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专题6.3 线段的长短比较+专题6.4 线段的和差
模块1：学习目标
1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；
2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；
3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；
4、理解中点定义，并进行相关的计算；
5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。
模块2：知识梳理
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。
3.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．
4.线段的长短比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；
③估算法（目测法）。
5.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
6.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．
如下图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
模块3：核心考点与典例
考点1、线段的长短比较
例1．（2023·北京·七年级统考期末）如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】根据比较线段长短的方法解答即可．
【详解】解：由题图可知，．故答案为：＜．
【点睛】本题考查了比较线段的长短，解题的关键是掌握比较线段长短的方法．
变式1．（2023·浙江七年级课时练习）分别比较图（1）（2）（3）中各条线段的长短：
【答案】（1）线段AB比CD短；（2）线段AB比CD短；（3）从短到长依次为线段CD、线段AD、线段BC、线段AB
【分析】根据刻度尺测量即可判断线段的长短．
【详解】解：根据度量法，用刻度尺量得：（1），线段AB比CD短；
（2），线段AB比CD短；
（3），从短到长依次为线段CD、线段AD、线段BC、线段AB；
【点睛】本题考查了比较线段长短的相关知识，解题的关键是测量的准确性．
变式2.（2023·浙江·七年级课时练习）估计图中各组线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论．
【答案】（1）两条线段长度相等；（2）向左倾斜的线段长度>向右倾斜的线段长度；（3）对图形顺次标记为线段a，b，c，d，可得a>b=c>d．
【分析】通过观察可得：（1）两条线段长度相等；（2）向左倾斜的线段长度>向右倾斜的线段长度；
（3）对图形顺次标记为线段a，b，c，d，可得a>b=c>d，即可．
【详解】解：通过观察可得：（1）两条线段长度相等；
（2）向左倾斜的线段长度>向右倾斜的线段长度；
（3）对图形顺次标记为线段a，b，c，d，如下图所示：
则有：a>b=c>d 通过测量确定判断正确．
【点睛】本题主要考查学生估计线段长短的能力，然后验证估计的正误，同时复习巩固了比较线段大小的方法：回想比较线段的大小的方法；首先根据图形，目测后估计各个线段的长短；用刻度尺分别出线段的长短，然后进行大小比较．
考点2、两点之间线段最短的应用
例2．（2023·江苏南通·七年级统考期末）把弯曲的道路改直，能够缩短行程，其道理用数学知识解释正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条线段 D．垂线段最短
【答案】B
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案；
【详解】根据线段的性质：两点之间线段最短可得：把弯曲的道路改直，能够缩短行程，其道理用数学知识解释应是：两点之间，线段最短；故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短
变式1．（2023·河北沧州·七年级统考期末）下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．故选A．
【点睛】此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．
变式2．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何的知识解释应是( )
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．线段可比较大小1
【答案】B
【分析】根据两点之间线段对端的方法即可求解．
【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，即运用的“两点之间线段最短”的几何原理，故选：．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短知识的运用，掌握以上知识是解题的关键．
考点3、两点之间的距离
例3．（2023·山东初一期中）下列语句中正确的是（ ）
A．两点之间直线的长度叫做这两点间的距离 B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离
C．两点之间线的长度叫做这两点间的距离 D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离
【答案】D
【分析】根据两点之间的距离定义直接判断得出即可．．
【解析】解：根据两点之间的距离定义可知：只有选项D正确．故选：D．
【点睛】本题考查的是两点间的距离定义，熟练掌握定义是解题的关键．
变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔市·）A，B两点间的距离是指（ ）
A．过A，B两点间的直线 B．连接A，B两点间的线段
C．直线AB的长 D．连接A，B两点间的线段的长度
【答案】D
【分析】根据两点间的距离定义即可求解．
【详解】解：A，B两点间的距离是指连接A，B两点间的线段的长度，故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离的定义．
变式2．（2023·广西宜州区·）同一平面上、两点间的距离是指（ ）
A．经过、两点的直线 B．射线
C．、两点之间的线段 D．、两点间线段的长度
【答案】D
【分析】根据两点间距离的定义解答即可．
【详解】解：同一平面上、两点间的距离是指、两点间线段的长度．故选D．
【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握两点之间线段的长度是这两点间的距离是解答本题的关键．
考点4、作一条线段等于已知线段
例4．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，．求作：线段，使．
【答案】见详解
【分析】解：作射线，在射线上依次截取，在线段上截取，则线段即为所求作线段．
【详解】解：如图， 线段．
【点睛】本题考查了尺规作图-作线段，能熟练利用尺规作一条线段等于已知线段，熟知线段的和差倍分关系是解题关键．
变式1．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）如图，已知线段a，b，射线AM．
实践与操作：在射线AM上作线段AB＝a，AC＝a－b．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
推理与探究：若线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，请在上图中标出点D，E．探究：线段DE与AC有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】作图见解析；AC＝2DE，理由见解析
【分析】先在射线AM上截取AB＝a，再截取CB＝b，则AC＝a﹣b，由于线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，则AD＝BD，CE＝BE，然后利用等线段代换可得到AC＝2DE．
【详解】解：如图，AB、AC为所作；
AC＝2DE．
理由如下：∵线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，
∵AD＝BD，CE＝BE，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝DE+BE+CD＝DE+CE+CD＝DE+DE＝2DE．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了两点间的距离．
变式2．（2020秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）尺规作图∶已知线段a，b求作线段AB，使AB=2a-2b．（不写作法）
【答案】见解析
【分析】先在射线AM上依次截取AC=CD=a，再截取DE=BE=b，则线段AB=2a-2b．
【详解】解：如图，AB为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考点5、线段和差的相关计算
例5．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据，即可的出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
即：；
故选C．
【点睛】本题考查线段的和差计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm．
【答案】5
【分析】根据题意画出图，由已知条件得到，设，则，得到，求出的值即可．
【详解】解：根据题意画出图如图，
，
，，，
，设，则，
，解得：，，故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
变式2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．
(1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可；
（2）先求出，再根据，然后由求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所作，
（2）解：∵，，∴
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查作一条线段等于已知线段，线段和差，熟练掌握作一条线段等于已知线段和线段差的计算是解题的关键．
考点6、线段和差的相关计算（分类讨论）
例6．（2023·山西太原·七年级校考阶段练习）点在直线上，若，则为（ ）
A．或 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】分两种情况：当点C在线段的右侧时；当点C在线段的左侧时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当点C在点B的右侧时，如图：
∵，∴；
当点C在点A的左侧时，如图：
∵，∴；
综上所述：为或，故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
变式1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）点、、在同一条直线上，，，、分别是、中点，则长可能是（ ）（多选题）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】因直线上三点、、的位置不确定，所以要分两种情况：①、在点两侧；②、在点同侧，画出图形根据中点的定义即可求出的长．
【详解】解：根据题意有两种情况：
①当、在点两侧时，如图1：
则；
②当、在点同侧时，如图2：
则；故选：AD．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间距离的求法，根据题意准确画图是解题的关键．
变式2．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为 ．
【答案】140或210/210或140
【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的2倍，分类讨论，的2倍最长，可得，的2倍最长，可得的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．
【详解】解：①当的2倍最长时，得，
，，，∴这条绳子的原长为，
②当的2倍最长时，得，，，
∴这条绳子的原长为 ．
综上所述，这条绳子的原长为或．故答案为：140或210．
【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键．
考点7、线段的中点
例7．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
【答案】5
【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则．
【详解】解： 是的中点，是的中点，
，
．故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点、在线段上，点是的中点，，则 ．
【答案】
【分析】由点是的中点，可得，再根据中点的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵点是的中点，∴，∴，故答案为：．
【点睛】此提考查了线段的中点，熟练掌握线段中点的性质是做本题的关键．
变式2．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）如图，延长至，使为的中点，点在上，．
(1)＝ ， ；(2)若，求的长．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由B是的中点，知．由，得．代入求解．
（2）由，得，于是，代入求解．
【详解】（1）解：∵B是的中点，∴．
∵，∴．∴．
（2）解：∵，∴．∴．
∵，∴．
【点睛】本题考查线段中点定义，线段间数量关系的理解和运用；理解中点定义，熟练运用已知的数量关系作等量代换是解题的关键．
考点8、线段的n等分
例8．（2023·浙江·七年级统考期末）如图，C、D是线段的三等分点，若，则线段的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据题意得到，即可求解．
【详解】∵C、D是线段的三等分点，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了求两点之间的距离的应用，掌握中点与等分点的意义以及线段的和与差是解决问题的关键．
变式1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图所示，C、D为线段的三等分点，点E是线段的中点．若，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由C、D为线段的三等分点，点E是线段的中点可推出，再由 ，即可求出的长．
【详解】∵点E是线段的中点，∴．
∵C、D为线段的三等分点，∴，
∴，∴，∴．故选A．
【点睛】本题考查线段中点的性质，线段n等分点的性质，线段的和与差．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
变式2．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
【答案】(1)3(2)①；②；③
【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故；
（2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；
②由，，知，，即得，故；
③由，，知，，即得，故．
【详解】（1）解：，，，
，分别是，的中点，，，
；故答案为：；
（2）解：①，分别是，的中点，
，，，
，；故答案为：；
②，，，，，，；
③，，，，
，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短．
【详解】解：∵点A与重合时，点在店B的右端，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握尺规法比较大小的基本原理是解题的关键．
2．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小．能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】根据两点之间线段最短，进行作答即可．
【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，是因为两点之间线段最短；故选C．
【点睛】本题考查两点之间线段最短．熟练掌握两点之间线段最短，是解题的关键．
3．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．画出A，B两点的距离
C．连接点A与点B的线段，叫A，B两点的距离 D．两点的距离是线段的长度，不是指线段本身
【答案】D
【分析】根据两点之间线段最短，两点间的距离的意义解答即可．
【详解】A. 两点之间，线段最短，不符合题意；B. 画出A，B两点的线段，不符合题意；
C. 连接点A与点B的线段的长度，叫A，B两点的距离，不符合题意；
D. 两点的距离是线段的长度，不是指线段本身，不符合题意；故选D．
【点睛】本题考查了线段最短的原理，两点间的距离，熟练掌握原理和距离是解题的关键．
4．（2023·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，点，在线段上，若．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，即可获得答案．
【详解】解：∵，∴∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，熟练掌握线段的和差关系是解题关键．
5．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有六个点，且，则与点D所表示的数最接近的整数是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先根据数轴上两点之间距离的定义求出之间的距离，再根据求出之间的距离，根据之间的距离即可求出点D所表示的数．
【详解】解：由A、F两点所表示的数可知，，
∵， ∴，
∴E点表示的数为：；点D表示的数为：；
∴与点D所表示的数最接近的整数是5． 故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间距离的定义，根据A、F两点所表示的数求出之间的距离是解答此题的关键．
6．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知线段，M是中点，，那么线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据M是中点，先求出的长度，则．
【详解】解：∵，M是中点，∴，
又∵，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了线段的长短比较，根据点M是中点先求出的长度是解本题的关键．
7．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）平面内，将长分别为1，4，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得的取值范围，利用此范围即可得出结论．
【详解】解：平面内，将长分别为1，4，1，1，的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
且，的取值范围为：，则可能是2．故选：B．
【点睛】本题考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到的取值范围是解题的关键．
8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
【答案】A
【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解．
【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；
②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键
9．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据线段的位置，分类讨论，①如图所示，点在点的右边；②如图所示，点在点的左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解．
【详解】解：①如图所示，点在点的右边，，，∴；
②如图所示，点在点的左边，，，∴；
∴两点之间的距离为或，故选：．
【点睛】本题主要考查线段的和、差，掌握线段的和、差计算方法，图形结合分析是解题的关键．
10．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知．
∵，∴，，
∴，．
当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．
∵，∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，∴大货车到达C地用时．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵，∴大货车到达B地用时．
此时大货车共行驶．
∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段，这里体现的数学基本事实是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：在路径：，以及曲线路线中，最近，因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
12．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图所示，则：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【答案】 / / / /
【分析】结合图形，根据线段的和差的计算方法计算即可．
【详解】（1）结合图形有：；
（2）∵，∴；
（3）∵，∴；
（4）∵，∴；
∵，∴；
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了线段的和与差，注重数形结合，是解答本题的关键．
13．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，、在线段上，若，，若点为中点，则长为 ．
【答案】
【分析】可根据，的长，先求出的长，再由线段中点的定义，可求出的长，最后用即可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
又点为中点，则．
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）如图，纸面上有一条数轴，点表示的数分别是，3，沿点所在的直线折叠纸面，使得点落在点的右边一个单位长度处，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出C表示的数．
【详解】解：∵表示的数为，3，，
∵折叠后，，
∵点C在点B的左侧，点表示的数为．故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解题的关键．
15．（2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）数轴上，两点表示的数分别是和5，若点为中点，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】先求出的长度，再根据点C是线段的中点，求出的长度，进一步即可求出点C表示的数．
【详解】解：∵数轴上，两点表示的数分别是和5，，
∵点C是线段的中点，，，
∴点C表示的数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
【答案】C C与D之间
【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．
【详解】解：如图，
∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；
若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；
若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；
若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，
∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．
如果工作台由5个改为6个，如图，
位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；
位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；
位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；
位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；
位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；
∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ．
【答案】或
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【详解】解：是线段的中点，，，
点是线段的三等分点，
①当时，如图，；
②当时，如图，．
所以线段的长为或． 故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
18．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
【答案】或或33
【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解．
【详解】解：∵，∴，
①当点为的中点时，，解得：；
②当点为的中点时，，解得：；
③当为的中点时，，解得：；
综上：或或；故答案为：或或33
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）按照下面语句画图，并回答问题：
(1)画线段，画直线，画射线；
(2)作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接；
(3)通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)两点之间线段最短
【分析】（1）根据线段、直线、射线的定义进行作图即可；（2）根据题目要求作图即可；
（3）根据两点之间线段最短，得出三角形的周长大于四边形的周长．
【详解】（1）解：如图，线段，直线，射线即为所求；
（2）解：点M、N，线段即为所求；
（3）解：通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了线段、射线、直线的定义和画法，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的区别和联系．
20．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，已知平面上有四个点，，，四个村庄．
(1)连接，作射线，作直线与射线交于点；
(2)若有一供电所要向四个村庄供电，为使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析；理由：两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据直线、线段、射线的定义连接即可，进而得出点位置；
（2）根据线段的性质，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在与的交点处．
【详解】（1）连接，作射线，作直线与射线交于点，如图所示，线段，射线，点即为所求
（2）如图，点即为所求，供电所应建在与的交点处；
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短，熟知线段的性质是解题的关键．
21．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，线段，点、把线段分成三部分，其比是，是的中点．
(1)求线段的长；(2)求线段的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据已知条件设，，，用方程求出，进而求出线段的长；（2）根据中点定义求出的长，然后得出线段的长．
【详解】（1）解：点、把线段分成三部分，其比是，
设，，，
线段，；
（2）是的中点．，．
【点睛】本题考查两点之间的距离，掌握中点定义的应用，其中用方程的思想解决此题是解题关键．
22．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知点在线段上，，，点为线段中点．
(1)如图1，若点为线段的中点，求线段的长；
(2)若点为直线上的点，且满足点到点距离为，求线段的长．
【答案】(1)线段的长为(2)线段的长为
【分析】（1）根据线段的和、差，中点的定义，可求出的值，由此即可求解；（2）根据线段的和、差，中点的定义，可求出的长，再根据点的位置确定的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：，，点为线段中点，∴，
∵点为线段的中点，∴，
∵，∴线段的长为．
（2）解：，，点为线段中点，∴，
∵点为直线上的点，且满足点到点距离为，∴，
∵，∴线段的长为．
【点睛】本题考查线段的和、差，中点的定义及性质，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
23．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）如图，是线段上任意一点，两点分别从点同时出发，沿线段向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为．设运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长；②当在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．
【答案】(1)①；②见解析(2)的长为或．
【分析】（1）①先求出与的长度，然后利用即可求出答案；
②用t表示出的长度即可证得；（2）当时，求出的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【详解】（1）解：①由题意可知，，
因为，所以，
所以；
②因为，所以，，
所以，所以，所以；
（2）解：当时，，，
当点在点的右边时，如图①所示：
因为，所以，
所以，所以；
当点在点的左边时，如图②所示：
因为，所以，
所以，综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
24．（2023秋·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点．(1)若，，求线段的长；(2)若C为线段上任点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若C为直线上线段之外的任一点，且，，则线段的长为_____．
【答案】(1)9厘米(2)，理由见解析(3)或
【分析】（1）利用中点定义求出，，由点C在线段上，计算即可；（2）利用（1）知，，由点C在线段上，，无论点C在线段上移动到哪里，；（3）当点C在线段的延长线上时，等于减去，而，从而可求出长度；
当点C在线段的延长线上时，等于减去，，从而可求出的长度．
【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，
∴，．∴．
又∵，，∴
（2） 理由如下：由（1）知：．∵，∴
（3）或
①当C在A的左侧时，如图，
∵点M，N分别是，的中点，∴，．
∴．
∵，，∴．
②当C在B的右侧时，如图，
∵点M，N分别是，的中点，∴，．
∴．
∵，，∴．综上，或．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，求出的长度，而第三问要分情况讨论，M在不同侧时有不同的情况，分析各情况得到的表达式
25．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）学习材料：
如图1，点在线段上，图中有三条线段，分别为线段，和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”.
解决问题：(1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ；(2)若线段，点为线段的“巧点”，则 ；(3)如图，已知，动点从点A出发，以的速度沿向点运动，点从点出发，以的速度沿向点A运动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为秒,当为何值时，点为线段的“巧点”？并说明理由．
【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析
【分析】（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；
（2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可．
【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是．
（2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”，
∴，或，
或．故答案为：或或．
（3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间，
∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间，
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
当时，P为的巧点，∴，解得：；
当时，P为的巧点，∴ ，解得：；
所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
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专题6.3 线段的长短比较+专题6.4 线段的和差
模块1：学习目标
1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；
2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；
3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；
4、理解中点定义，并进行相关的计算；
5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。
模块2：知识梳理
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。
3.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．
4.线段的长短比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；
③估算法（目测法）。
5.线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
6.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．
如下图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
模块3：核心考点与典例
考点1、线段的长短比较
例1．（2023·北京·七年级统考期末）如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）
变式1．（2023·浙江七年级课时练习）分别比较图（1）（2）（3）中各条线段的长短：
变式2.（2023·浙江·七年级课时练习）估计图中各组线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论．
考点2、两点之间线段最短的应用
例2．（2023·江苏南通·七年级统考期末）把弯曲的道路改直，能够缩短行程，其道理用数学知识解释正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条线段 D．垂线段最短
变式1．（2023·河北沧州·七年级统考期末）下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
变式2．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何的知识解释应是( )
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．线段可比较大小1
考点3、两点之间的距离
例3．（2023·山东初一期中）下列语句中正确的是（ ）
A．两点之间直线的长度叫做这两点间的距离 B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离
C．两点之间线的长度叫做这两点间的距离 D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离
变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔市·）A，B两点间的距离是指（ ）
A．过A，B两点间的直线 B．连接A，B两点间的线段
C．直线AB的长 D．连接A，B两点间的线段的长度
变式2．（2023·广西宜州区·）同一平面上、两点间的距离是指（ ）
A．经过、两点的直线 B．射线
C．、两点之间的线段 D．、两点间线段的长度
考点4、作一条线段等于已知线段
例4．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，．求作：线段，使．
变式1．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）如图，已知线段a，b，射线AM．
实践与操作：在射线AM上作线段AB＝a，AC＝a－b．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
推理与探究：若线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，请在上图中标出点D，E．探究：线段DE与AC有怎样的数量关系，并说明理由．
变式2．（2020秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）尺规作图∶已知线段a，b求作线段AB，使AB=2a-2b．（不写作法）
考点5、线段和差的相关计算
例5．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）在一条直线上顺次取，，，四点，使，如果，，则 cm．
变式2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．
(1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求的长．
考点6、线段和差的相关计算（分类讨论）
例6．（2023·山西太原·七年级校考阶段练习）点在直线上，若，则为（ ）
A．或 B． C． D．无法确定
变式1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）点、、在同一条直线上，，，、分别是、中点，则长可能是（ ）（多选题）
A． B． C． D．
变式2．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为 ．
考点7、线段的中点
例7．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点、在线段上，点是的中点，，则 ．
变式2．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）如图，延长至，使为的中点，点在上，．
(1)＝ ， ；(2)若，求的长．
考点8、线段的n等分
例8．（2023·浙江·七年级统考期末）如图，C、D是线段的三等分点，若，则线段的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
变式1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图所示，C、D为线段的三等分点，点E是线段的中点．若，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
2．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小．能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
3．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．画出A，B两点的距离
C．连接点A与点B的线段，叫A，B两点的距离 D．两点的距离是线段的长度，不是指线段本身
4．（2023·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，点，在线段上，若．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有六个点，且，则与点D所表示的数最接近的整数是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知线段，M是中点，，那么线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）平面内，将长分别为1，4，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
8．（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
9．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．
10．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段，这里体现的数学基本事实是 ．
12．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图所示，则：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
13．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，、在线段上，若，，若点为中点，则长为 ．
14．（2023·重庆沙坪坝·七年级校考阶段练习）如图，纸面上有一条数轴，点表示的数分别是，3，沿点所在的直线折叠纸面，使得点落在点的右边一个单位长度处，则点表示的数是 ．
15．（2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）数轴上，两点表示的数分别是和5，若点为中点，则点表示的数是 ．
16．（2023·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
17．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ．
18．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）按照下面语句画图，并回答问题：
(1)画线段，画直线，画射线；
(2)作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接；
(3)通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
20．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，已知平面上有四个点，，，四个村庄．
(1)连接，作射线，作直线与射线交于点；(2)若有一供电所要向四个村庄供电，为使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
21．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，线段，点、把线段分成三部分，其比是，是的中点．
(1)求线段的长；(2)求线段的长．
22．（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）已知点在线段上，，，点为线段中点．
(1)如图1，若点为线段的中点，求线段的长；
(2)若点为直线上的点，且满足点到点距离为，求线段的长．
23．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）如图，是线段上任意一点，两点分别从点同时出发，沿线段向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为．设运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长；②当在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．
24．（2023秋·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图，点C在线段上，点M、N分别是、的中点．(1)若，，求线段的长；(2)若C为线段上任点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若C为直线上线段之外的任一点，且，，则线段的长为_____．
25．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）学习材料：
如图1，点在线段上，图中有三条线段，分别为线段，和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”.
解决问题：(1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”) ；(2)若线段，点为线段的“巧点”，则 ；(3)如图，已知，动点从点A出发，以的速度沿向点运动，点从点出发，以的速度沿向点A运动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为秒,当为何值时，点为线段的“巧点”？并说明理由．
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