3.6 圆内接四边形 课件(共29张PPT) -2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

3.6 圆内接四边形
数学（浙教版）
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
学习目标
1．理解并掌握圆内接四边形的定义及性质；
2．能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题；
　
温故知新
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理
　
温故知新
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
讲授新课
知识点一 圆的内接四边形
探究1：过四边形的4个顶点能画一个圆吗？
过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。
C
A
B
O
D1
D3
如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆，
但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。
D2
讲授新课
探究2：如图，四边形的ABCD3的四个顶点都在?O上，请类比三角形，描述四边形ABCD3与?O的关系？
?
C
A
B
O
D3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的3个顶点确定一个圆
四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的3个顶点确定一个圆
四边形的4个顶点都在同一个圆上
这个圆叫做三角形的外接圆
这个圆叫做四边形的外接圆
这个三角形叫做圆的内接三角形
这个四边形叫做圆的内接四边形
讲授新课
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
eg：如图，四边形ABCD是?O的内接四边形，
?O是四边形ABCD的外接圆。
?
C
D
A
B
O
讲授新课
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180?，
∠B+ ∠D=180?
思考：如何证明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
讲授新课
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
讲授新课
典例精析
【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70°
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°
讲授新课
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x，3x，6x.
【例2】在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数.
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵ 2x+6x=180°，
∴ x = 22.5°.
∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°，
∠D =180°-67.5°=112.5°.
讲授新课
练一练
1、如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD＝________度．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B.
又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.
∴∠ADC＝180°÷3＝60°.
连接 OD，可得 AO＝OD，CO＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
60
讲授新课
2、如图，在⊙O的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是 (　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°.
故选A.
A
讲授新课
知识点二 圆的内接四边形性质
性质1：圆内接四边形的对角互补。
eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
C
D
A
B
除了这个性质，还有什么其他性质呢？
讲授新课
【思考】如下图，四边形ABCD是?O的内接四边形，∠BAE是∠BAD的外角，问 ：∠C与∠BAE有怎样的数量关系?
∵四边形ABCD是?O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠BAE=180°，
∴∠C=∠BAE。
【总结】圆内接四边形的任意一个外角等于它相邻的内角的对角。
C
D
A
B
O
E
讲授新课
性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【注释：它的内对角即和它相邻的内角的对角】
eg：∠C=∠BAE。
C
D
A
B
O
E
注意：
性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用
讲授新课
典例精析
【例2】圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=________。
解：设∠A的度数为x，则∠B的度数为2x，∠C的度数为3x,
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∴x+3x=180°，解得：x=45°，
∴∠B=2x=90°，
∴∠D=90°。
90°
讲授新课
练一练
1、如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，
????????=????????。若∠C=110°，则∠ABC的度数等于________。
?
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠DCB=70°，
∵????????=????????，
∴∠CAB=????????∠DAB=35°，
?
55°
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°。
讲授新课
2、如图，四边形ABCD内接于?O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
B
解：∵四边形ABCD内接于?O，∠C=130°，
∴∠A=180°-∠C=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°。
当堂检测
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，
则∠D的度数是 ( )
A. 110° B. 90° C. 70° D. 50°
A
A
C
D
B
O
根据圆的内接四边形的性质即可求出角的度数；
当堂检测
2.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，∠ADB= .
130°
50°
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
当堂检测
5、若在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=30°，∠ACB=75°，则∠ADB=________。
解：∵∠BAC=∠BDC，
∴A、B、C、D四点共圆【选择、填空可用判定2】，
∵????????=????????，
∴∠ADB=∠ACB=75°。
?
C
D
A
B
75°
当堂检测
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
6、 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
当堂检测
7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证： .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
当堂检测
8.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
当堂检测
9. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
(1) 若∠E+∠F=α，求∠A的度数 (用含α的式子表示) ；
∵∠E+∠F=α，
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∴∠A+∠E =∠EBF=180°－∠BCF－∠F，
=180°－∠A－∠F，
即 2∠A=180°－(∠E+∠F).
∴
当堂检测
(2) 若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
解：当α =60°时，
课堂小结
概念：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
性质1：圆内接四边形的对角互补。
性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【性质1是定理，可直接使用；性质2选择、填空可用】
谢 谢~