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专题6.7 角的和差
模块1：学习目标
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块2：知识梳理
1.角的和、差：由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．
2.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，
如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 类似地，还有角的三等分线、n等分线等.
模块3：核心考点与典例
考点1、角度的四则运算
例1．（2022秋·江西上饶·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】先把化为，再计算减法运算即可．
【详解】解：；故答案为：
【点睛】本题考查的是角度的加减运算，熟记角度加减运算法则与进位制是解本题的关键．
变式1．（2023秋·山东·七年级课堂例题）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）；（2）；
（3）；（4）．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【答案】
【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）；故答案为：；
（4）；故答案为：．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
变式3．（2023·江苏七年级课时练习）已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是： ．
【答案】甲
【分析】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可．
【详解】解：∵，都是钝角，∴，，
∴，∴，∴算得正确的是甲．故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．
考点2、几何图形中的角度计算
例2．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据角的和差可得，又根据角的和差可得，再根据即可得．
【详解】解：，，，
，，
又，，，故选：A．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键．
变式1．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．
【答案】10
【分析】根据列式计算即可．
【详解】解：由题意得：，故答案为：10．
【点睛】本题考查了角的和差计算，准确识别图形是解题的关键．
变式2．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
【答案】(1)①③(2)见解析(3)60或80(4)或
【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）；
（2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可；
（3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数；（4）分两种情况分别讨论．
【详解】（1）当时，，，①符合题意；
当时，，，②不符合题意；
当是的角平分线，，③符合题意；故答案为①③．
（2）∵，，∴，如下图：
（3）∵是的“倍锐角”，∴（k为正整数），
∵，∴，∴应逆时针旋转，
∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，∴可取，，，，
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；故答案为：60或80．
（4）∵是的“倍锐角”，∴（k为正整数），
∵，∴，
①：如图，；
②：如图，，∵，∴，
∴，故答案为：或．
【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键．
考点3、三角板中的角度计算
例3．（2023·上海闵行·七年级校考期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的角度是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算出，根据即可求出重合部分的角度．
【详解】解：∵∴
∴即重合部分的角度是故选：C
【点睛】本题考查三角板中的角度计算．确定是解题关键．
变式1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∵，，，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
变式2．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．
【详解】解：∵，，∴ ，
∵，∴ ，故答案为：．
【点睛】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键．
考点4、钟表中的角度计算
例4．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图，当钟表上时刻为上午正时，钟表上时针与分针的夹角为 度．
【答案】
【分析】根据钟表上时针小时转，小时转，即可．
【详解】∵钟表上时针小时转，小时转
∴钟表上时刻为上午正时，钟表上时针与分针的夹角为：故答案为：．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键是掌握角的计算，掌握钟表上时针小时转，小时转．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是 ．
【答案】/20度
【分析】根据钟面上每相邻两个数字所对应的圆心角为，即一个“大格”所对应的圆心角为，再根据时针与分针转动过程中角的变化关系可求出答案．
【详解】解：钟面上3点20分时，时针与分针的位置如图，
根据钟面角的特征可知，，，
所以，故答案为：．
【点睛】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字所对应的圆心角为以及时针与分针转动过程中角的变化关系是解决问题的关键．
变式2．（2022 招远市期中）早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯．某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：20，此时时钟上的分针与时针所成的角是 度．
【思路点拨】根据钟面上每相邻两个数字之间，即一个“大格”所对应的圆心角为360°×＝30°，每一分钟，即每一个“小格”所对应的圆心角的度数为360°×＝6°，再根据时针、分针转动过程中旋转角度的关系求出相应的角度即可．
【答案】解：21：20时时针与分针的夹角如图所示，
根据钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角∠BOD＝360°×＝30°，
而∠AOC＝30°×＝10°，
∴∠AOB＝30°×5+10°＝160°，故答案为：160．
【点睛】本题考查钟面角，掌握钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角的度数为30°以及时针、分针转动时所引起圆心角的变化是解决前提的关键．
考点5、角平分线的相关计算
例5．（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）已知，平分，，则 ．
【答案】或．
【分析】需要分两种情况讨论：射线位于下方；射线位于上方分别进行求解．
【详解】解：∵，平分，∴．
①如图所示，射线位于下方．
．
②如图所示，射线位于上方时．
．
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
变式1．（2023·重庆沙坪坝·九年级中校考自主招生）如图，平分，平分．若，，则 ．
【答案】/度
【分析】根据角平分线的定义得出，，再根据已知条件得出，即可求出的度数，从而求出的度数．
【详解】解：平分，平分，，，
，，，
，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
变式2．（2021秋·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，,则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得，即可得，根据角平分线的性质可得，即可得．
【详解】解：，，，
∵是的角平分线，，
．
【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是理解题意，掌握角平分线．
变式3．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，是直角，平分，平分，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据角平线的定义可知，进而可求得的度数，根据角平线的定义可求得，进而可求得答案．
【详解】∵平分，∴．∴．
∵平分，∴．
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线，牢记角平分线的定义是解题的关键．
考点6、角n等分线的相关计算
例6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，
当时，如图：
∵，，∴，
∵射线为的平分线，∴，
∴；
当时，如图：∵，，∴，
∵射线为的平分线，∴，∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．
变式1．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
变式2．（2023·北京朝阳·七年级统考期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为 ．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②80°(2)∠MON的度数不变，80°
【分析】（1）①根据题意补全图；②根据，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数；（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝AOB，从而得出答案．
【详解】（1）解：①依题意补全图如下：
②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴，
∵射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，∴，
∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，同理可得∠CON＝40°，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；
（2）解：∠MON的度数不变．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∵，，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝∠AOB﹣＝，
∵∠AOB＝120°，∴∠MON＝80°．
【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键．
考点7、动态角度问题（旋转）
例7．（2023春·福建厦门·七年级统考阶段练习）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4。①运动停止时，直接写出______；②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为；
(3)①；②当时，；当时，．
【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出；
（2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论；（3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，∴．故答案为：90；
（2）∵，设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，∴；
当时，，，∴．
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．
变式1．（2022秋·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：，，从而可以得到与的数量关系；（2）先求出，根据射线平分，得到，再利用即可求解；
（3）利用，表示出，再利用平分，得到，再写出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，故答案为：；
（2）
理由如下：∵，，∴，
∵平分，∴，∴；
（3），理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
变式2．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
【答案】(1)是(2)是，理由见解析(3)，4
【分析】（1）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（2）由是可得，由可得，，进而得出，可知是；
（3）由m等个性线的定义可得，由此可得m与的关系，再根据，m是正整数，即可求解．
【详解】（1）解：是，，，
，，，
，，，
是，故答案为：是；
（2）解：是，理由如下：
是，，，
，，，
，，，是；
（3）解：是，，同理，是，，
，，
，，，
又m是正整数，，，，故答案为：，4．
【点睛】本题考查角n等分线的计算问题、角的和差关系等，解题的关键是理解m等个性线的定义．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·深圳市七年级期末）射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.可知B不一定正确.
【详解】A、当∠AOC= ∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠4OB的平分线，故本选项正确；
B、当时，OC一定在∠A0B的内部且OC是∠A0B的平分线，故本选项正确；
C、当，能说明OC在∠AOB的内部，但不能说明OC平分∠AOB，故本选项错误；
D、当∠AOC=∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确.
故选C.
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
2．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）用一副直角三角板可以画出一些特殊角，例如：如图所示的的角，则下列角度不能利用这副直角三角板直接画出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用角的和差关系，通过计算得结论．
【详解】解：一副三角板有、、、的角，
∵，，．
∵用一副三角板可以画出、、等特殊的角，不能画出．故选：A．
【点睛】本题考查了角的和差计算．能够熟练计算角的和差度数是解决本题的关键．
3．（2022秋·广东珠海·七年级统考期末）如图，的大小可由昰角器测得，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据量角器，得到，再进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴；故选B．
【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握量角器的使用方法，确定的大小，是解题的关键．
4．（2022·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到，由平角的定义得到，而，则，由此即可得到的度数．
【详解】解：矩形沿折叠，，
又∵，，，．故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义以及折叠的性质：折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等，熟练掌握折叠的性质是解决本题的关键．
5．（2022·河北沧县·七年级期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【答案】D
【分析】规定向左拐的角度为正，向右拐的角度为负，找出两次拐弯的角度的和为即可得．
【详解】解：由题意，规定向左拐的角度为正，向右拐的角度为负，
A、，则两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相同，此项不符题意；
B、，则两次拐弯后的行驶方向与原来的方向垂直，此项不符题意；
C、，则两次拐弯后的行驶方向与原来的方向成角，此项不符题意；
D、，则两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，此项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了角的和差计算，理解题意，将所求问题转化为数学问题是解题关键．
6．（2022秋·浙江七年级课时练习）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解即可．
【详解】解：由题意，得（6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°，故选：A．
【点睛】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是解决问题的关键．
7．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）．
A．64° B．57° C．48° D．33°
【答案】B
【分析】平角的定义求出，角平分线求出，即可．
【详解】解：∵，，∴；
∵平分，∴；故选B．
【点睛】本题考查与角平分线有关的计算．正确的识图，理清角之间的关系，是解题的关键．
8．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】依据题意，以O为顶点的角的边有6条，得出角的个数为，①正确；设，则，得出，由角平分线求出，得出，得出②正确；求出，③正确；求出，得不出，④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵以O为顶点的角的边有6条，∴角的个数为：，①正确；
，设，则，，
平分，平分，，
，，②正确；
为中点，N为中点，，，
，③正确；
，，，
，，得不出，④错误；故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段中点的定义、角的个数的计算等知识；熟练掌握角平分线的定义、线段中点的定义是解题的关键．
9．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，∴的度数为或．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
10．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．
【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；故B、D错误，不符合题意；
当时，，∴，
∵，∴射线恰好平分，故C正确，符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考开学考试），，则 ．
【答案】
【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答．
【详解】解：，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制即1度为60分，1分为60秒是解题关键．
12．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据角度的计算直接求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】题目主要考查角度的计算，熟练掌握计算方法是解题关键．
13．（2022 博山区期末）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为 ．
【思路点拨】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【答案】解：如图，
当点C与点C1重合时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°．
故答案为：28°或112°．
【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
14．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
【答案】5
【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解．
【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间．
∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过，
分针每分钟转过，因而转过了，
∴时针和分针所成的夹角是．故答案为：5．
【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．
15．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，是的平分线，平分，且，则 ．
【答案】72°/72度
【分析】根据角平分线的概念进行计算即可．
【详解】解：平分，，，
又是的平分线，，故答案为：72°．
【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提．
16．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据，可计算出的度数，再由，即可得出答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查角度的计算，理解角的度量单位及计算法则是解题的关键．
17．（2022·浙江七年级课时练习）魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过________度；（2）若指针转了，则这些菜共有________千克.
【答案】9 13.5
【分析】（1）算出秤上放1千克菜转过的角度为多少，乘以0.5即可；
（2）让243°除以1千克菜转过的角度即可．
【详解】解：（1）＝18°，0.5×18°=9°，0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；
（2）243°÷18°=13.5（千克），答：共有菜13.5千克．故答案为9，13.5
【点睛】本题考查了角度计算的应用，解决本题的关键是得到秤上放1千克菜转过的角度为多少．
18．（2022 永嘉县校级期末）如图，将长方形ABCD沿AE、DE折叠，使得点B'、点C'、点E在同一条直线上．若∠α＝35°36′，则∠DEC的度数为 ．
【思路点拨】由折叠可知：∠α＝∠AEF，∠CED＝∠FED，所以∠DEC＝（180°﹣2∠α），再由∠α的大小即可求．
【答案】解：由折叠可知：∠α＝∠AEF，∠CED＝∠FED，∴∠DEC＝（180°﹣2∠α），
∵∠α＝35°36′，∴∠DEC＝54°24′，故答案为54°24′．
【点睛】本题考查角的计算；熟练掌握折叠的性质，能够准确计算角的大小是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，，，平分，平分．(1)求的度数．(2)若，，用含、的代数式表示的度数为______．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先求得的度数，然后由角平分线的定义可知，，最后根据求解即可；（2）先求得α，由角平分线的定义可知α，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，，∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，∴；
（2）解：∵，，∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得和的大小，然后再依据求解是解题的关键．
20．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）如图，，OD平分，平分．(1)用直尺、量角器画出射线的准确位置；(2)求的度数，要求写出计算过程；(3)当时（其中），用的代数式表示的度数．（直接写出结果即可）
【答案】(1)作图见详解(2)的度数为或(3)的度数为或
【分析】（1）根据，角平分线的性质即可求解；
（2）图形结合，根据角平分线的性质即可求解；（3）证明方法同（2）．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
①当在的左边，如图所示，
②当在的右边，如图所示，
（2）解：①如图所示，
∵，平分，且，
∴，∴，
∵平分，∴；
②如图所示，
同理，，，∴，
∵平分，∴；
综上所述，的度数为或．
（3）解：时（其中），由（2）的证明方法可得，
①当在的左边时，；
②当在的右边时，；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，图形中角的和、差关系，掌握角平分线的性质，角的和、差计算方法是解题的关键．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．
【详解】（1）解：，，，
是的平分线，，；
答：的度数为．
（2）解：是的平分线．，
是的平分线，，
，，
答：的度数为．
（3）解：由（2）得
，，
又，
，，
，，，，
当，，；
当，，
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
22．（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可；
（3）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵，平分，∴，
∵、分别平分、，∴，，
∴；
（2）∵、分别平分、，∴，，
∴；
（3）∵、分别平分、，∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
23．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）（1）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，．
(1)①如图1，若时，求的度数．
②如图2，若是的平分线，求的度数．
(2)如图3，如果两个锐角，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①②(2)
【分析】（1）①求出即可；②根据，表示出即可；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：①∵，∴
∵∴；
②∵,
∴∴；
（2）解：，理由如下：
∵
∴
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算．正确找到各角的和差关系是解题关键．
24．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线．
(1)求图1中的度数．(2)如图2，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，在转动过程中三角板一直处于直线的上方．①当时，求旋转角的值；②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②当时，则或
【分析】（1）由题意易得，进而根据角平分线的定义可进行求解；
（2）①根据角平分线的定义可知，进而根据平角可进行求解；②设，则，然后由题意可分当在的右侧和左侧进行分类求解即可．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴；
（2）解：①∵，平分，∴，
∵，，∴；
②由可设，则，由题意可分：
当在的右侧时，则有：，解得：（不符合题意，舍去）；
当在的左侧时，则有：，解得：，
∴；
当、都在时，则有，解得：，
∴；
当在直线的下方是不存在的；
综上所述：当时，则或．
【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
25．（2023秋·江苏连云港·七年级统考期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
【答案】(1)(2)在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直
(3)下一个美妙时刻是七点零五分；22
【分析】（1）按照题干步骤，先求从三点开始分针旋转的角度，再求时针旋转的角度，二者之差再减去初始角度即为所求；（2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，根据等量关系式分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值代入计算，但应注意时针和分针垂直包含2种情况，分别是最终的角度差值为和；（3）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间；用一天的时间除以该时间也就是一天当中美妙时刻的数量．
【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为，从三点到三点三十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是 ，
∴三点三十分时，时针与分针所成角度是；
三点到三点四十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是，
∴三点四十分时，时针与分针所成角度是； 故答案为：；
（2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，由题意，得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或；
①当最终差值为时：， 解得：，此时为一点二十二分；
②当最终差值为时：，解得：，此时为一点五十五分．
综上：在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直．
（3）解：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转，
∴到达下一个美妙时刻需要时间分钟，此时为七点零五分．
一天有分钟， ，即一天有22个美时刻．故答案为：．
【点睛】本题考查钟面角的计算，一元一次方程的应用．理解并掌握题干中钟面角的计算方法，是解题的关键．
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专题6.7 角的和差
模块1：学习目标
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块2：知识梳理
1.角的和、差：由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．
2.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，
如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 类似地，还有角的三等分线、n等分线等.
模块3：核心考点与典例
考点1、角度的四则运算
例1．（2022秋·江西上饶·七年级统考期末）计算： ．
变式1．（2023秋·山东·七年级课堂例题）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
变式3．（2023·江苏七年级课时练习）已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是： ．
考点2、几何图形中的角度计算
例2．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．
变式2．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；
①；②；③是的角平分线；
(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；
(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．
考点3、三角板中的角度计算
例3．（2023·上海闵行·七年级校考期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的角度是（ ）.
A． B． C． D．
变式1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．
考点4、钟表中的角度计算
例4．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图，当钟表上时刻为上午正时，钟表上时针与分针的夹角为 度．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是 ．
变式2．（2022 招远市期中）早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯．某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：20，此时时钟上的分针与时针所成的角是 度．
考点5、角平分线的相关计算
例5．（2023秋·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）已知，平分，，则 ．
变式1．（2023·重庆沙坪坝·九年级中校考自主招生）如图，平分，平分．若，，则 ．
变式2．（2021秋·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，,则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，是直角，平分，平分，，则的度数为 ．
考点6、角n等分线的相关计算
例6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
变式1．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
变式2．（2023·北京朝阳·七年级统考期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为 ．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
考点7、动态角度问题（旋转）
例7．（2023春·福建厦门·七年级统考阶段练习）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4。①运动停止时，直接写出______；②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
变式1．（2022秋·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
变式2．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．
(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·深圳市七年级期末）射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）用一副直角三角板可以画出一些特殊角，例如：如图所示的的角，则下列角度不能利用这副直角三角板直接画出的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广东珠海·七年级统考期末）如图，的大小可由昰角器测得，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·河北沧县·七年级期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
6．（2022秋·浙江七年级课时练习）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）．
A．64° B．57° C．48° D．33°
8．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考开学考试），，则 ．
12．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）计算： ．
13．（2022 博山区期末）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为 ．
14．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
15．（2023秋·浙江七年级课时练习）如图，是的平分线，平分，且，则 ．
16．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．
17．（2022·浙江七年级课时练习）魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过________度；（2）若指针转了，则这些菜共有________千克.
18．（2022 永嘉县校级期末）如图，将长方形ABCD沿AE、DE折叠，使得点B'、点C'、点E在同一条直线上．若∠α＝35°36′，则∠DEC的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，，，平分，平分．(1)求的度数．(2)若，，用含、的代数式表示的度数为______．
20．（2022秋·北京西城·七年级校考阶段练习）如图，，OD平分，平分．(1)用直尺、量角器画出射线的准确位置；(2)求的度数，要求写出计算过程；(3)当时（其中），用的代数式表示的度数．（直接写出结果即可）
21．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．
22．（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数
23．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）（1）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，．
(1)①如图1，若时，求的度数．
②如图2，若是的平分线，求的度数．
(2)如图3，如果两个锐角，直接写出与的数量关系．
24．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线．
(1)求图1中的度数．(2)如图2，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，在转动过程中三角板一直处于直线的上方．①当时，求旋转角的值；②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
25．（2023秋·江苏连云港·七年级统考期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
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