第四章相似三角形专题05 相似三角形中的四种动点问题（解析版）

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专题 相似三角形中的四种动点问题
类型一、图像问题
例1.两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角项点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1】如图，矩形中，，，动点P从A点出发，按的方向在和上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
类型二、三角形相似
例1.如图，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当与相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【变式训练1】如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．（　　）
A．（s） B．（s） C．（s）或（s） D．（s）或（s）
【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
【变式训练3】如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
类型三、运动时间问题
例1.如图，在中，，，，动点以的速度，从点运动到点，动点同时以的速度，从点运动到点，当为直角三角形时，点运动的时间为__________.
【变式训练1】在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD＝∠AED，则t的值_____．
【变式训练2】如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t=__________s时．
【变式训练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为______．
类型四、最值问题
例1.如图，在菱形中，，，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为_____．
专题 相似三角形中的四种动点问题
类型一、图像问题
例1.两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角项点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】如图，
由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，
∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF，∴∠AFB=∠CAE，∴△ACE∽△FBA，
∴∠AEC=∠BAF，，又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，∴AB=AC=，
又BF=x，CE=y，∴，即xy=2（1＜x＜2），故选D．
【变式训练1】如图，矩形中，，，动点P从A点出发，按的方向在和上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①当点P在AB上运动时，D到PA的距离，∴当时，，
②当P在BC上运动时，
∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴，即：，
∴当时，，∴，
即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且；
当时，函数图象为反比例函数，故选项A符合题意，
故选：A．
【变式训练2】如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB，
又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴=tan30°，则，
故y=x+1（x＞0），则选项C符合题意．
故选C．
类型二、三角形相似
例1.如图，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当与相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），
当与相似时，为直角三角形，若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4-2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选：D．
【变式训练1】如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．（　　）
A．（s） B．（s） C．（s）或（s） D．（s）或（s）
【答案】C
【解析】设经过t秒△ADE与△ABC相似．
∵点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD=2t，AE=t，∵AB=7，∴AD=AB-BD=7-2t．
分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，，即，解得：t=；
②当△AED∽△ABC时，，即，解得：t=．
综上所述，经过秒或秒时，△ADE与△ABC相似．故选：C．
【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
【答案】C
【解析】设运动时间为ts，则BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C．
【变式训练3】如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
【答案】B
【解析】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD:AB=AE:AC，即x:12 2x=x:6，解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则AD:AC=AE:AB，即x:12=12 2x:6，解得：x=4.8；
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒.故选B.
类型三、运动时间问题
例1.如图，在中，，，，动点以的速度，从点运动到点，动点同时以的速度，从点运动到点，当为直角三角形时，点运动的时间为__________.
【答案】或2
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则AB＝＝＝5cm，
设点M的运动时间为t秒，
由题意得，CM＝t，AN＝，则AM＝4 t，
当∠AMN＝90°时，∠AMN＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACB，∴ ，即，解得：t＝2，
当∠ANM＝90°时，∠ANM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ANM∽△ACB，
∴，即，解得：t＝，
综上所述：当△AMN为直角三角形时，点M的运动秒数为2或，故答案为：或2.
【变式训练1】在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD＝∠AED，则t的值_____．
【答案】
【解析】如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝6cm，AD＝BC＝10cm，根据题意知，AE＝5t，BF＝3t，
∵BC＝10cm，DC＝6cm，∴＝＝，＝＝，∴＝，
又∵∠DAE＝∠ABF＝90°，∴△ADE∽△BAF，∴∠2＝∠3，
∵AD∥BC，∴∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4，∴DF＝DA，即DF2＝AD2，
∵BF＝3t，BC＝10，∴CF＝10﹣3t，∴DF2＝DC2+CF2，即DF2＝62+（10﹣3t）2，
∴62+（10﹣3t）2＝102，解得：t＝或t＝6，∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，∴0≤t≤，∴t＝，故答案为：.
【变式训练2】如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t=__________s时．
【解析】∵是边长为等边三角形，∴
∵，∴，，∴为等边三角形
∵点P运动的速度是，点Q运动的速度是
∴，，，C，
∵∴，若要，则需满足
∴，
∴，又∵，∴，∴，∴，解得
故答案为：1.2
【变式训练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为______．
【答案】s或s
【解析】设运动时间为t，由题意可得：QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，则有：
∵，，当以，，为顶点的三角形与相似时，
∴①当时，则有：，解得：；
②当时，则有：，解得：；
综上所述：当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为s或s；
故答案为s或s．
类型四、最值问题
例1.如图，在菱形中，，，动点Р从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，直到点B时停止；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Р停止运动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点H．那么在点P的运动过程中，线段QH的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在菱形ABCD中，CD//AB，∴CQ//AP，∴△CQH∽△APH；
设点P运动的时间为t（秒），则CQ=2t，AP=3t，∴，∴QH=PQ；
当PQ⊥CD时，即当PQ与菱形ABCD的高相等时，PQ的长最小，设菱形ABCD的高为h，
∵∠COD=90°，DO=BD=8，CO=AC=6，∴，
∴10h=×12×6，解得h=，∴QH最小＝，故选：B．
【变式训练】在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图，
取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，
在Rt△AOD中，
∵OA＝2，OD＝1，∴AD＝＝3，
∵∠PAM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90°，∴△APM∽△ADO，∴，即，
∴PM＝AP，∴PC+AP＝PC+PM，∴当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．
∵△CND∽△AOD，∴，即，∴CN＝． 所以CP+AP的最小值为．
故答案为：．
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