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专题6.5 角与角的度量+专题6.6 角的大小比较
模块1：学习目标
1．掌握角的概念及角的表示方法；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角的分类；
3．掌握角度制并能进行角度的互换；
4.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法。
模块2：知识梳理
1．角的概念及其表示
（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
注意：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示。
角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：（1）对中（顶点对中心）；（2）重合（一边与刻度尺上的零度线重合）； （3）读数（读出另一边所在线的刻度数）。
注意：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
3.角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
4.角的比较方法
(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
（3）估计法。
模块3：核心考点与典例
考点1、角的概念理解
例1．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大
【答案】C
【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答．
【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；；
D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
变式1．（2023·河北承德·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线
C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°
【答案】C
【详解】试题分析：A．平角和直线是两个概念，平角的特点是两条边在同一条直线上，但不能说成平角就是一条直线，故错误；
B．周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线，因为角和线是两个不同的概念，二者不能混淆，故错误；C．平角的两条边在同一条直线上，故正确；
D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是360°，故错误．故选C．
考点：角的概念．
变式2．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为
【答案】D
【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可．
【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意；
B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；
C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意；
D、也可以表示为，故正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单．
变式3．（2023·浙江七年级课时练习）下列语句中不正确的个数是（ ）．
①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形；③；④钝角的一半是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据角的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】由两条具有公共端点射线组成的图形叫做角，故①错误；②正确；
4.5°＝4°＋0.5×60′＝4°30′，故③不正确；④正确；故选：B．
【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的定义和性质，从而完成求解．
考点2、角的表示方法
例2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误；
B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中、、表示同一个角，故本选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列图形中，能表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可．
【详解】解：A．是两条直线，不是角，本选项不符合题意；
B．表示或，本选项不符合题意；
C．表示，本选项符合题意；
D．表示或，本选项不符合题意，故答案为：C．
【点睛】本题考查了角的定义和角的表示方法，解题的关键是掌握角的概念．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．与表示同一个角 B．也可用来表示
C．图中共有三个角：，， D．表示的是
【答案】B
【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可；
【详解】解：A、和表示同一个角，故本选项不符合题意；
B、不可以用表示，故本选项符合题意；
C、图是共有三个角：，，，故本选项不符合题意；
D、表示的是，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
考点3、角的分类
例3．（2023·江苏·七年级专题练习）角可以分为 、 、 三类．
【答案】 钝角 直角 锐角
【分析】根据角的分类解答即可．
【详解】解：由题意可知：角可以分成钝角，直角和锐角．故答案为：钝角，直角，锐角
【点睛】本题考查角的分类，解题的关键是理解角的分类．
变式1.（2023·广东七年级专题练习）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的分类，即可求解．
【详解】解：A、是平角，故本选项不符合题意；B、是锐角，故本选项不符合题意；
C、是直角，故本选项不符合题意；D、是钝角，故本选项符合题意；故选：D
【点睛】本题主要考查了角的分类，熟练掌握锐角是大于0°小于90°的角；直角等于90°；钝角是大于90°小于180°的角；平角等于180°是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；
④平角等于；⑤周角等于．
【答案】3
【分析】根据锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义即可判断．
【详解】解：①小于的角也可能是，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；⑤周角等于，说法正确，故正确有3个，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题，掌握相应的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
考点4、画特殊角
例4．（2023春·浙江七年级课前预习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合 故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
变式1．（2023春·广东七年级课时练习）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
变式2．（2023·浙江七年级课时练习）借助一副三角尺画出的角．
【答案】见解析
【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出．
【详解】解：如图所示，45°-30°=15°，
45°+60°=105°，90°+30°=120°，90°+45°=135°．
【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键．
考点5、角的单位与角度制
例5．（2023秋·广东七年级课时练习） 度 分 秒， ．
【答案】 31 27 36
【分析】根据度、分、秒是60进制进行转化即可．
【详解】解：，，
所以，故答案为：31，27，36；
， 所以，故答案为：
【点睛】本题考查了度、分、秒的互化，掌握进制关系是解决本题的关键．
变式2．（2023秋·山东七年级课时练习）等于 '，等于 ''，等于 °
【答案】 24 75
【分析】根据进行换算即可得．
【详解】解：，，，
故答案为：24，75，．
【点睛】本题考查了角的单位与角度制，熟练掌握角度制的换算关系是解题关键．
变式2．（2023秋·山东七年级课时练习）计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）6；0.1（2）720；0.2（3）57；10；48（4）74.325
【分析】根据度分秒的进率进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，，∴，故答案为：6；0.1．
（2）∵，，∴，故答案为：720；0.2．
（3）∵，，∴，故答案为：57；10；48．
（4）∵，，
∴，故答案为：74.325．
【点睛】本题考查度分秒的互换，解题关键是熟练掌握，．
.考点6、角的度数大小比较
例6．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知，则的大小关系为 ．
【答案】
【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【详解】解：，，，，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式1．（2023秋·江苏·七年级课堂例题）比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，如图所示，则 ．
【答案】>
【分析】如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可．
【详解】解：比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，则，故答案为：>．
【点睛】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小，注意两个重合：顶点和一边；一个同侧：两个角的另一条边在重合边的同侧．
变式2．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）如图，网格为正方形网格，则 ．
【答案】/大于
【分析】依据图形即可得到，，进而得出两个角的大小关系．
【详解】解：由图可知：，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了角的比较，掌握比较角的大小方法是解答此题的关键．
考点7、角的计数问题
例7．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）观察图，完成下列问题：
(1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角；
(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角；
(3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角．
【答案】(1)3(2)6(3)66
【分析】（1）根据图①直接数出即可；（2）根据图②直接数出即可；（3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数．
【详解】（1）解：图①中有，，共3个，故答案为：3．
（2）解：在内部画2条射线，，则图中有、、、、、，共个不同的角；故答案为：6．
（3）解：按逆时针方向，以射线为角的始边，则题图①中分别以射线为角的终边共有两个角：，；以射线为始边，射线为终边有一个角：，所以题图①中角的个数是；同理，题图②中角的个数是；
经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1，
∴当内部有10条射线时，角的个数是：．
【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．
变式1．（2023秋·湖北七年级课时练习）根据图示，完成以下各题
(1)写出图中能用一个字母表示的角；(2)写出图中以为顶点小于平角的角；
(3)图中小于平角的角共有几个？请写出来
【答案】(1)， (2)5个：，，，，
(3)10个：，，，，，，，，，
【分析】（1）根据角的表示方法解答；（2）根据角的定义解答；（3）根据角的定义解答．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，
（2）以为顶点小于平角的角有5个：，，，，；
（3）图中小于平角的所有的角有10个：，，，，，，，，，．
【点睛】此题考查了角的定义及角的表示方法，正确掌握角的定义及表示方法是解题的关键．
变式2．（2022·成都市七年级期中）解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 ______ ______ ______ ______
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 3 6 10 15
（2）当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
即内射线的条线是n时，角总个数为：
（3）当内有射线条数是2020时，角总个数为：（个）．
【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n-1）个角．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角
C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是
【答案】C
【分析】根据平角，周角的概念进行判断即可得．
【详解】解：A、一条射线绕它的端点旋转半周后，两条射线刚好在一条直线上，这个角就是平角，选项说法错误，不符合题意；
B、小于平角的角是钝角或直角或锐角，选项说法错误，不符合题意；
C、平角的两条边在同一条直线上，选项说法正确，符合题意；
D、周角的终边与始边重合，所以周角的度数是，选项说法错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查了了平角，周角，解题的关键是掌握平角，周角．
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形是（ ）
A．扇形 B．圆弧 C．角 D．三角形
【答案】C
【分析】依据角的定义解答即可．
【详解】解：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，是角；故选：C．
【点睛】本题考查了角的概念，理解角的定义是解题关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．角的大小与边的长短无关 B．由两条射线组成的图形叫做角
C．如果，那么点B是的中点 D．连接两点间的线段叫做这两点的距离
【答案】A
【分析】依据角的概念、线段的性质、中点的定义以及两点间的距离的定义进行判断即可．
【详解】解：A、角的大小与边的长短无关，说法正确，故本选项符合题意；
B、从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、若点B在线段上，，则点B是的中点，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，原说法错误，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查的是线段的性质、角的概念、两点之间的距离的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键．
3．（2023秋·广东七年级课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．与是同一个角 B．也可以用表示
C． D．图中有三个角
【答案】B
【分析】根据角的表示方法即可得出结果．
【详解】解：与是同一个角，说法正确，故不符合题意．
也可以用表示，说法错误，故符合题意．
，说法正确，故不符合题意．
图中有三个角，说法正确，故不符合题意．故选：
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键．
4．（2023秋·黑龙江·七年级统考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可．
【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为；图2表示正确；
图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；图4表示正确．
所以表示正确的个数为2．故选：B．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各角中是钝角的是（ ）
A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角
【答案】B
【分析】根据大于直角（）小于平角（）的角叫做钝角、等于的角叫周角、等于的角叫平角、等于的角叫直角来解答．
【详解】解：A、，是锐角；B、，是钝角；
C、，是直角；D、，是锐角．故选：B．
【点睛】此题考查了钝角、直角、平角、周角的概念，属于基础题，难度不大，熟悉概念即可进行正确计算．
6．（2022·河北·七年级期末）在军事上，往往对角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一周角等于360°，列式即可求解．
【详解】依题意可得1密位等于×360°=故选C．
【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知一周角等于360°．
7．（2023·山西太原·七年级校考阶段练习）已知，，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据度分秒的进制进行计算，可得，即可解答．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
8．（2022 延边州期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据量角器的使用方法解答．
【答案】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数．
观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的概念，用量角器度量角的度数，量角器的正确、熟练使用是关键．
9．（2022 上虞区模拟）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
【思路点拨】根据角的大小与角的两边的长短无关作出判断．
【答案】解：将原三角形置于在10倍的放大镜下看到的三角形各边长均是原三角形10倍，
∴三角形的边长，周长，面积都会发生变化，
又∵角的大小与角的两边的长短无关，∴三角形的角的大小保持不变，故选：A．
【点睛】本题考查角的概念，理解“角的大小与角的两边的长短无关”是解题关键．
10．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小．
【详解】解：由图1可知：角在内，
由图2可知：角在外，∴，∴，故选B．
【点睛】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东·七年级课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：
【答案】．
【分析】根据角的表示即可得．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示．
12．（2023秋·七年级课时练习）周角= 平角= 直角．
【答案】 /0.5 1
【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解．
【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度，
∴周角平角直角，故答案为：，1．
【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容
13．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）已知，那么 ．
【答案】/小于
【分析】利用角度的运算可得，然后问题可求解．
【详解】解：由，，
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查角的运算，熟练掌握角度的运算是解题的关键．
14．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）换算 度 分 秒．
【答案】 50， 14， 24．
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可．
【详解】解：，，，，
度14分24秒，故答案为：50，14，24．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
15．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；（3） ′， ．
【答案】 2 4 60 3600 75 1.5
【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可．
【详解】解：（1）1周角平角直角；
（2）；（3），．
故答案为：2；4；60；3600；75；1.5．
【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握．
16．（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．
【答案】
【分析】利用网格图的特征，注意角的运用．
【详解】解：由图知，,
∴．∴．
∵，∴．∴ 故答案为：
【点睛】本题考查网格图中角的计算，理解网格图的特征，运用是解题的关键．
17．（2022·四川龙泉驿区·七年级期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有_________个平衡时刻．
【答案】24
【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解．
【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，
∴24×1=24（次），即从0时到24时共有24个平衡时刻；故答案为24．
【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．
18．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有__________个角；如果引出条射线，有____ 个角．
【答案】 10 21
【分析】先找以为始边的角，然后再找依次以射线为始边的角，依次找出相加即可．
【详解】在的内部从引出3条射线，则图中共有角的个数：；
如果引出5条射线，则图中共有角的个数：；
如果引出条射线，则图中共有角的个数：．
故答案为：10；21；．
【点睛】考查了角的概念，本题解决的关键是在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江七年级课时练习）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
【答案】画图见解析
【分析】由 再利用三角板画即可.
【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下：
【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.
20．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图所示，写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角．(2)以为顶点的角．(3)图中所有小于平角的角．
(4)若，，请比较与的大小．
【答案】(1)， (2)（或），（或）．
(3)，，，，，，(4)
【分析】（1）根据角的表示即可得解；（2）根据角的表示即可得解；
（3）根据平角定义及角的表示即可得解；（4）将、的大小化为同单位后比较即可．
【详解】（1）解：因为影图中以，为顶点的角各只有一个，
所以能用一个大写字母表示的角有，．
（2）解：以为顶点的角有个．分别为（或），（或）．
（3）解：题图中所有小于平角的角有，，，，，，．
（4）解：，所以．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、）表示，或用阿拉伯数字（，表示
21．（2023春·山东七年级课时练习）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图1中，延长线段AB至C，使；(2)在图2中，作．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形．
【详解】（1）解：线段即为所作；
（2）如图，或即为所作．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，
(1)用不同的方法表示图中以为顶点的角；(2)写出以为顶点的角与边；
(3)画出，使成平角，写出它的边．
【答案】(1)或或(2)角为（或或），边是，
(3)图见解析，边是，
【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；
（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可得：
用三个字母表示以为顶点的角为：，
用一个字母表示以为顶点的角为：，
用数字表示以为顶点的角为：，
故答案为：或或．
（2）解：解：由图可得：
用三个字母表示以为顶点的角为：，
用一个字母表示以为顶点的角为：，
用数字表示以为顶点的角为：，
以为顶点边是，，
故答案为：角为（或或），边是，．
（3）解：如图，是射线的反向延长线，
则成平角，的边是，．
【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．
23．（2022秋·重庆南岸·七年级统考期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图：
(1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论；(2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论.
【答案】(1)
(2)当点Q在线段上时，，当点Q在射线上时，
【分析】（1）按照作一条线段等于已知线段的作法作图即可.
（2）分两种情况：①Q点在线段上，②Q点在线段上，作出图形即可比较大小.
【详解】（1）如图，点D、E即为所求，且.
（2）如图，当Q点在线段OE上时，，
当点Q在射线上时，.
【点睛】本题主要考查了比较线段的大小和比较角的大小，解题的关键是根据题意正确的作出图形.
24．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段、点在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等．
利用画图工具画图：
(1)①画线段、；②延长线段到点，使；③画直线．
(2)线段与线段的大小关系是：______；(3)与的大小关系是：______．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）①连接、即可；②延长线段，截取；③所作直线经过、即可；
（2）量出线段与线段的长度即可得到答案；（3）量出与的大小即可得到答案．
【详解】（1）解：作图如图下：
（2）测量可得：，故答案为：；
（3）测量可得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，比较线段的长短和角的大小比较.作两点之间的线段，连接两点即可，由两点作直线，连接两点并向两个方向延长即可得这两点确定的直线．
25．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；
②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；
③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
【答案】(1)①3；②6；③(2)
【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，
，∴图中得到3个角；
②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，
，∴图中得到6个角；
③由①②可得，当从点分别引条射线，
，∴得到个角；
（2）根据题意可得，当时，．
∴全部赛完共需120场比赛．
【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键．
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专题6.5 角与角的度量+专题6.6 角的大小比较
模块1：学习目标
1．掌握角的概念及角的表示方法；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角的分类；
3．掌握角度制并能进行角度的互换；
4.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法。
模块2：知识梳理
1．角的概念及其表示
（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
注意：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示。角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：（1）对中（顶点对中心）；（2）重合（一边与刻度尺上的零度线重合）； （3）读数（读出另一边所在线的刻度数）。
注意：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
3.角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
4.角的比较方法
(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
（3）估计法。
模块3：核心考点与典例
考点1、角的概念理解
例1．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大
变式1．（2023·河北承德·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线
C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°
变式2．（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线
C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为
变式3．（2023·浙江七年级课时练习）下列语句中不正确的个数是（ ）．
①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形；③；④钝角的一半是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2、角的表示方法
例2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列图形中，能表示的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．与表示同一个角 B．也可用来表示
C．图中共有三个角：，， D．表示的是
考点3、角的分类
例3．（2023·江苏·七年级专题练习）角可以分为 、 、 三类．
变式1.（2023·广东七年级专题练习）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；
④平角等于；⑤周角等于．
考点4、画特殊角
例4．（2023春·浙江七年级课前预习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
变式1．（2023春·广东七年级课时练习）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75° B．105° C．110° D．135°
变式2．（2023·浙江七年级课时练习）借助一副三角尺画出的角．
考点5、角的单位与角度制
例5．（2023秋·广东七年级课时练习） 度 分 秒， ．
变式2．（2023秋·山东七年级课时练习）等于 '，等于 ''，等于 °
变式2．（2023秋·山东七年级课时练习）计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
.考点6、角的度数大小比较
例6．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知，则的大小关系为 ．
变式1．（2023秋·江苏·七年级课堂例题）比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，如图所示，则 ．
变式2．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）如图，网格为正方形网格，则 ．
考点7、角的计数问题
例7．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）观察图，完成下列问题：
(1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角；
(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角；
(3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角．
变式1．（2023秋·湖北七年级课时练习）根据图示，完成以下各题
(1)写出图中能用一个字母表示的角；(2)写出图中以为顶点小于平角的角；
(3)图中小于平角的角共有几个？请写出来
变式2．（2022·成都市七年级期中）解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 ______ ______ ______ ______
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角
C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形是（ ）
A．扇形 B．圆弧 C．角 D．三角形
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．角的大小与边的长短无关 B．由两条射线组成的图形叫做角
C．如果，那么点B是的中点 D．连接两点间的线段叫做这两点的距离
3．（2023秋·广东七年级课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．与是同一个角 B．也可以用表示
C． D．图中有三个角
4．（2023秋·黑龙江·七年级统考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各角中是钝角的是（ ）
A．周角 B．平角 C．周角 D．2直角
6．（2022·河北·七年级期末）在军事上，往往对角的度量有更精密的要求，常常使用密位制，1密位等于周角的，即为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西太原·七年级校考阶段练习）已知，，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 延边州期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022 上虞区模拟）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
10．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东·七年级课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：
12．（2023秋·七年级课时练习）周角= 平角= 直角．
13．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）已知，那么 ．
14．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）换算 度 分 秒．
15．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；（3） ′， ．
16．（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是 ．
17．（2022·四川龙泉驿区·七年级期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有_________个平衡时刻．
18．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有__________个角；如果引出条射线，有____ 个角．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江七年级课时练习）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
20．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图所示，写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角．(2)以为顶点的角．(3)图中所有小于平角的角．
(4)若，，请比较与的大小．
21．（2023春·山东七年级课时练习）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图1中，延长线段AB至C，使；(2)在图2中，作．
22．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，(1)用不同的方法表示图中以为顶点的角；(2)写出以为顶点的角与边；(3)画出，使成平角，写出它的边．
23．（2022秋·重庆南岸·七年级统考期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图：(1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论；(2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论.
24．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段、点在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等．
利用画图工具画图：
(1)①画线段、；②延长线段到点，使；③画直线．
(2)线段与线段的大小关系是：______；(3)与的大小关系是：______．
25．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；
②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；
③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
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