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专题6.8 余角和补角
模块1：学习目标
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块2：知识梳理
1.余角、补角
（1）定义：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
注意：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
模块3：核心考点与典例
考点1、求一个角的余角
例1．（2023·福建宁德·七年级校联考期中）已知，则的余角度数是 ．
【答案】/65度
【分析】根据余角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴的余角的度数是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互余的两个角的和等于是解题的关键．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）已知，则它的余角是 ．
【答案】
【分析】根据余角的定义求即可．
【详解】解：∵，∴它的余角是，故答案为：．
【点睛】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
变式2．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）一个角比它的余角大，则这个角的度数为 ．
【答案】
【分析】根据互余的两个角相加等于即可求解；
【详解】解：∵互余的两个角相加等于，
∴ 这个角的度数为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查余角的概念，掌握相关知识是解题的关键．
考点2、求一个角的补角
例2．（2023·湖南岳阳·七年级统考期末）已知，则它的补角为 ．
【答案】
【分析】根据补角的定义求解即可．
【详解】解：，故它的补角为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了补角的知识，掌握补角的定义是解题关键．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）已知，则的补角的度数为 ．
【答案】
【分析】根据补角的定义“如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角”进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴的补角的度数为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了补角，解题的关键是掌握补角的定义．
变式2．（2023·河北保定·七年级统考期中）的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，的补角为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，的补角为，故选：D．
【点睛】本题考查了补角，角的单位．解题的关键在于熟练掌握．
考点3、与余角、补角有关的计算
例3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）若一个角的补角比这个角大，求这个角的度数．
【答案】
【分析】设这个角的度数为，根据互补两角之和等于，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角为，则它的补角为，
依题意得， 解得．
答：这个角的度数为．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握互补两角之和等于180°．
变式1．（2023·新疆和田·七年级校考期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角．
【答案】这个角为．
【分析】设这个角为x，根据题意列出方程解出即可．
【详解】解：设这个角为x，
根据题意可得：，解得．
答：这个角为．
【点睛】本题考查的是补角的概念，根据题意设出未知数，列出方程是解决此题的关键．
变式2．（2023秋·新疆喀什·七年级统考期末）一个角的补角比这个角的少，请你计算出这个角的大小．
【答案】这个角的度数是
【分析】设这个角的度数为，根据互补的两角的和等于表示出它的补角，然后列出方程求．
【详解】设这个角的度数为，则它的补角为，
由题意得：，解得：．
答：这个角的度数是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，补角的定义，根据题意列出方程是解题的关键．
变式3．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角．
【答案】60度
【分析】设这个角的度数是，根据一个角的余角是这个角的补角的列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角的度数是，根据题意得：
，解得：，
答：这个角的度数是60度．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的计算，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
考点4、同(等)角的余(补)角相等的应用
例4．（2023·广东·七年级统考期末）若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据同角的补角相等的性质即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故选：C．
【点睛】本题考查补角的性质：同角或等角的补角相等．掌握补角的性质是解题的关键．
变式1．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是( )
A．同角的余角相等 B．同角的补角相等
C．等角的余角相等 D．等角的补角相等
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等进行解答．
【详解】解：∵，，∴与互余，与互余，
又∵，∴的余角与的余角相等，
即(等角的余角相等)．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记这个余角的性质是解题的关键．
变式2．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）若和互补，与互补，若，则（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
【答案】B
【分析】由同角的补角相等即可求解．
【详解】解：∵和互补，与互补∴同为的补角
∵同角的补角相等∴故选：B
【点睛】本题考查同角的补角相等．熟记结论即可．
考点5、邻补角的定义理解
例5．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】D
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【详解】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对，故选：D．
【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角．
变式1．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，只有选项A中的与互为邻补角．故选：A．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
变式2.（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
【答案】C
【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角. 故选：C
【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.
考点6、利用邻补角互补求角度
例6．（2023·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义求出，再根据邻补角之和为计算，得到答案．
【详解】解：∵平分，，∴，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查的是邻补角、角平分线的定义，熟记邻补角之和为是解题的关键．
变式1．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】根据平分线的性质可知，利用邻补角的定义可直接求算度．
【详解】解：是直线上的点，平分，，
，．故答案为．
【点睛】主要考查了角平分线的有关运算和邻补角的概念，这些基本概念和性质要牢固掌握．
变式2.（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】先运用邻补角的定义求得的度数，再利用即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是角的运算问题，邻补角等，数形结合是解题的关键．
考点7、方位角的表示
例7．（2023·黑龙江绥化·七年级校考期中）学校在图书馆的 方向，距离图书馆 米．
【答案】 南偏西
【分析】根据图象得出图书馆在学校的北偏东的600米处，继而得出结果．
【详解】解：由图可知：图书馆在学校的北偏东的600米处，
则学校在图书馆的南偏西方向，距离图书馆600米，故答案为：南偏西，600．
【点睛】本题考查了方向与位置知识，根据上北下南左西右东的图上方向，结合题意分析解答即可．
变式1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，山东省在北京市的（ ）.
A．西偏南方向 B．东偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
【答案】B
【分析】根据方位的表示和定义判断；
【详解】解：由图，山东省在北京市的东偏南方向；故选：B
【点睛】本题考查方位的表示，理解平面内方位的表示方法是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
【答案】 南偏西
【分析】根据方向角即可求解．
【详解】解：运动员需要把台球A向南偏西撞击B球，使B被击进袋中，故答案为：南偏西；．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
变式3．（2023秋·广东肇庆·七年级校考开学考试）如图是小红家附近的平面示意图．
(1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处．
(2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼．
(3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来．
【答案】(1)正东，1200，西，南，45，750(2)正东，900，西，南，45，750(3)见解析
【分析】（1）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（2）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（3）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可．
【详解】（1）火车站位于体育场的正东面1200m处，百货大楼位于少年宫的西偏南方向750m处．故答案为：正东，1200，西，南，45，750；
（2）从汽车站去百货大楼，要先往正东方向走900m到少年宫，再往西偏南方向走750m到百货大楼，故答案为：正东，900，西，南，45，750；
（3）（厘米），小兵家如图：
【点睛】本题考查了方向与位置知识，结合题意分析解答即可．
考点8、方位角中的角度计算
例8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，，，
．故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
变式1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，即可求解．
【详解】根据题意，，故选：D．
【点睛】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
变式2．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出草图，根据图形计算即可
【详解】解：由题意得出图形：
所以，故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是方向角，关键是根据题意准确画出图形，根据图形求角的度数．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）观测点北偏西的方向也可以说成（ ）．
A．西偏南 B．西偏北 C．北偏东 D．南偏东
【答案】B
【分析】一般是上北下南左西右东，北偏西指的是以正北方向为一条边，向偏西方画一个的角； 偏字前面的方向是一个角的始边，这个字的后边的方向是一个角的终边，据此判断即可．
【详解】解：观测点北偏西的方向也可以说成西偏北；故选B．
【点睛】本题考查方向角的认识，掌握判断方向的方法是解题的关键．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，其中共有互余的角（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】C
【分析】根据两个角互余的定义解答即可．
【详解】解：，
，
即互余的角共有对，故选C．
【点睛】本题主要考查了余角的定义，熟余角的定义是解题的关键：如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余．
3．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）一个锐角的余角比它的补角（ ）
A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小
【答案】B
【分析】设这个角是，则它的余角是，它的补角时，得出式子，求出即可．
【详解】解：设这个锐角为，根据题意可得：，
则它的余角比它的补角小，故选：．
【点睛】此题考查了余角和补角的计算，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义．
4．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，∴的补角的度数是，故选：A
【点睛】此题考查了补角的计算，如果两个角的和是，则这两个角互为补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
5．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）如图，相交于点，，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．对顶角
【答案】B
【分析】根据题意得，即可得．
【详解】解：根据题意得，，则，
∵，∴，∴与互余，故选：B．
【点睛】本题考查了互余，解题的关键是理解题意，掌握互余．
6．（2023·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
【答案】A
【分析】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案．
【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意；
，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意；
，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键．
7．（2023春·山东威海·七年级统考期末）将一副三角板如图摆放，则与互为补角的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各选项中与的位置，结合互补的定义判断即可．
【详解】解：A、由图可知与相等，则与不互补，故本选项不符合题意；
B、由平角的定义可知，，则，即与互余，故本选项不符合题意；C、由图可知，，，则，故本选项不符合题意；
D、由图可知，，则，故与互为补角，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，观察图形从中找到与存在的数量关系是解题的关键．
8．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解．
【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意；、是对顶角，原选项不符合题意；
、是邻补角，原选项符合题意；、不是邻补角，原选项不符合题意；故选：．
【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
9．（2023春·河南·七年级校联考阶段练习）如图所示，直线，，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由角平分线的含义可得，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，∴；故选C
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，邻补角的性质，熟记邻补角的性质是解本题的关键．
10．（2023秋·山东菏泽·七年级校考期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处
∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．
【点睛】本题考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）已知，则的余角为 ．
【答案】/69度
【分析】根据余角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴的余角等于．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互为余角的两个角的和等于是解题的关键．
12．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知，则的补角的度数是 ．
【答案】
【分析】依据补角的定义求解即可．即：两个角之和等于，即可求解．
【详解】解： 的补角的度数是．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是补角的概念：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．
13．（2022秋·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）轮船向北偏东航行，因有紧急任务，按顺时针方向调头去执行任务，那么这时轮船的航行方向是 。
【答案】南偏东
【分析】根据方向角的定义即可作出判断．
【详解】如图，设射线为轮船原来航行方向，射线为顺时针方向调头后的方向，
则，，∴
∴射线表示方向为南偏东．故答案为：南偏东
【点睛】本题考查方向角与角的和与差，解题的关键是理解方向角的定义．
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，是直线上一点，平分平分，则与互余的角是 ．
【答案】
【分析】根据两角之和为，则这两角互余，进行求解作答即可．
【详解】解：∵平分平分，
∴，，∴，
∴，∴与互余，故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线，互余．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
【详解】解：设这个角的度数是，则，解得．
这个角的余角．则这个角的余角度数是．故答案为：．
【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
16．（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，，且与关系为 ．
【答案】互余
【分析】根据补角和余角的概念求解，即可得到答案．
【详解】，，
与关系为互余，故答案为：互余．
【点睛】本题考查了补角和余角，熟练掌握互余和互补的意义是解题关键．
17．（2023·广东湛江·七年级校考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据方位角的表示可知，计算即可得出结果．
【详解】解：∵在小岛O处观测小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角及其计算，掌握方位角的概念是解题的关键．
18．（2023·河南南阳·八年级校考开学考试）如图，直线、相交于点，平分，若，则 ．
【答案】
【分析】根据邻补角的性质和已知求出和的度数，根据根据角平分线的定义求出的度数，计算得到答案．
【详解】解：∵，，∴，，
∵平分，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和邻补角等知识，正确理解角平分线的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·广东珠海·九年级统考开学考试）如图是一张轮船航行的线路图．
(1)轮船从A地出发，向西偏（ ）方向走（ ）千米到达B地．
(2)轮船从B地向西南方向走500千米到达C地．请在图上标出C地的位置．
【答案】(1)北，700(2)见解析
【分析】（1）根据方向角和比例尺解答即可；（2）根据方向角和比例尺画图即可．
【详解】（1）解：轮船从A地出发，向西偏北方向走700千米到达B地．故答案为：北，700；
（2）如图，
【点睛】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北偏东（西）多少度或南偏东(西)多少度，若正好为45度，则表示为西(东)南(北)方向．
20．（2023春·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．
(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；(2)若，求的度数．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角；（2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，∴与互余的角是；
∵，∴与互补的角是．
（2）∵，，∴，
∵平分，∴，∴．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
21．（2022秋·广东广州·七年级校考期末）如图，是直线上一点，平分，．若．(1)求的度数；(2)图中互为余角的角有_______对．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先根据平角的定义求出，再由平分，根据角平分线的定义求出 ，即可求出；（2）由余角的定义即可得出答案．
【详解】（1）∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
（2）∵，∴，，
∵平分，∴，∴，
∴图中互为余角的角有和， 和，和，故答案为：．
【点睛】此题考查余角和补角以及角平分线的定义， 弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
22．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）已知与互为补角．
(1)若，则的度数为________；(2)若的余角比的三分之一多，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据补角的定义即可得出结论．
（2）设，则的余角为，为，根据题意列出方程即可得出结论．
【详解】（1）解：因为与互为补角，所以．
（2）解：设，则的余角为，为，
由题意得， 解得．即．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．
23．（2022春·福建宁德·七年级校考期中）如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图所示的位置．
(1)如图1，若，猜想______；(2)小明推测：三角板绕重合的点O旋转（三角板保持不动），不论转动到哪个位置，“与始终互补”，你同意他的结论吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)同意，理由见解析
【分析】（1）根据三角板中角的度数和已知条件求解即可；
（2）根据题意分3种情况讨论，分别根据和角度的和差求解即可．
【详解】（1）∵一副三角板的两个直角顶点O重合在一起∴
∵∴∴；
（2）同意，理由如下：如图所示，当在内时，
∵
∴，
∴与互补；如图所示，当在内时，
∵∴
∴与互补；
如图所示，当在内时，
∵
∴，
∴与互补，
综上所述，不论转动到哪个位置，与始终互补．
【点睛】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握并利用角的和差运算以及分类讨论是解题的关键．
24．（2023春·湖北襄阳·七年级统考阶段练习）如图，直线，相交于点O，．
(1)的邻补角为____；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)、(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）根据邻补角的定义进行解答即可；
（2）由，，可得即可证明；（3）根据，，，可求出，从而求出，即可求解．
【详解】（1）解：由邻补角的定义可知，的邻补角有：、．
故答案为：、；
（2）解：，理由如下：
，，，
又，，；
（3）解：，，
，，
又,,．
，，，
，．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，垂直的定义，角的和差计算，对顶角的定义，熟练掌握角的和差计算是解题的关键．
25．（2023·江苏南通·七年级统考期末）如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．(1)当时，求的度数；
(2)若在的内部画射线，使，求证：与互余；
(3)若与互余，求（可用含的代数式表示）．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)或
【分析】（1）根据邻补角的定义，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数；（2）根据互余的性质，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可证明结论；（3）分两种情况讨论：①当射线在的内部时；②当射线在的外部时，根据余角和补角以及角平分线的定义分别求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
射线平分，，；
（2）证明：如图，在的内部画射线，，，
射线平分，，，即与互余；
（3）解：①如图，当射线在的内部时，
与互余，，
射线平分，，，；
②如图，当射线在的外部时，
与互余，，，
，，
射线平分，，
，
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
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专题6.8 余角和补角
模块1：学习目标
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块2：知识梳理
1.余角、补角
（1）定义：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
注意：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
模块3：核心考点与典例
考点1、求一个角的余角
例1．（2023·福建宁德·七年级校联考期中）已知，则的余角度数是 ．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）已知，则它的余角是 ．
变式2．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）一个角比它的余角大，则这个角的度数为 ．
考点2、求一个角的补角
例2．（2023·湖南岳阳·七年级统考期末）已知，则它的补角为 ．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）已知，则的补角的度数为 ．
变式2．（2023·河北保定·七年级统考期中）的补角等于（ ）
A． B． C． D．
考点3、与余角、补角有关的计算
例3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）若一个角的补角比这个角大，求这个角的度数．
变式1．（2023·新疆和田·七年级校考期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角．
变式2．（2023秋·新疆喀什·七年级统考期末）一个角的补角比这个角的少，请你计算出这个角的大小．
变式3．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角．
考点4、同(等)角的余(补)角相等的应用
例4．（2023·广东·七年级统考期末）若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
变式1．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是( )
A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等
变式2．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）若和互补，与互补，若，则（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
考点5、邻补角的定义理解
例5．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
变式1．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
考点6、利用邻补角互补求角度
例6．（2023·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ．
变式2.（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
考点7、方位角的表示
例7．（2023·黑龙江绥化·七年级校考期中）学校在图书馆的 方向，距离图书馆 米．
变式1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，山东省在北京市的（ ）.
A．西偏南方向 B．东偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
变式2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
变式3．（2023秋·广东肇庆·七年级校考开学考试）如图是小红家附近的平面示意图．
(1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处．
(2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼．
(3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来．
考点8、方位角中的角度计算
例8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
变式2．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）观测点北偏西的方向也可以说成（ ）．
A．西偏南 B．西偏北 C．北偏东 D．南偏东
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，其中共有互余的角（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
3．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）一个锐角的余角比它的补角（ ）
A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小
4．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）如图，相交于点，，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．对顶角
6．（2023·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
7．（2023春·山东威海·七年级统考期末）将一副三角板如图摆放，则与互为补角的是( )
A． B． C． D．
8．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·河南·七年级校联考阶段练习）如图所示，直线，，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山东菏泽·七年级校考期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）已知，则的余角为 ．
12．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知，则的补角的度数是 ．
13．（2022秋·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）轮船向北偏东航行，因有紧急任务，按顺时针方向调头去执行任务，那么这时轮船的航行方向是 。
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，是直线上一点，平分平分，则与互余的角是 ．
15．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是 ．
16．（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，，且与关系为 ．
17．（2023·广东湛江·七年级校考期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东，则的度数是 ．
18．（2023·河南南阳·八年级校考开学考试）如图，直线、相交于点，平分，若，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·广东珠海·九年级统考开学考试）如图是一张轮船航行的线路图．
(1)轮船从A地出发，向西偏（ ）方向走（ ）千米到达B地．
(2)轮船从B地向西南方向走500千米到达C地．请在图上标出C地的位置．
20．（2023春·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；(2)若，求的度数．
21．（2022秋·广东广州·七年级校考期末）如图，是直线上一点，平分，．若．(1)求的度数；(2)图中互为余角的角有_______对．
22．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）已知与互为补角．
(1)若，则的度数为________；(2)若的余角比的三分之一多，求的度数．
23．（2022春·福建宁德·七年级校考期中）如图，将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图所示的位置．(1)如图1，若，猜想______；(2)小明推测：三角板绕重合的点O旋转（三角板保持不动），不论转动到哪个位置，“与始终互补”，你同意他的结论吗？请说明理由．
24．（2023春·湖北襄阳·七年级统考阶段练习）如图，直线，相交于点O，．
(1)的邻补角为____；(2)若，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的度数．
25．（2023·江苏南通·七年级统考期末）如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．(1)当时，求的度数；
(2)若在的内部画射线，使，求证：与互余；
(3)若与互余，求（可用含的代数式表示）．
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