(共34张PPT)
3.8.2 弧长及扇形的面积(2)
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.经历探索扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题.
2.从熟知的圆的面积公式入手进行推导，培养探索和归纳能力.
3.通过使用公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性和运用能力.
新知导入
想一想：如图所示的扇子是什么形状？
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
什么是扇形？
新知导入
如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与什么有关？
扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关， 圆心角越大，扇形的面积也越大.
怎样计算圆心角为n°的扇形面积呢？
新知讲解
如图所示，⊙O的半径为R，∠BOC=n°. 怎样求扇形BOC的面积
新知讲解
我们知道，如果设圆的面积为S，半径为R，那么圆面积的计算公式为S=πR2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢
新知讲解
因为1°圆心角的扇形的面积为圆面积的
所以扇形BOC的面积为
由弧长公式
新知讲解
扇形面积计算公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形面积S的
计算公式为:
新知讲解
【做一做】已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积.
（1）圆心角为90°的扇形.
（2）圆心角为 120°的扇形.
新知讲解
【做一做】已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积.
（3）圆心角为240°的扇形.
（4）弧长为7.2cm的扇形.
新知讲解
【拓展提高】
①面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的倍数，不带单位。
②S扇形、l、n、r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量。
③扇形的面积公式 与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲面三角形，把弧长 l 看成底，r看成底边上的高即可。
新知讲解
【例3】如图，有一把折扇和一把团扇. 已知折扇的骨柄与团扇的直
径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折床扇张开的角度为120°，问哪一把扇子扇面的面积大
新知讲解
解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，
所以两把扇子扇面的面积一样大.
新知讲解
【例4】我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流
量为12.73m3/s. 如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=
45°，那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)？
新知讲解
分析：由图 ，不难发现截面中有水部分（阴影部分）的面积是圆的面积与空隙部分（弓形）面积之差. 因此根据水的流量、截面中水面面积与流速的关系，即可求得水的流速.
新知讲解
解：作BD⊥OA. ∵ 输水管的直径为2.5m，∴OB=OA=
又∵∠AOB =45°，BD⊥OA，∴OD=BD，∴OB= OD，
D
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
2.如图所示，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A.π-2
B.π-4
C. 4π-2
D.4π-4
课堂练习
A
课堂练习
3.填空.
(1) 已知扇形的半径为6 cm,面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为 .
(2) 一个扇形的圆心角为135° ，弧长为3π cm，则此扇形的面积是
cm2.
60°
6π
课堂练习
4.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为多少度
解：设扇形半径为R，圆心角为n°，由扇形公式
答：该扇形的圆心角为150°．
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.如图，这是中央电视台《曲苑杂谈》节目中的一幅图案，它是一幅扇形图案，其中∠AOB为120°，OC的长为8 cm，CA的长为12 cm，则阴影部分的面积为 ( )
A．64π cm2 B．112π cm2
C．144π cm2 D．152π cm2
B
课堂练习
6.如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为( ).
A．π－1
B．π－2
C．π－4
D . 1-π
B
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连结AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数；
解：如图，连结OD，OC，
∵C，D是半圆O上的三等分点，∴AC＝CD＝BC，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
︵
︵
︵
课堂练习
【综合实践类作业】
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)
解：∵AB＝4，∴OA＝2. 由(1)知，∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝2.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
扇形面积计算公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形面积S的
计算公式为:
板书设计
课题：3.8.2 弧长及扇形的面积（2）
教师板演区
学生展示区
一、扇形面积计算公式
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.已知一个扇形的半径长是6，圆心角为90°，则这个扇形的面积为
( )
A．12π
B．9π
C．6π
D．3π
B
作业布置
2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( ).
A．8－π
B．16－2π
C．8－2π
D．16－π
C
作业布置
选做题：
D
作业布置
【综合实践类作业】
4.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，OC交AD于点E，连结BC，交AD于点F.
(1)求证：AE＝ED；
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD.∴AE＝ED.
作业布置
【综合实践类作业】
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求扇形AOC的面积．
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，进一步理解了旋转的性质，认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式，并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识，教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展，从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 （一）教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法；掌握点和圆的位置关系；会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程； 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题． （二）教学重点、难点 重点：1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法； 2.掌握点和圆的位置关系； 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念，完成课本练习题。1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法； 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径 2．外心的位置： （1）锐角三角形外心在三角形的内部 （2）直角三角形的外心在斜边上 （3）钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴. 2.通过猜想，证明，形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理． 2．运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2.解决有关弦的问题，1.探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理． 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质． 掌握圆心角定理，会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理，猜想结论，并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念． 2.掌握圆周角与圆心角的关系． 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义，并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理，会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．掌握圆内接四边形的性质定理． 理解“内对角”这一重点词语的意思．1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．了解正多边形可以通过切割圆得到；理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形，并了解正多边形有哪些性质？弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程； 2.了解弧长计算公式，并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式；用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2.了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．1.扇形的概念和扇形面积的计算公式． 2.弧长与扇形面积的关系． 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
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3.8.2 弧长及扇形的面积(2) 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版九年级上册第3章“弧长及扇形面积”的第2课时,是一节扇形的面积公式推导及应用课。在此之前,学生已经学会了圆的相关性质和定理的推导和应用,并熟知圆的基本概念如弧、圆心角，会求圆弧的长度等。本节的重点是在经历探索扇形面积计算公式的过程后,学生会使用它们解决问题，使学生对圆的认知更全面完整。
学习者分析 九年级学生已经形成相对系统的数学思维，学生喜欢自主探究与合作交流相结合的学习方式，能够在探究和交流中体验成功与分享的喜悦，教师要把握学生的认知和心理特征，采用启发式教学，成为教学活动中的引导者、组织者、合作者，让学生真正成为学习活动中的主体，进而提高学习效率。
教学目标 1.经历探索扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题.2.从熟知的圆的面积公式入手进行推导，培养探索和归纳能力.3.通过使用公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性和运用能力.
教学重点 探索扇形面积计算公式，了解并会应用公式解决问题。
教学难点 通过用扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：想一想：如图所示的扇子是什么形状？什么是扇形？由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇形的面积与什么有关？扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关， 圆心角越大，扇形的面积也越大.怎样计算圆心角为n°的扇形面积呢？学生活动1：学生观察图片，回答教师提出的问题。学生思考扇形的面积与什么有关。活动意图说明：让学生观看生活中的扇形，感受数学就在我们的身边，进而出示实际生活中的问题，引发学生的思考与分析，激励学生自主的提出要研究扇形面积的问题.环节二：探究扇形的面积公式教师活动2：教师出示课本问题：如图所示，⊙O的半径为R，∠BOC=n°. 怎样求扇形BOC的面积 我们知道，如果设圆的面积为S，半径为R，那么圆面积的计算公式为S=πR2，半径为r的扇形的面积与半径为r的圆的面积有没有关系呢 因为1°圆心角的扇形的面积为圆面积的即所以扇形BOC的面积为由弧长公式得 总结归纳：扇形面积计算公式如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形面积S的计算公式为:【做一做】已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积.（1）圆心角为90°的扇形.（2）圆心角为120°的扇形.（3）圆心角为240°的扇形.（4）弧长为7.2cm的扇形.【拓展提高】①面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的倍数，不带单位。②S扇形、l、n、r四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量。③扇形的面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲面三角形，把弧长 l 看成底，r看成底边上的高即可。学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下探究扇形的面积公式。学生完成课本做一做练习题。活动意图说明：学生在教师引导下探索扇形面积计算公式，经历了公式的形成过程，坚持新课程的理念转换教师的角色，以引导者、参与者的形象介入到学生的学习之中，能有效的调动学习积极性。环节三：例题讲解教师活动3：【例3】如图，有一把折扇和一把团扇. 已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折床扇张开的角度为120°，问哪一把扇子扇面的面积大 解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，所以两把扇子扇面的面积一样大.【例4】我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73m3/s. 如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=45°，那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)？ 分析：由图 ，不难发现截面中有水部分（阴影部分）的面积是圆的面积与空隙部分（弓形）面积之差. 因此根据水的流量、截面中水面面积与流速的关系，即可求得水的流速.解：作BD⊥OA。∵ 输水管的直径为2.5m，∴OB=OA= 又∵∠AOB =45°，BD⊥OA，∴OD=BD，∴OB= OD，学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.8.2 弧长及扇形的面积（2）一、扇形面积计算公式二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( C )A．2π B．4π C．12π D．24π2.如图所示，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ）.A.π-2 B.π-4 C. 4π-2 D.4π-43.填空.(1) 已知扇形的半径为6 cm,面积为6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为 60°.(2) 一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm，则此扇形的面积是 6π cm2.4.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为多少度 解：设扇形半径为R，圆心角为n°，由扇形公式答：该扇形的圆心角为150°． 选做题：5.如图，这是中央电视台《曲苑杂谈》节目中的一幅图案，它是一幅扇形图案，其中∠AOB为120°，OC的长为8 cm，CA的长为12 cm，则阴影部分的面积为 ( B )A．64π cm2 B．112π cm2C．144π cm2 D．152π cm26.如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为( B ).A．π－1 B．π－2 C．π－4 D . 1-π【综合实践类作业】7.如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连结AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；解：如图，连结OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴弧AC＝弧CD＝弧BC，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)解：∵AB＝4，∴OA＝2. 由(1)知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝2.∵DE⊥AO，∴ AE＝AO＝1， ∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2× ＝π－.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.已知一个扇形的半径长是6，圆心角为90°，则这个扇形的面积为( B ) A．12π B．9π C．6π D．3π2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(C).A．8－π B．16－2π C．8－2π D．16－π选做题：3.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆交于点E.若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为( D ) A.π－ B.π－2 C.π－ D.π－2 【综合实践类作业】4.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，OC交AD于点E，连结BC，交AD于点F.(1)求证：AE＝ED；证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.∴AE＝ED.(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求扇形AOC的面积．解：∵OC⊥AD，∴AC＝CD.∴∠ABC＝∠CBD＝36°.∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°.∵OA＝AB＝5，∴S扇形AOC＝＝5π.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？扇形面积计算公式如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形面积S的计算公式为:
教学反思 课堂的主体是学生，教师应该引导学生积极主动地进行学习。要让学生在学习过程中进行观察、猜测、推理、自主探索与合作交流等学习活动，课堂上要充满学生的讨论，要让大多数学生参与课堂活动，在动手动脑的活动过程中，理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法。
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