中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案
1. 如图，连接AC，CE，易得∠ACE=90°，
∵M为AE中点，
∴AE=2CM=，CE=，
∴AC=，
∴AB=.
2.10 如图，连接DF，
∵AD=AE，∠A=90°，
∴∠ADE=∠B=45°，
∴DE∥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠EDC=∠DCE=∠DCF=22.5°，
∴CE=DE=，
∵EF⊥CD，
∴CO=DO，
∴CF=DF，易得∠CEF=∠CFE=67.5°，
∴CE=CF=，∠BFD=2∠FCD=45°=∠B，
∴BF=10.
3.48° 如图，延长BA至F，使AF=AC，连接EF.
∵AD平分∠BAC，AE=AE，
∴△ACE△AFE（SAS），
∴EF=CE，∠F=∠ACE，
∵CE=BA+AC=BA+AF=BF,
∴BF=EF，
∴∠B=∠FEC.
设∠FEA=∠BEA=，
∴∠B=，∠F=∠ACE=∠B+∠BAC=，
∵∠F+∠B+∠FEB=180°，
∴，解得，
∴∠B=48°.
4. 如图作PD⊥BD，交BA的延长线于点P，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB+∠ADP=90°，∠ABD+∠P=90°，
∴∠ADP=∠P，
∴AD=AP=2，
∵CD∥AB，
∴∠ADC=∠DAP，∠ACD=∠BAC，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，∠DAP=∠BAC，
∴△ADP△ACB（SAS），
∴BC=PD=1，
在Rt△BDP中，BD=,
∴BD的长为.
5. 如图，延长AD，BC交于点G，过点D作DH∥AB，
∵DF=EF，可证△DHF△EBF，
∴FH=BF，
∵，
∴∠A+2∠ABC=180°=∠A+∠ABC+∠G，
∴∠ABC=∠G，
∴AB=AG=5，进而可证DG=DH，
又∵DC⊥BC，
∴GC=HC，
∴BG=2CF=6.
作BG上的高AI，则BI=GI=3，由勾股定理，得AI=4，再由面积法得点B到AD的距离为.
6.证明：如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM与△CAF中，
∴△ABM△CAF（AAS）
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
在△FCD与△MCD中，
∴△FCD△MCD（SAS）
∴∠F=∠CMD，
∴∠AMB=∠DMC.
7.BE+CD=BC,
证明：在BC上截取BF=BE，连结OF，
易利用SAS证得△BEO△BFO，
∴∠1=∠2，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=90°+∠A=120°，
∴∠DOE=120°，
∴∠A+∠DOE=180°，
∴∠AEO+∠ADO=180°，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
利用AAS证得△CDO△CFO，
∴CD=CF，
∴BC=BF+CF=BE+CD.
8.如图，延长AD至G，使DG=AD，延长AE至H，使EH=AE，连接BG，CH.，
∵BD=DE，∠ADE=∠BDG，
∴△ADE△GDB（SAS），
∴BG=AE，同理AD=CH，
∵AB+BG＞AG，AC+CH＞AH，
∴AB+AC+BG+CH＞AG+AH，
∴AB+AC+AE+AD＞2AD+2AE，
∴AB+AC＞AD+AE.
9.证明：
（1）如图1，延长AF交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠G，
∵DF=CF，∠AFD=∠GFC，
∴△ADF△GCF（AAS），
∴AD=CG，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF=∠G=∠EAF，
∴AE=EG=EC+CG=EC+AD；
（2）如图2，延长CB至H，使BH=DF，连接AH，
∵AD=AB，∠D=∠ABH，
∴△ADF△ABH（SAS），
∴∠H=∠AFD，∠BAH=∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠H=∠AFD=∠FAB=∠BAE+EAF.
又∵∠HAE=∠BAH+∠BAE，
∴∠H=∠HAE，
∴AE=HE=BE+HB=BE+DF.
10.如图，延长ED至G，使DG=ED，连接BG，FG.
∵AD=BD，∠AED=∠BDG，
∴△ADE△BDG（SAS），
∴AE=BG，∠A=∠GBD，
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形，
∴AE=BG=EC，∠ACE=∠FCB=45°，∠GBD=45°，
∴∠ECF=∠GBF=90°，
∵CF=BF，
∴△ECF△GBF（SAS），
∴EF=FG，∠EFC=∠GFB，
∵∠EFG=∠EFC+∠CFG=∠CFG+∠GFB=90°，
∴△EFG为等腰直角三角形.
∵DG=ED，
∴FD⊥EG，FD=ED=，
∴△DEF为等腰直角三角形.
图1
图2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
几何中常见的辅助线专题
1.如图，正方形ABCG和正方形CDEF，点B，C，D，再同一直线上，连接AE，M为AE的中点，连接CM，若CM=，CD=3，则AB= .
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE=AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O.若AD=5，则BF= .
3.如图，△ABC，∠BAC=36°，AD平分∠BAC，AE⊥AD交BC的延长线于点E，若CE=BA+AC，则∠B= .
4.如图，四边形ABCD中，CD∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为 .
5.如图，四边形ABCD中，，∠DCB=90°，点E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，满足DF=EF,若CF=3，AB=5，则点B到AD的距离为 .
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于点D，交BM于点E，求证：∠AMB=∠DMC.
7.如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE，分别平分∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明.
8.如图，△ABC中，在BC边上取点D和E，使之三等分BC，连接AD，AE，求证：AB+AC＞AD+AE.
9.如图，已知正方形ABCD中，F为CD的中点，AF平分∠EAD.
求证：（1）AE=EC+AD ; （2）AE=BE+DF.
10.如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连接DE，DF，EF，求证：△DEF为等腰直角三角形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
