3.4 圆心角 课件(共26张PPT)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

3.4 圆心角
数学（浙教版）
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
学习目标
1．掌握圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性；
2．探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
　
导入新课
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
讲授新课
知识点一 圆心角及相关概念
探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
结论：
讲授新课
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：　　　　　　　　　　　　　　
A
O·
B
C
问题1 找出⊙O中的圆心角？
问题2 ∠ABC是不是圆心角？并说明原因？
∠AOC、 ∠BOC
不是，顶点不在圆心.
顶点在圆心的角叫做圆心角.
观察顶点是否在圆心.
讲授新课
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
讲授新课
知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
【要点】由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
讲授新课
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A ′ O ′ B ′ ，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
在等圆中探究
【要点】通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
·
O′
A′
B′
讲授新课
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
讲授新课
思考：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
讲授新课
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
(1)“在同圆或等圆中”这个前提条件很重要；
(2)已知一组量为“两条弧相等”，就已经默认了“在同圆或等圆中”；
(3)“在同圆或等圆中”，已知一组量为“两条弦相等”，必须强调“所对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．
讲授新课
练一练
1、填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_______________．
（2）如果 ，那么____________，__________________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
讲授新课
知识点三 关系定理及推论的运用
典例精析
【例2】如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上.
求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
讲授新课
解：
∵
【例3】如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
讲授新课
练一练
1、已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F.
求证：CD=EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点O作OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为K，H，如图.
H
K
∵OK=OH，（角平分线性质）
∴CD=EF.
讲授新课
2、如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE∥AB，弧CE为40°，求∠BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接OE，如图.
∵弧CE为40°，
∴∠COE=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠C=70°.
当堂检测
1、判断正误：
(1)相等的圆心角所对的弧相等；
(2)相等的弧所对的弦一定相等；
(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也一定相等．
×，在同圆或等圆中
√，相等的弧（等弧）已经默认“在同圆或等圆中”这个前提条件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________°．
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°×????????=144°．
?
144
当堂检测
3、如图，AB是?O的直径，????????=????????=????????，∠COD=34°，则∠AEO的度数是________°．
?
解：如图，∵????????=????????=????????，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°，
又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=????????×(180°-78°)=51°．
?
51
当堂检测
4、如图，AB是?O的直径，四边形ABCD内接于?O，若BC=CD=DA=4，则?O的周长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．9π
?
解：如图，连接OC、OD，
∵BC=CD=DA=4，
∴????????=????????=????????，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，∴?O的周长=2×4π=8π．
?
C
当堂检测
5. 如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， .
求证：AB＝CD.
C
A
B
D
O
证明：连接AO，BO，CO，DO.
即
当堂检测
6、若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是__________．
解：∵弦长等于半径，
∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，
∴弦所对的圆心角是60°，
∴弦多对的劣弧的度数是60°，弦所对的优弧的度数是300°．
60°或300°
课堂小结
圆心角的定义：　　　　　　　　　　　　　　
顶点在圆心的角叫做圆心角.
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
谢 谢~