第四章相似三角形专题04 相似三角形的六种模型（解析版）

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专题 相似三角形的六种模型
模型一、A字型（8字型）
例1.已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC CF＝BC CE，求证：BD2＝DE BA．
【变式训练1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
【变式训练2】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；
（2）求FG的长．
模型二、X字型
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于　　．
【变式训练1】如图：已知 ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG×FE．
【变式训练2】如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是____　．
模型三、AX字型
例1.如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．
【变式训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果，求的值．
【变式训练2】如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
模型四、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
例1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ．
【变式训练1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝　　．
【变式训练2】已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．
【变式训练3】点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
模型五、一线三垂直型
例1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练1】如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为　 　．
【变式训练4】已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA OC＝OD CE．
模型六、作平行或者垂直证明相似
例1.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：3，CE的延长线交AB于点F，若AF＝1.5，则AB＝　　．
【变式训练1】如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE交AC于点F，试证明：AB DF＝BC EF．
【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的长．
专题 相似三角形的六种模型
模型一、A字型（8字型）
例1.已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC CF＝BC CE，求证：BD2＝DE BA．
【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴，
∵CD2＝CF CA．∴，∴，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC CF＝BC CE，∴，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，
∴△BAD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA DE
【变式训练1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
【答案】1:4
【解析】∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴
∵DE//AC，∴，∴，∴的比是1：4.故答案为：1：4.
【变式训练2】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；
（2）求FG的长．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴，即，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，即，∴EG，∴FG＝EG﹣EF．
故答案为：（1）3；（2）
模型二、X字型
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于　　．
【答案】CD
【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴，∴CD，故答案为：CD
【变式训练1】如图：已知 ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG×FE．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，
∴，即，解得，CG＝1；
（2）证明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴，∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，∴，∴，即AF2＝FG×FE．
【变式训练2】如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是____　．
【答案】36
【解析】∵在 ABCD中，AOAC，∵点E是OA的中点，∴AECE，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵S△AEF＝4，（ ）2，∴S△BCE＝36
故答案为：36
模型三、AX字型
例1.如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD
∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；
（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.
【变式训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果，求的值．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴．
又∵BC＝BE+CE，，∴BEBCDA，∴EFAF，∴AEEFEF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴，
∴GEGA，∴GEAEEFEF，∴．
故答案为:
【变式训练2】如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴FC＝6．
故答案为：（1）见解析；（2）6
模型四、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
例1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ．
【答案】5
【解析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD ∽△BCA．∵AB=4，AD=2，
∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5
故答案为：5
【变式训练1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝　　．
【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，
∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，
∴（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），AG：FG＝3：2，
∴AG：AF＝3：5，∴DE：BC＝3：5，故答案为：3:5
【变式训练2】已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC．
【答案】证明：∵∠BAC=120o，∴∠B+∠C=60o.∵△AMN是等边三角形，
∴∠B+∠1=∠AMN=60o，∠C+∠2=∠ANM=60o.∴∠1=∠C，∠2=∠B.
(1)∵∠1=∠C，∠B=∠B，∴△BAM ∽△BCA.∴.∴AB2=BMBC
（2）∵∠2=∠B，∠C=∠C，∴△CAN ∽△CBA.∴.∴AC2=CNCB
（3）∵∠1=∠C，∠2=∠B，∴△BAM ∽△ACN.∴.
∴BMCN=ANAM∵AN=AM=MN，∴AB2=BMBC
【变式训练3】点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90o.∴BC2=BOBD.
∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE.∴BOBD=BFBE.即，
又∵∠OBF=∠EBD，∴△BOF ∽△BED.
（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2.在Rt△BCE中，BE==，
在Rt△OBC中，OB=，∵△BOF∽△BED，
∴，即，∴.
模型五、一线三垂直型
例1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
故选：A．
【变式训练1】如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．
【解析】设AP＝，则有PB＝AB－AP＝7－，
当△PDA∽△CPB时，，即，解得：或，
当△PDA∽△PCB时，，即，解得：，则这样的的点P共有3个．
故答案为：3个
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC，∴a2＝CE a，4a2＝AE a，
∴CE，AE，∴，
∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故选A．
【变式训练3】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为　 　．
【答案】1
【解析】设AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∴，∴BE，∴BF＝BE+EF，
∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，
∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF BF，∴x2 （2﹣x），解得：x1
故答案为：1
【变式训练4】已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA OC＝OD CE．
【解析】证明：（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B＝∠ADE，
∵1，∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，
∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE＝OD：OC，即DA OC＝OD CE．
模型六、作平行或者垂直证明相似
例1.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：3，CE的延长线交AB于点F，若AF＝1.5，则AB＝　　．
【答案】7.5
【解析】过D作DM∥CF交AB于M，
∵AD是△ABC的中线，BM＝MF，DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴，∴AFAM，
∵BM＝MF，∴AFAB，∵AF＝1.5，∴AB＝5×1.5＝7.5，故答案为：7.5
【变式训练1】如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE交AC于点F，试证明：AB DF＝BC EF．
【解析】证明：作DG∥BC，
则△ADG∽△ABC，△DGF∽△ECF，∴，，
∵AD＝CE，∴，，∴，，
∴，∴AB DF＝BC EF．
【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的长．
【解析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD2
故答案为:2
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