
【变式8-3】（2022 宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，
∴△AEF的面积的最大值，
故答案为：
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