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专题6.9 直线的相交
模块1：学习目标
1、了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2、理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3、理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4、能依据对顶角及垂直的概念与性质，进行简单的计算。
模块2：知识梳理
1.如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点。
2.对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模块3：核心考点与典例
考点1、相交线的相关概念
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）下列说法，正确的是( )
A．经过一点有且只有一条直线 B．两条射线组成的图形叫做角
C．两条直线相交至少有两个交点 D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据直线的性质、角的定义、相交线的概念一一判断即可．
【详解】A、经过两点有且只有一条直线，故错误；
B、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；
C、两条直线相交有一个交点，故错误；D、两点确定一条直线，故正确，故选D．
【点睛】本题考查直线的性质、角的定义、相交线的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式1．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考期中）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意；
B．点M不在直线上，故本选项不合题意；C．点M不在直线上，故本选项不合题意；
D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
变式2．（2023春·浙江七年级期中）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上；
C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A．
【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．
考点2、垂线的定义及相关作图
例2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．(1)过点作直线的垂线，垂足为；(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；（2）根据垂线的定义作出图形即可；
（3）线段的长即为点A到直线的距离．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
（3）解：由（1）中图可得：点A到直线的距离等于2个单位长度．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
例3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，己知，，，则 （填度数）．
【答案】/52度
【分析】直接利用垂直的定义结合已知得出的度数，进而得出答案．
【详解】∵，∴
∵∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了角的计算，垂直的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2023春·山西朔州·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，即可得解．
【详解】解：∵于，，
∴°，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了垂线的定义，求出的度数是解题的关键．
变式2．（2023·上海静安·七年级校考期中）如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）。(1)画出点A到的垂线段.(2)过点C画的垂线.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；
【分析】（1）根据题意画出点A到的垂线段即可；（2）根据题意过点C画的垂线即可．
【详解】（1）如图，线段即为点A到的垂线段，
（2）如图，线段即为所作的垂线，
【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．
变式3．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，按要求画图．
①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．
【答案】作图见详解
【分析】根据钝角三角形中作垂线的方法即可求解．
【详解】解：①画出点到的垂线段，延长，过点作延长线于点，如图所示，
∴线段即为点到的垂线段；
②过点画的垂线，作于点，如图所述，
∴即为点到的垂线；
③画出点到的垂线段，延长，作延长线于点，如图所示，
∴即为点到的垂线段．
【点睛】本题主要考查钝角三角形作垂线段，垂线的知识，掌握垂线段，垂线的概念，作图的方法是解题的关键．
考点3、垂线段最短的应用
例3．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．
【详解】解：∵直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短，∴最短的是，故选：B．
【点睛】本题垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【分析】由垂线的性质，可选择．
【详解】解：、该选项是垂线的一条性质，根据理解不符合题意，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
变式2．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）某村庄A为方便出行想向公路a修一条乡村公路，为了尽可能的节省费用，选择了如图的方案，这样做的原因是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短的性质解答即可．
【详解】解：为了尽可能的节省费用，选择了如图的方案，这样做的原因是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
考点4、点到直线的距离
例4．（2023·上海徐汇·七年级校考期中）如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．
【答案】/
【分析】根据点到直线的距离为这一点到直线的垂线段的距离，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
线段的长表示点到直线的距离，故答案为：．
【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．
变式1．（2023·四川雅安·七年级校考期中）如图，是锐角三角形，过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段 ．
【答案】的长
【分析】根据点到直线的距离的含义，可得点到直线的距离是线段的长．
【详解】解：，垂足为，则点到直线的距离是线段的长，故答案为：的长．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是垂线段的长是解题的关键．
变式2．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．
【答案】5
【分析】根据点到直线的距离理解判断选择即可．
【详解】∵，，
∴线段是点B到直线距离的线段；线段是点A到直线距离的线段；
线段是点C到直线距离的线段；线段是点A到直线距离的线段；
线段是点B到直线距离的线段；故答案为：5．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握定义是解题的关键．
考点5、对顶角的定义
例5．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的概念解答即可．
【详解】解：A，与不是对顶角，故不合题意；
B，与不是对顶角，故不合题意；
C，与不是对顶角，故不合题意；
D，与是对顶角，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解题的关键．
变式1．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）图中的，是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：根据对等角的定义，只有C选项符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
变式2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【详解】解：根据对顶角的定义：
A．和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
B．和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
C．和的两边互为反向延长线，是对顶角；
D．和的顶点不同，不是对顶角；故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
变式3．（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，的对顶角是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义：两个角共用一个顶点，且两个角的两边互为反向延长线，进行判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知，的对顶角是；故选C．
【点睛】本题考查对顶角，熟知定义，是解题的关键．
考点6、对顶角相等
例6．（2022春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，若，则（ ）
A．50° B．40° C．140° D．10°
【答案】B
【分析】根据对顶角相等求解；
【详解】解：∵互为对顶角；∴．故选：B
【点睛】本题考查对顶角相等；观察图形，明确角之间的位置关系是解题的关键．
变式1．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线，，相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的对顶角的度数，结合平角的性质即可求得答案．
【详解】如图所示．∵与为对顶角，∴．
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角、平角，牢记对顶角的性质是解题的关键．
变式2．（2023·吉林·七年级统考期末）如图，在所标识的角中，一定相等的两个角是（ ）（多选题）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】AD
【分析】根据对顶角的定义和对顶角的性质即可得出答案．
【详解】解：观察图形可知，互为对顶角的两个角是和，和，
故，，故选：AD．
【点睛】本题考查了对顶角的定义和性质，熟练掌握对顶角的定义和性质是解题的关键．
考点7、直线的交点问题
例7．（2023·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，发现：两条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，据此规律即可得出结论．
【详解】两条直线相交有1个交点，即，
三条直线相交最多有个交点，即，
四条直线相交最多有个交点，即，
以此类推，条直线相交，最多有个交点，即，
∴，故选B．
【点睛】本题考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
变式1．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45 B．46 C．50 D．60
【答案】A
【分析】据三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个，然后得出规律，列式计算即可得解．
【详解】解：两条直线相交，只有1个交点，三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；
10条直线交点最多为．故选A
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，观察得出最多交点的个数变化规律是解题的关键．
变式2．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ．
【答案】46
【分析】由题意可得10条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：10条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即；
任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，
∴此时交点为：，即；则．故答案为：．
【点睛】本题考查直线的交点问题，掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中语句，结合直线与直线、点与直线关系逐项验证即可得到答案．
【详解】解：由点在直线上，也在直线上，可知直线与直线交于点；
A、C不符合题意；由点不在直线上，可知B不符合题意；
再由直线两两相交，即可确定D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查直线与直线、点与直线的关系，熟记相关定义是解决问题的关键．
2．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）如图，在三角形中，，，点可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据垂线段最短，可得最小为，据此即可求解．
【详解】依题意，，，∴最小为，故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，与是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对顶角的定义判断即可．
【详解】解：A、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角的定义．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
4．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
B、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
C、线段是点到的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；
D、线段是点到的垂线段，正确，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，为垂足，那么，，三点在同一条直线上，理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．过一点只能做一条垂线
C．垂线段最短 D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，三点在同一条直线上，其理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：D．
【点睛】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键．
6．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】根据垂线的定义可直接得出答案．
【详解】解：由垂线的定义可知，直线，因此垂线经过的点是点C，故选C．
【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足．
7．（2023春·福建厦门·七年级统考期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二、移动三角板另一直角边到已知点，
三、过已知点画垂线，
四、画垂直符合，
∴项符合题意，不符合题意；故选．
【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．
8．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，从小到大的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平角为求出，根据对顶角相等求出，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
∴，故选：D
【点睛】此题考查了平角、对顶角的性质等知识，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．
9．（2023·河南周口·淮阳校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角相等，垂直的定义，结合已知条件得出，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，∴
∵，
∴解得：，故选：C．
【点睛】本题考查对顶角相等，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，相交于点O，且，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的性质、平角的定义、垂线的性质等分别进行判断即可
【详解】解：A．∵与是对顶角，
∴，但无法得到，故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴不正确，故选项错误，不符合题意；
C．∵，∴，
∴不正确，故选项错误，不符合题意；
D．∵与是对顶角，∴，故选项正确，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了垂线、角的计算、平角、对顶角的性质等知识，熟练掌握垂线、对顶角的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·吉林长春·校考模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
【答案】垂线段最短
【分析】由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得．
【详解】解：由题意可得：小致这样走的数学依据 垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，正确理解垂线段最短的含义是关键．
12．（2022春·福建宁德·七年级校考期中）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，那么这个破损扇形零件的圆心角的度数是 °．
【答案】/30度
【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，
图中的量角器显示的度数是，∴扇形零件的圆心角；故答案为：．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，题目比较简单．掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键．
13．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）同一平面内的三条直线，其交点个数的情况可能有 种
【答案】4
【分析】根据两直线平行和相交的定义作出图形即可得解．
【详解】解：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3，共4种．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了直线相交的问题，难点在于考虑到直线的所有位置关系和交点的分布情况，作出图形是解答此题的关键．
14．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）如图，三角形ABC中，．
（1）点B到直线AC的距离是线段 的长度；
（2）三条边AB、BC、AC，边 最长，理由是 ．
【答案】 垂线段最短
【分析】（1）根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；
（2）根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：（1）∵，∴，∴点到直线的距离为线段的长；
（2）由点到直线的距离，垂线段最短可知：，，
∴三条边，，中最长的边为．故答案是：①；②；③垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．
15．（2023·广东七年级期中）如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ．
①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离．
【答案】①④/④①
【分析】根据点到直线的距离和两条直线互相垂直即可逐项判断．
【详解】解：，，①与互相垂直，正确；
，②与互相垂直，不正确；
③点到的垂线段是线段，而不是，不正确；
④线段的长度是点到的距离，正确；
⑤线段是点到的距离，不正确，应该是线段的长度是点到的距离．
①④正确．故答案为：①④．
【点睛】本题考查了点到直线的距离和两直线垂直，解题的关键在于点到直线的距离是一个长度，即垂线段长度，而不是垂线段．
16．（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，，，则等于 度．
【答案】
【分析】根据垂直的定义，可得，根据对顶角相等可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵∴故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．
17．（2023春·重庆开州·七年级校联考期中）如图，已知直线和相交于O点，，平分，若，则的度数是 ．
【答案】110
【分析】利用垂线的性质和对顶角相等即角平分线的性质即可求解．
【详解】解：，，
又，，，
又平分，，
，故答案为：110．
【点睛】本题考查了垂线的性质、角平分线的性质及对顶角，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
18．（2022春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
【答案】 1 15
【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可．
【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；
若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）；
则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）；
若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点；故答案为：1，15，．
【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．
(1)过点A作直线的垂线，并注明垂足为G．(2)过点A作交于点H．
(3)点A到直线的距离等于_______个单位长度．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可．（2）根据垂线的定义作出图形即可．
（3）线段的长即为点A到直线的距离．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
（3）解：由（1）中图可得：点A到直线的距离等于2个单位长度．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
20．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．
(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可得到答案；
（2）根据垂线段最短，作即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：
； ．
（2）解：根据题意画出图如图所示：
【点睛】本题考查了两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短以及垂线段最短是解题的关键．
21．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）请按要求完成下列问题；
(1)在图1中作线段；(2)在图1中作射线；(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)45
【分析】（1）根据题意，画出线段即可；（2）根据题意，画出射线即可；
（3）连接交于点P，则点P即为所求；
（4）根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作线段即为所求；
（2）解：如图，射线即为所求；
（3）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求；
理由：∵，
∴当的值最小时，点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小，
此时点P位于线段上；
（4）解：根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，
3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，……，
由此发现，n条直线相交最多有个交点，
∴10条直线相交最多有个交点，故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了画线段，射线，最短距离问题，相交线的交点问题，明确题意，熟练掌握两点之间，线段最短；（4）问中根据题意得到规律是解题的关键．
22．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据对顶角得，根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得；（2）根据得，即可得，根据平分得，根据得，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
即，
∵平分，∴，
∵，∴，
，，．
【点睛】本题考查了对顶角，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
23．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，且．
(1)图中，的对顶角是 ，的邻补角是 ；
(2)若：＝：，求的度数．
【答案】(1)，和(2)
【分析】（1）根据对顶角的定义与邻补角的定义，结合图形，即可求解；
（2）根据题意得出，，进而即可求的度数．
【详解】（1）解：如图所示
的对顶角是，的邻补角是和；
故答案为：，和．
（2）解：，，，
，，∴
【点睛】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角的定义,角的和差关系，熟练掌握垂线的定义、角的和差关系是解决本题的关键．
24．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．
【答案】(1)的度数为(2)的度数为
【分析】（1）利用垂直的定义和对顶角相等即可求解；（2）利用平角的定义和垂直的定义即可求解．
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴．
（2）∵，且，∴，
∵，∴∴．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角相等、邻补角互补等知识，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
25．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线、相交于点．
(1)如图1，，求的度数．(2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据已知条件和邻补角的定义，得出，再利用对顶角相等，即可求出的度数；（2）根据角平分线的定义，得到，，再利用角度计算，
即可得出与的数量关系；（3）根据垂直和角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，求得，，然后利用垂直和角平分线的定义，得到，再结合，求得，即可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
，，；
（2）解：，，
平分，，
，，
，
，即；
（3）解：，，
，，
，，
，，，
，，
，，，
，，，
平分，，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，补角和余角的性质，根据题意正确找出角度之间的数量关系是解题关键．
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专题6.9 直线的相交
模块1：学习目标
1、了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2、理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3、理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4、能依据对顶角及垂直的概念与性质，进行简单的计算。
模块2：知识梳理
1.如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的交点。
2.对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3
模块3：核心考点与典例
考点1、相交线的相关概念
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）下列说法，正确的是( )
A．经过一点有且只有一条直线 B．两条射线组成的图形叫做角
C．两条直线相交至少有两个交点 D．两点确定一条直线
变式1．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考期中）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ）
A．B．C． D．
变式2．（2023春·浙江七年级期中）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、垂线的定义及相关作图
例2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．(1)过点作直线的垂线，垂足为；(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．
例3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，己知，，，则 （填度数）．
变式1．（2023春·山西朔州·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·上海静安·七年级校考期中）如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）。(1)画出点A到的垂线段.(2)过点C画的垂线.
变式3．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，按要求画图．
①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．
考点3、垂线段最短的应用
例3．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引，，，几条线段，其中只有与l垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
变式2．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）某村庄A为方便出行想向公路a修一条乡村公路，为了尽可能的节省费用，选择了如图的方案，这样做的原因是 ．
考点4、点到直线的距离
例4．（2023·上海徐汇·七年级校考期中）如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．
变式1．（2023·四川雅安·七年级校考期中）如图，是锐角三角形，过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段 ．
变式2．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．
考点5、对顶角的定义
例5．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）图中的，是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，的对顶角是 （ ）
A． B． C． D．
考点6、对顶角相等
例6．（2022春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，若，则（ ）
A．50° B．40° C．140° D．10°
变式1．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线，，相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·吉林·七年级统考期末）如图，在所标识的角中，一定相等的两个角是（ ）（多选题）
A．和 B．和 C．和 D．和
考点7、直线的交点问题
例7．（2023·福建漳州·七年级统考期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·湖北襄阳·九年级校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45 B．46 C．50 D．60
变式2．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）如图，在三角形中，，，点可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，与是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，为垂足，那么，，三点在同一条直线上，理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．过一点只能做一条垂线
C．垂线段最短 D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（2023春·福建厦门·七年级统考期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，从小到大的顺序为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南周口·淮阳校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，相交于点O，且，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·吉林长春·校考模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
12．（2022春·福建宁德·七年级校考期中）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，那么这个破损扇形零件的圆心角的度数是 °．
13．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）同一平面内的三条直线，其交点个数的情况可能有 种
14．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）如图，三角形ABC中，．
（1）点B到直线AC的距离是线段 的长度；
（2）三条边AB、BC、AC，边 最长，理由是 ．
15．（2023·广东七年级期中）如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ．
①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离．
16．（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，，，则等于 度．
17．（2023春·重庆开州·七年级校联考期中）如图，已知直线和相交于O点，，平分，若，则的度数是 ．
18．（2022春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．(1)过点A作直线的垂线，并注明垂足为G．(2)过点A作交于点H．
(3)点A到直线的距离等于_______个单位长度．
20．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．
(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．
21．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）请按要求完成下列问题；
(1)在图1中作线段；(2)在图1中作射线；(3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小；(4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点．
22．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
23．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，且．
(1)图中，的对顶角是 ，的邻补角是 ；
(2)若：＝：，求的度数．
24．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．
25．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线、相交于点．
(1)如图1，，求的度数．(2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数．
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