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要有赋值的想法:令x= 或y= --------专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝5，求这个二次函数的解析式．
2．抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1），（1）求a的值；（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
3．一种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，求从点火升空到引爆需要的时间．
4．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，求这时水面离桥顶的高度．
5.如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝﹣，求此运动员把铅球推出多远？
6.某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为X轴，点O为原点建立平面直角坐标系（单位长度为1m），点A在y轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y= - （x-3）2+2
(1)求喷水管高OA．(2)身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？
7.对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（是物体离起点的高度，是初速度，是重力系数，取，是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上拋出．(1)球抛出后经多少秒回到起点？(2)几秒后球离起点的高度达到？
(3)球离起点的高度能达到吗？请说明理由．
8．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面6m，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由，
连续递推，豁然开朗
9．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
10．如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．(1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；(2)运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
思维拓展，更上一层
11．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
12．如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为．
(1)求点的坐标．(2)求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．
要有赋值的想法:令x= 或y= --------专项训练（1）
1．解：根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y＝x2+2x+2．
2 .解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a （1﹣2）2＝﹣1解得a＝﹣1
（2）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2，当y＝0时，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，
所以抛物线与x轴交点坐标为（2，0）；当x＝0时，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，
所以抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣4）．
3.解：h＝﹣t2+8t+2＝﹣（t﹣6）2+26，∵﹣＜0
∴这个二次函数图象开口向下．∴当t＝6时，升到最高点．
4．解：水面宽为12米，点的横坐标为6，
把代入函数解析式，可得：，故水面离桥顶的高度为米，
5．解：令y＝﹣＝0则：x2﹣8x﹣20＝0∴(x+2)(x﹣10)＝0∴x1＝﹣2(舍)，x2＝10
6．（1）解：当时，，∴点A的坐标为，∴喷水管高高．
（2）对于，令，则，∴小明不会被水喷到．
7.（1）由题意得：令h=0，可得，解得：∴球抛出后经2秒回到起点
（2）令h=1.8，可得，解得：
∴0.2或1.8秒后球离起点的高度达到
（3）不可能，理由如下：∴当t=1时，h有最大值，最大值为∴球离起点的高度不可能达到
8．（1）解：由题意知，，设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船不能通过，理由：当时，，解得或，∵，∴此船不能通过桥洞．
连续递推，豁然开朗
9．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
9．（1）解：设y与x的函数关系式为，
把，，代入得，，解得，
∴y与x的函数关系式为；
当时，，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；
（2）解：解方程，整理得，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；，且，
答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．
10．如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
(1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
(2)运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
10（1）解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得，解得：，∴．当时，，解得：（舍去）或，∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点B和守门员（点O)的距离为米；
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意可知：，∴解得：或（舍去），
∴．当时，．解得：或（舍去）．
∴运动员（点A）要抢到第二个落点C的距离为：（米）．∴他应再向前跑米．
11．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
11.解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2）设抛物线解析式为：
y＝a（x﹣6）2+6 ∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0）
∴0＝a（0﹣6）2+6，即a∴抛物线解析式为：y（x﹣6）2+6，即yx2+2x．
（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，m2+2m）D（m，m2+2m）．
∴“支撑架”总长AD+DC+CB＝（m2+2m）+（12﹣2m）+（m2+2m）
m2+2m+12（m﹣3）2+15．
∵此二次函数的图象开口向下．∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
12．如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为．
(1)求点的坐标．(2)求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．
12．（1）测得点离轴的距离为，点的横坐标为，
点在抛物线上，当时，，
点的坐标是．
（2），当时，，，，，，
点和点在抛物线上
，．∴．
高山坡的高度．
小球飞行过程中，离山坡的最大高度为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)求二次函数的解析式专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1.二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
法1：一般式
法2：交点式
法3：顶点式
2.．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．求这个二次函数的解析式；
法1：一般式:
法2：交点式
法3：顶点式
连续递推，豁然开朗
3.如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2,1)．(1)求其解析式．（2）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，画出新图像并求新图象的函数表达式
4.已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）将该二次函数图象沿y轴翻折后得到新图象，画出新图像并求新图象的函数表达式
5.已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．
思维拓展，更上一层
6．如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，．(1)求抛物线的解析式及线段的长；(2)求抛物线的解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标．
参考答案
1.解：（1）设二次函数y＝ax2+bx+c，则
，解得：∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．
(3）∵顶点为（1，﹣8），∴设二次函数解析式为y＝a（x-1）2﹣8，
把（-1，0）代入可得0＝a（-1-1）2﹣8，解得a＝2，∴y＝2（x-1）2﹣8；
2.解：（1）设二次函数y＝ax2+bx+c，则解得,
∴二次函数解析式为y＝-x2﹣2x+3；
（2）根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将点（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝-1，
∴该二次函数解析式为y＝-（x+3）（x﹣1），即y＝-x2﹣2x+3．
（3）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得，解得，
∴y＝﹣（x+1）2+4．
3．解：（1）∵二次函数的图象，顶点是原点，
∴设二次函数的解析式为，∴把点代入得，解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）y= - 1/4 ● x2
4.解：（1）设y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的顶点为（﹣1，﹣4），a＝1
∴该函数的图象沿y轴翻折后得到的函数图象顶点为（1，-4），a＝1
∴翻折后得到的函数表达式为y＝（x-1）2 - 4，
5.解：抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．
所以其顶点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（1，2），
所以，抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣1+2，即y＝﹣x2+2x+1．
6.（1）解：抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵轴，，∴B点纵坐标为，令，解得：，；
∵，∴，∵，∴．
（2）解：∵抛物线是与抛物线的形状完全相同，开口方向相反，
抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为，∵，∴，
将，代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
当小车距离轴的垂直距离为时，即，
解得：，或，解得：，（不符题意，舍去）
∴小车到出发点A的水平距离为或或．
（3）解：由抛物线，可得顶点，∴，，
设，则点则，，
∴所有支架的长度和化简，得
∵，，∴当时，有最大值，最大值为，此时的坐标为．
试卷第1页，共3页
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抛物线的平移：顶点平移-----专项训练
夯实基础，稳扎稳打
如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的
解析式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
2.已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．
（1）求平移后的抛物线C的解析式；
（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且x1＜x2，试比较y1，y2的大小．
3..已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
4.已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．
5．年月日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由小时缩短为小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽为，入口最高处为米．(1)求抛物线解析式；(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移，最高处降为米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要米，则（2）中的建议是否符合要求？
6.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
连续递推，豁然开朗
7．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH=1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
8．如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数关系式；(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，NM垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
4．
思维拓展，更上一层
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．
．
10．已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
参考答案
1．（1）解：把点代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，把点代入得：解得：
2.解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，
∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合，
∴平移后的抛物线C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，故当x1＜x2，y1＞y2．
3.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；
（2）平移方法有：①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，
把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵顶点坐标（2，1）；
∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；
②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，
把y＝1代入y＝﹣2x得出y，
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（，1）．
4.解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1；
（2）因为平移后的抛物线过原点，所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，
解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2
所以平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0），
所以||＝4，解得b＝8或﹣8，所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．
5．（1）由图知，此抛物线对称轴为轴，顶点坐标，，
故设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式得：，解得，
抛物线解析式为；
（2）由题意可知，抛物线向左平移，向下平移使最高点降为，
抛物线解析式为；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令中的，则，
整理得，解得，，，
，∴（2）中的建议不符合要求．
6.解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；
（2）平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8， 把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，
∵顶点坐标（2，1）； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，﹣4）；
②向左平移2.5个单位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1， 把y＝1代入y＝﹣2x得出y，
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（，1）．
7．（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．
又∵抛物线经过点，∴，∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，∴，（舍去）．∴喷出水的最大射程为．
（2）法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线，∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴将点C向左平移得到点B的坐标为
法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，
∴可设，将点代入得，（舍去）
∴下边缘抛物线的关系式为，∴当时，，
解得，（舍去），∴点B的坐标为；
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，∵，∴点的纵坐标为．
当抛物线恰好经过点时，．解得，
∵，∴．
当时，随着的增大而减小，∴当时，要使，则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．综上所述，的取值范围是．
8.（1）解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为，∴将点代入可得，
∴抛物线，
（2）解：设喷射架向左水平平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，解得或（舍去），
∴喷射架应向左水平移动3米．
9.解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．
又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；
（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，
①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），
由对称性可知：（x+3x）＝1，解得x，故点A的坐标为（，0），
将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：01+3﹣m，解得m
若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），
由对称性可知：（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，
综上：m或m＝6；
②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．
又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，
∴结合图象，得，∴﹣2≤n≤3．
10【解析】当x=0时y=4，∴点C（0，4），
∵，∴点D（1，），
设CD的函数解析式为y=kx+b，∴
解之：，∴CD的函数解析式为，
∵直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，∴当y=0时，
解之：x=-8，
∴点E（-8，0）
当x=4时y=6，∴点F（4，6）；
若将抛物线向下平移m个单位，∴y＝x2+x+4-m
∴x2+x+4-m=x+4
∴∴，
解之：，∴向下最多平移个单位；
若向上平移m个单位，∴y＝x2+x+4+m，
当x=-8时y=-36+m，
当x=4时y=m，
∵使抛物线与线段EF总有公共点，∴-36+m≤0，∴0＜m≤36，∴抛物线向上最多可以平移36个单位.
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建立恰当的坐标系专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径间，按相同间隔米用5根立柱加固，拱高为米，求立柱的长．
2．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为，，，水嘴高，求水柱落地点到水嘴所在墙的距离．
3.一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，求该运动员投篮出手点距离地面的高度
4．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，求支柱MN的高度．
连续递推，豁然开朗
5.同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，求洗手液落在台面的位置距DH的水平距离
6.我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，求EF的长度
思维拓展，更上一层
7.小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画．于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中 AB 和 AB 上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分．若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，求第二个鸡蛋的高度 CD
8.如图，在坡比为的斜坡上架设某种电缆，电缆两端挂起时下垂部分可近似看成抛物线的形状.已知距离左侧塔柱水平距离15米处，电缆最低点到坡面的铅锤高度为米，求左侧塔柱电缆悬挂点A到塔柱底部C点的距离
1.解：如图，以点C为坐标系的原点，设抛物线解析式为，由题知，图像过，
代入得：，∴，即．
∵F点横坐标为，∴当时，，∴米
2.解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，∵点是最高点，∴设抛物线的解析式为：，
将点坐标代入，可得：，解得：，∴，
令，解得：，，∴点，∴，
3.由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y==2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中．
4．解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5，
设抛物线解析式为，∴，∴，
∴抛物线解析式为，∴当时，，
∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米，
5，解：如图：根据题意，得Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，,设抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+14．
当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，解得：x＝6+12（负值舍去），
又OH=6，所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．
6.解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1,O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a．∴y＝ax2－a．
∵OH＝2××＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝．
∴y＝x2＋．∴EF＝（）×（-0.6）２＋＝．
7.解：如图1，
在Rt△AOE中， AO=BO=3.6，∠AOE=60 ，∴OE=OAsin60 =3.6×=1.8，AE= OAcos60 =3.6×=，
以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，设抛物线的解析式为：y=ax2+3，
当x=时，y=a×（）2+3=0，∴a=，
如图2，在Rt△A O E 中， A O =B O =3.24，∠A O E =60 ，
∴O E =O A cos60 =3.24×=1.62，A E = O A sin60 =3.24×=，
以A B 所在直线为x轴，C D 所在直线为y轴，设抛物线的解析式为：y=x2+b ，
当x=时，y=×（）2+b =0，
∴b =2.43，即C E =2.43，∴C D =C E +O E +O D =2.43+1.62+3.24=7.29cm.
8.解：如图，以点C为原点，CD方向为轴建立直角坐标系，设最低点为M，过M作一条与轴垂直的直线，与斜坡交于，与x轴交于点F，
设抛物线的解析式为，根据题意可知，，
且抛物线的对称轴为，可得，
∵斜坡的坡比为，∴，可得，∴，∴点M的坐标为，
将代入二次函数解析式可得：，解得，即，
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画图助你思考专项训练
1．若二次函数 的图象如图所示，求 的解集
2．若抛物线经过四个象限，求的取值范围
3．函数的图象上任意二点连线不与轴平行，求的取值范围
4.某班数学兴趣小组对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，完成下面各题．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大；
（4）进一步探究函数图象．①求方程x2﹣2|x|＝2的实数根的个数；
②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，求a的取值范围．
5.汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此推测两车是否超速
6．已知抛物线与轴所围成的封闭区域内含边界，横、纵坐标均为整数的点有且只有7个，求a的取值范围
7．已知满足，且，求的取值范围
8．如图， 将抛物线沿轴翻折， 翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线与这个新图象有3个公共点， 求的值
参考答案
1.【解析】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，
∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5，
2.【解析】抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0）
∵抛物线经过四个象限，且a=1>0
∴∴
3.【解析】∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，∴或，
∵，∴，解得：b≤1或b≥2.
4.解：（1）根据函数的对称性，m＝0，（2）描点画出如下函数图象：
（3）函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2与y＝x2﹣2|x|有2个交点；
②y＝a与y＝x2﹣2|x|有4个交点时，a在x轴的下方，故﹣1＜a＜0．
5.解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，
即或．
由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，
即或．由于，从而可得：，．
经比较：乙车超过限速．
6.由题意得：7个整点的分别为，，，，，，且， ，解得.
7.【解析】，
得：，，
得：，，∴，
∴，
如图：
当时，，当时，t有最小值3，
当，，
∵，∴，
8.【解析】∵抛物线解析式为，
∴翻折后得到的一个新抛物线解析式为，
∴翻折前后的两条抛物线与y轴的交点都为，
∵直线与这个新图象有3个公共点，
∴存在两种情况：当直线恰好经过时，当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
当直线恰好经过时，则，
当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
联立得，
∴，
∴，
综上所述，若直线与这个新图象有3个公共点， 则的值为或2，
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二次函数的应用专项训练
1．“五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．(1)A、B两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，求W与x之间的函数表达式．
(4)当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
销售单价x（元/件） 220 380
日销售量y（件） 180 20
2．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？
3．鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表． 某店销售鲜花饼，成本为每盒30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2.5倍．经试销发现，日销售量y（盒）与销售单价x（元）的函数关系如下图所示：
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少元时，该店日获利最大？最大获利是多少元？
4．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
(1)试用你学过的函数来描述y与x的关系，写出这个函数解析式；
(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
(3)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
5．某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．(1)求两种商品的销售单价．(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
6．某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知甲、乙笔记本各一本进价之和为10元，且甲种笔记本每本进价比乙种笔记本每本进价贵2元．(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
(2)该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？
(3)店主经统计发现每本笔记本的利润均为1元时，平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的售价都提高x元，如果售价提高不超过1元时，每提高0.1元，每天将少售出3本甲种笔记本和2本乙种笔记本；如果售价提高超过1元时，每提高0.1元，则每天将少售出5本甲种笔记本和4本乙种笔记本．当售价都提高多少元时，才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？
7．“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，黄山以奇石怪松享誉中外，每年都吸引无数人来旅游，但近年来随着疫情的影响，来黄山旅游的人数逐渐减少，为了促进地方经济，同时也为防止疫情的扩散，规定旅行社带团的人数不得超过30．某旅行社的收费方案为若该团不超过15人，则人均收费为950元；若超过15人且不超过30人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该旅行社带团的人数为x，人均收费为y（元）．(1)求y与x之间的关系式；(2)若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为4000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人．请你分析：旅行社带团的人数为多少时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润=总收费-固定成本-其他成本）
8．超市购进某种网纹瓜，如果进价增加2元/千克要用360元；如果进价减少2元/千克，同样数量的网纹瓜只用240元．(1)求网纹瓜的进价．(2)如果购进这种网纹瓜不超过100千克，就按原价购进；如果购进网纹瓜超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进网纹瓜的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．(3)超市一天购进网纹瓜数量不超过300千克，且购进网纹瓜当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售网纹瓜利润w（元）最大，求一天购进网纹瓜数量．
参考答案
1．（1）解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件，
由题意得：，解得：，
∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为，
将代入得：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得：
，
(4)∴当时，w取得最大值10000，
∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元．
2．（1）解：设y与x的函数关系式为：，
把，代入解析式得：，解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）根据题意，得；
当时，，解得：，，
∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；
（3），∵，
∴当销售单价时，销售利润w的值最大，最大值为2450元．
3．（1）当时，设与的函数解析式为，
根据题意，得，解得，∴．
当时，，
故与的函数解析式为；
（2）设该店日获利润为元，当时，
．
，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值，．
当时，．
随的增大而增大，时取得最大值，．
综上所述，当销售单价为75元时，取得最大利润，最大利润为2300元
4.（1）解：由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，
所以这个函数是一次函数，
设其解析式为，根据题意，得：，解得，
与的表达式为．
解：依题意得，
整理得：，解得或180，
物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（3）解：设利润为元，则，
∵获利不得高于进价的，∴，
∵，∴当时，W随着x的增大而增大∴当时，W最大．
答：售价定为72时，月销售利润达到最大
5．（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解：种商品售价不低于种商品售价，，解得，即，
设利润为，则
，
，在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
6．（1）设甲种笔记本的进价为元，则乙种笔记本的进价为元，
则，解得：．
答：甲种笔记本的进价为元，乙种笔记本的进价为元．
（2）设购进甲种笔记本本，则，解得：，
购入甲种笔记本最多本．
（3）设价格都提高元的总利润为元，则
①当时，，
当时，．
②当时，，
当时，，综上，当时，最大利润为元．
7．（1）解：由题意可知，当时，，
当时，，
由上可得，y与x的函数关系式为： ；
（2）由题意可得，当时，
，，随x的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，；
当时，
，当时，取得最大值，此时，，
由上可得，旅行社带团的人数为人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是．
8．（1）解：设网纹瓜的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：，经检验：是方程的解，且符合题意，
答：网纹瓜的进价为元/千克；
（2）当时，，
当时，，
∴；
（3）若时， ，
∴当时，，
若时， ，
∴当时，，
∵，∴当时，超市销售网纹瓜利润w最大，
答：要使超市销售网纹瓜利润w最大，一天购进网纹瓜数量为千克．
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