(共35张PPT)
3.8.1 弧长及扇形的面积(1)
浙教版九年级上册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解掌握弧长的计算公式,会应用公式计算弧长.
2.经历探索弧长计算公式的过程,感受转化、类比的数学思想,培养探索能力.
3.通过用弧长计算公式解决实际问题,体验数学与人类生活的密切联系.
新知导入
【思考】如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第4跑道和第5跑道,为什么他们的起跑线不在同一处?
新知导入
2004 年全线贯通的国家西部大开发的标志性工程——西气东输工程的输送管道西起新疆塔里木,东至上海白鹤镇,全长四千多千米,成为横贯中国的能源传输大动脉. 其中使用了成千上万个圆弧形的弯管,你知道怎样计算这些弯管的长度吗?
新知讲解
若圆的半径为R,圆的周长如何计算?
圆的周长计算公式:l=2πR.
想一想:能否根据圆的周长公式推导出圆的弧长公式呢?
新知讲解
【做一做】
1. 已知圆的半径为10 cm,求:
(1)半圆的弧长.
半圆的圆心角是180°,占整个周角的 ,因此它所对的弧长是圆周长的 。
∴半圆的弧长=
新知讲解
【做一做】
1. 已知圆的半径为10 cm,求:
(2)90°圆心角所对的弧长.
∴90°圆心角所对的弧长=
90°的圆心角,占整个周角的 ,
它所对的弧长是圆周长的 。
新知讲解
【做一做】
1. 已知圆的半径为10 cm,求:
(3)1°圆心角所对的弧长.
∴1°圆心角所对的弧长=
1°的圆心角,占整个周角的 ,
它所对的弧长是圆周长的 .
新知讲解
【做一做】
1. 已知圆的半径为10 cm,求:
(4)60°圆心角所对的弧长.
∴60°圆心角所对的弧长=
60°的圆心角,占整个周角的 ,
它所对的弧长是圆周长的 .
新知讲解
【做一做】
2.已知圆的半径为 R,求 n°圆心角所对的弧长 l.
n°的圆心角,占整个周角的 ,
它所对的弧长是圆周长的 .
∴n°圆心角所对的弧长=
新知讲解
圆的弧长公式
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:
温馨提示:
①在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.
②在弧长公式中,已知l、n、r中的任意两个量,都可以求出第三个量.
新知讲解
【例1】如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O
上一点,DC⊥AN,与AN交于点C. 已知AC=15mm,⊙O的半径R=30 mm. 求BD的长.
)
解:如图 ,连结OD,BD,
则OB=OD=30mm.
延长DC,交OB 于点 E.
在矩形ANMB中,OB⊥AB,
又∵ CD⊥AN,∴DE⊥OB,
新知讲解
【例1】如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O
上一点,DC⊥AN,与AN交于点C. 已知AC=15mm,⊙O的半径R=30 mm. 求BD的长.
)
∴四边形ACEB是矩形,∴BE=AC=15.
∵OB=30,∴OE=BE,∴BD=OD.
∴△OBD是等边三角形,∴∠DOB=60°,
)
答:BD的长为10π mm.
)
新知讲解
【例2】一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2km. 一辆汽车以每小时60km 的速度通过弯道,需时20s. 求弯道所对圆心角的度数(精确到0.1°).
分析:如果能求出弯道的弧长,那么由于半径已知,根据弧长公式就
可以求出弯道所对圆心角的度数.
新知讲解
解:汽车在20s内通过的路程为
由弧长公式 ,得圆心角的度数为
答:弯道所对圆心角的度数约为9.5°.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题:
1.圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90°的扇形,则该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
B
课堂练习
2.如图,⊙O的半径为3,四边形ABCD内接于⊙O,连结OB、OD,若∠BOD=∠BCD,则BD的长为( )
A.π
B. 4π
C.2π
D.3π
C
)
3.抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.
如图,AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=120°,⊙O的半径为6 cm,则图中弧CD的长为______cm.(结果保留π)
课堂练习
2π
课堂练习
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题:
B
课堂练习
6.某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心,边长为半径,向外画了三段圆弧,设计了如图所示的图案.该图案外围轮廓的周长为________.
4π
课堂练习
【综合实践类作业】
7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,
(1)求AD的长.
解:过C作CE⊥AD交AD于点E,
∵CE ⊥AD,∴AE=DE,∵∠ACB=90°,
∵AC=6,BC=8,∴AB=10,
E
课堂练习
【综合实践类作业】
E
7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,
(2)若∠B=29°,求AD的度数.
)
解:∵ ∠B=29°,∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-29°=61°,∵CA=CD=r,
∴∠ACD=180°-2×61°=58°,
课堂总结
本节课你学到了哪些知识?
1.与圆有关的概念
弦与直径,弧、半圆、优弧、劣弧,等圆与等弧.
2.点和圆的位置关系:
点在圆外、点在圆上、点在圆内.
板书设计
课题:3.1.1 点与圆的位置关系
教师板演区
学生展示区
一、圆的相关概念
二、点与圆的位置关系
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
B
作业布置
C
作业布置
选做题:
3.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD于E,若∠A=30°,⊙O的半径等于6,则弧AC的长为( ).
A. 6π
B. 5π
C. 4π
D. 3π
C
作业布置
4.如图,在等边三角形ABC中,D为BC的中点,ADB交AC于点E,若
AB=2,则DE的长为____.
)
)
A
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点,连接BD,AD,OC,∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)若弦BC=18cm,求图中劣弧BC的长.(结果保留π)
作业布置
(1)求∠AOC的度数;
解:连接OB,
∵OA⊥BC,∴AB=AC,
∴∠AOC=∠AOB,
由圆周角定理得,∠AOB=2∠ADB=60°,
∴∠AOC=∠AOB=60°.
)
)
作业布置
(2)若弦BC=18cm,求图中劣弧BC的长.(结果保留π)
解:∵OA⊥BC,∴BC=2BE,∴BC=9,
在Rt△BOE中,∠AOB=60°,∴OB=2OE,
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例,让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,进一步理解了旋转的性质,认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理,会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式,并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容,在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质,会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质,并在小学的基础上,学生已经积累了大量有关圆的经验,本章是在此基础上,对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理,从圆的概念形成,圆本身的性质,圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面,加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验,具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识,教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象,自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中,逐步形成正确的数学观,并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验,在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度,认识数学丰富的人文价值,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展,从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 (一)教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法;掌握点和圆的位置关系;会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法;了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理,理解其探索和证明过程; 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念,学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式,会用公式解决问题. (二)教学重点、难点 重点:1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点:1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算,能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 (一)单元知识结构框架 (二)课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法; 2.掌握点和圆的位置关系; 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念,完成课本练习题。1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法; 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1.确定圆的条件:不在同一直线上的三点;圆心、半径 2.外心的位置: (1)锐角三角形外心在三角形的内部 (2)直角三角形的外心在斜边上 (3)钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三点作圆的方法,了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形,进一步理解了旋转的性质,并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转,理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察,让学生理解圆的轴对称性; 2.掌握垂径定理,理解其探索和证明过程; 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴. 2.通过猜想,证明,形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明,在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理. 2.运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理. 2.解决有关弦的问题,1.探索并证明垂径定理,会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理. 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质. 掌握圆心角定理,会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理,猜想结论,并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦,两个圆心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究:让学生观察,猜想,证明,最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念. 2.掌握圆周角与圆心角的关系. 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等.掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义,并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明,圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等,进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理,会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理; 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题.掌握圆内接四边形的性质定理. 理解“内对角”这一重点词语的意思.1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形,较熟练地运用性质.正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念; 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形.了解正多边形可以通过切割圆得到;理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形,并了解正多边形有哪些性质?弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程; 2.了解弧长计算公式,并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程,培养学生的探索能力; 2.了解弧长后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式;用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力. 2.了解扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.1.扇形的概念和扇形面积的计算公式. 2.弧长与扇形面积的关系. 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式,会用公式解决问题.
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3.8.1 弧长及扇形的面积(1) 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《弧长和扇形的面积》是义务教育课程标准实验教科书浙教版九年级上册第3章第八节的内容。本课时主要讲述的是探究弧长的计算公式,在此之前,学生们已经学习了弧长的定义,弧长的计算公式是在圆的周长的基础上进行的拓展和延伸,本课时在中考占一定的分值,本节也是中考取胜的一点法宝。同时,本节课在知识的形成过程,对学生以后用动态解决数学问题的学习起到铺垫作用。
学习者分析 当前学生已经学习了圆中的基础知识,为本节课提供了知识的基础,即使这样在推导弧长公式的过程中,同学们也会出现疑惑,然而在本节课前由于我们掌握了弧的定义,倍数关系,度数关系,度数概念以及圆的周长,所以探究弧长公式不是很难理解。
教学目标 1.理解掌握弧长的计算公式,会应用公式计算弧长.2.经历探索弧长计算公式的过程,感受转化、类比的数学思想,培养探索能力.3.通过用弧长计算公式解决实际问题,体验数学与人类生活的密切联系.
教学重点 理解掌握弧长的计算公式,会应用公式计算弧长.
教学难点 通过用弧长计算公式解决实际问题,体验数学与人类生活的密切联系.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一:新知导入教师活动1:教师出示问题:【思考】如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第4跑道和第5跑道,为什么他们的起跑线不在同一处?2004 年全线贯通的国家西部大开发的标志性工程——西气东输工程的输送管道西起新疆塔里木,东至上海白鹤镇,全长四千多千米,成为横贯中国的能源传输大动脉. 其中使用了成千上万个圆弧形的弯管,你知道怎样计算这些弯管的长度吗?学生活动1:学生思考老师提出的问题。活动意图说明:通过对实际问题的分析,吸引学生的注意力,为本节课所学内容做铺垫。环节二:探究弧长计算公式教师活动2:教师出示问题:若圆的半径为R,圆的周长如何计算?圆的周长计算公式:l=2πR.想一想:能否根据圆的周长公式推导出圆的弧长公式呢?教师出示课本做一做练习题。【做一做】1. 已知圆的半径为10 cm,求:(1)半圆的弧长.半圆的圆心角是180°,占整个周角的 ,因此它所对的弧长是圆周长的。∴半圆的弧长=(2)90°圆心角所对的弧长.90°的圆心角,占整个周角的,它所对的弧长是圆周长的。∴90°圆心角所对的弧长=(3)1°圆心角所对的弧长.1°的圆心角,占整个周角的 ,它所对的弧长是圆周长的 .∴1°圆心角所对的弧长=(4)60°圆心角所对的弧长.60°的圆心角,占整个周角的,它所对的弧长是圆周长的 .∴60°圆心角所对的弧长=【做一做】2.已知圆的半径为 R,求 n°圆心角所对的弧长 l.n°的圆心角,占整个周角的 ,它所对的弧长是圆周长的 .∴n°圆心角所对的弧长=圆的弧长公式在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:温馨提示:①在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.②在弧长公式中,已知l、n、r中的任意两个量,都可以求出第三个量.学生活动2:学生思考,回答圆的周长如何计算。学生在教师的引导下完成做一做,共同探究半圆、90°圆心角、1°圆心角、60°圆心角所对的弧长。学生根据第一题的方法完成求 n°圆心角所对的弧长。师生共同总结圆的弧长公式。活动意图说明:在教学中运用探究式教学模式,使学生体验教学再创造的思维过程,培养学生的创造意识和科学精神。环节三:例题讲解教师活动3:【例1】如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O上一点,DC⊥AN,与AN交于点C. 已知AC=15mm,⊙O的半径R=30 mm. 求的长.解:如图 ,连结OD,BD,则OB=OD=30mm.延长DC,交OB 于点 E.在矩形ANMB中,OB⊥AB,又∵ CD⊥AN,∴DE⊥OB,∴四边形ACEB是矩形,∴BE=AC=15.∵OB=30,∴OE=BE,∴BD=OD.∴△OBD是等边三角形,∴∠DOB=60°,答:弧BD的长为10π mm.【例2】一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2km. 一辆汽车以每小时60km 的速度通过弯道,需时20s. 求弯道所对圆心角的度数(精确到0.1°).分析:如果能求出弯道的弧长,那么由于半径已知,根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数.解:汽车在20s内通过的路程为由弧长公式,得圆心角的度数为答:弯道所对圆心角的度数约为9.5°.学生活动3:学生在教师的指导下完成课本例题,巩固课上所学的知识。师生共同完成解题过程。活动意图说明:学生能够运用已学知识解决问题,这样既能提高学生解决问题兴趣,又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题:3.8.1 弧长及扇形的面积一、弧长的计算公式二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题:1.圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90°的扇形,则该扇形的弧长为( B )A. B. C. D.2.如图,⊙O的半径为3,四边形ABCD内接于⊙O,连结OB、OD,若∠BOD=∠BCD,则弧BD的长为( C )A.π B. 4π C.2π D.3π3.抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如图,AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=120°,⊙O的半径为6 cm,则图中弧CD的长为___2π___cm.(结果保留π)4.如图,面积为18的正方形ABCD内接于⊙O,则劣弧AB的长为( C )A. 9π B. π C. π D. π选做题:5.若扇形的半径为3,圆心角为60°,则此扇形的弧长是( B )A.π B.π C.π D.2π6.某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心,边长为半径,向外画了三段圆弧,设计了如图所示的图案.该图案外围轮廓的周长为____4π____.【综合实践类作业】7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,(1)求AD的长.解:过C作CE⊥AD交AD于点E,∵CE ⊥AD,∴AE=DE,∵∠ACB=90°,∵AC=6,BC=8,∴AB=10,(2)若∠B=29°,求弧AD的度数.解:∵ ∠B=29°,∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-29°=61°,∵CA=CD=r,∴∠ACD=180°-2×61°=58°,
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,AD是⊙O的直径.若OA=3,则劣弧BD的长是( B )A. B.π C. D.2π2.如图, ABCD中,∠BAD=110°,AD=2,以AD为直径的⊙O交DC于点E,则劣弧AE的长为( C )A.π B.π C.π D.π选做题:3.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD于E,若∠A=30°,⊙O的半径等于6,则弧AC的长为( C ).A. 6πB. 5πC. 4πD. 3π4.如图,在等边三角形ABC中,D为BC的中点,弧ADB交AC于点E,若AB=2,则弧DE的长为__A__.【综合实践类作业】5.如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点,连接BD,AD,OC,∠ADB=30°.(1)求∠AOC的度数;(2)若弦BC=18cm,求图中劣弧BC的长.(结果保留π)解:连接OB,∵OA⊥BC,∴弧AB=弧AC,∴∠AOC=∠AOB,由圆周角定理得,∠AOB=2∠ADB=60°,∴∠AOC=∠AOB=60°.(2)解:∵OA⊥BC,∴BC=2BE,∴BC=9,在Rt△BOE中,∠AOB=60°,∴OB=2OE,
课堂总结 本节课你学到了哪些知识?在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.在弧长公式中,已知l、n、r中的任意两个量,都可以求出第三个量.
教学反思 在教学过程中。要根据学生的学情,从学生已有的知识基础和社会经验出发,创设生动有趣的学习情境,本着结论让学生得,疑难让学生议,思路让学生想,规律让学生找,小结让学生讲的原则,在方法的设计上,把重点放在逐步发展知识的形成过程上,激发学生对数学学习的兴趣。
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