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专题5.1 常量与变量
模块1：学习目标
1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化；
2、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在；
3、会在简单的过程中辨别常量和变量。
模块2：知识梳理
1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．
2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．
注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
模块3：核心考点与典例
考点1. 常量、变量的相关概念
例1．（2023·山东济南市·七年级期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
变式1．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（ ）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
【答案】B
【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【详解】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．
【点睛】本题考查函数的基础：常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题关键．
变式2．（2022·浙江八年级课时练习）指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
【答案】（1）变量x，y；常量4．（2）变量t，w；常量0.2，30．（3）变量r，C；常量．（4）变量x，y；常量10．
【分析】根据常量与变量的定义求解即可．
【详解】解：(1)由题意可知，变量为x，y，常量为4；(2)由题意可知，变量为t，w，常量为0.2，30；
(3)由题意可知，变量为r，C，常量为；(4)由题意可知，变量为x，y，常量为10．
【点睛】本题考查常量与变量的定义，常量是指在变化过程中不随时间变化的量；变量是指在变化过程中随着时间变化的量．
考点2. 自变量、因变量的相关概念
例2．（2023·广西七年级课时练习）某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：（ ）
定价/元 70 80 90 100 110 120
销量/个 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量
C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
【答案】C
【分析】根据某个过程中，变量和常量的定义，即可得到答案．
【详解】由题意得：定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量．故选C．
【点睛】本题主要考查变量和常量的定义，掌握变量是在一个过程中，数值变化的量，是解题的关键．
变式1．（2022 成都市成华区七年级期中）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【分析】根据自变量的定义判断．
【解析】匀速行驶，速度不变，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量，故选：．
变式2．（2022·安徽宣城·八年级期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（ ）
A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间
【答案】C
【分析】根据题意分析，自变量是设置温度，因变量是空调的每小时用电量，据此分析即可．
【详解】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度，
故选：C．
【点睛】本题考查了自变量与函数关系，理解题意是解题的关键．
考点3. 列表法表示变量之间的关系
例3．（2022·陕西西安·九年级模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
【答案】D
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．故A结论正确．
由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短．故B，C结论正确．
当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的，故选项D结论错误．故选：D．
【点睛】本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．
变式1．（2023·重庆七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
【答案】2
【详解】从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．
【解答】解：从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的概念，函数的表示方法，知道了函数值为13，找到自变量为2是解题的关键．
变式2．（2022·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱
【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．
【详解】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义及变化关系是解决问题的关键．
考点4. 关系式表示变量之间的关系
例4．（2023·河北承德·八年级期中）琪琪拿9元钱去买单价为元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数（元）与所买笔芯的数量（只）之间的关系式为______．
【答案】
【分析】根据总价等于单价乘以数量可以算出购买笔芯用掉的钱，再根据剩余的钱数等于总钱数减去用掉的钱数，即可得出关系式．
【详解】解：由题知：买笔芯用去的钱数为：
所以买笔芯所剩的钱数为：故答案为：．
【点睛】本题主要考查列关系式，准确理解掌握“单价、数量和总价”以及“剩余钱数、用去的钱数与总钱数”之间的关系，是解决本题的关键．
变式1．（2022·广东茂名市·七年级期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度与时间的关系式及因变量分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度与时间的关系式．
【详解】∵开始时温度为，每增加1分钟，温度增加
∴温度与时间的关系式为：
∵温度随时间的变化而变化∴因变量为故答案选：A
【点睛】本题考查变量，关键是寻找两个变量之间的关系，同时注意自变量与因变量的区分．
变式2．（2022·山东肥城·八年级期末）一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为470km，那么客车离北京的距离（km）与所用时间（h）的表达式为______．
【答案】
【分析】先求得的取值范围，进而根据题意列出关系式即可．
【详解】 根据题意可得
故答案为：
【点睛】本题考查了列解析式，理解题意是解题的关键．
考点5. 图象法表示变量关系
例5．（2022·广东罗湖·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0．
观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了图象的读图能力和与实际问题结合的应用．要能根据图象的性质和图象上的数据分析得出类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
变式1．（2022·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是故选：A
【点睛】本题考查图象，正确理解自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．
变式2．（2022·成都市七年级专题练习）如图所示的是一游泳池断面图，分为深水区和浅水区，排空池里的水进行清理后，打开进水阀门连续向该池注水(此时已关闭排水阀门)．则游泳池的蓄水高度h(米)与注水时间t (时)之间的关系的大致图象是 ( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】D
【解析】由游泳池的结构可知，先注入的是“深水区”，此时水面面积较小，水位上升较快；当水位上升到浅水区时，由于此时水面增大，水位上升变慢，所以上述四幅图中，只有D中的图象符合游泳池的蓄水高度h(米)与注水时间t (时)之间的关系.故选D.
考点6. 行程问题中的变量关系
例6．（2022·莱阳市期末）周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ．
【分析】根据函数图象可知，小依4分钟所走的路程为1600米，4～6分钟休息，6～10分钟骑车（2800﹣1600）米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解析】①根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6﹣4＝2分钟，故①正确；②根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），故②正确；③根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；
④小依休息后的骑车的平均速度为：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），
400＞300，所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误；
综上所述，正确的有①②2个．故答案为：①②．
变式1．（2022·台州期末）小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是 分钟．
【分析】据图象知：小明从家骑车上学，平路路程是1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，则上坡速度是千米/分钟；下坡路程是2千米，用3分钟，因而速度是千米/分钟，由此即可求出答案．
【解析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，则速度是千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷+1÷+3＝16.5（分钟）．故答案为：16.5．
变式2．（2022 叶县期末）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．（1）图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是多少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？（2）当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，进而解答即可；
（2）根据（1）中当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解；
（3）根据（1）中当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解．
【解析】（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；
当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是＝（千瓦时）；
当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是＝（千瓦时）；
答：A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是千瓦时；
（2）60﹣×120＝40（千瓦时），答：当行驶了120千米时，蓄电池的剩余电量是40千瓦时；
（3）+150＝180（千米），
答：汽车已行驶180千米时，剩余电量降至20千瓦时．
考点7. 打折销售、水电费等类型中的变量关系
例7．（2022·硚口区期末）某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到20cm时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是（ ）
A．33天 B．18天 C．35天 D．20天
【分析】利用图象求出15＜x≤60时y与x之间的关系式，再把y＝80代入计算即可求解．
【解析】当15＜x≤60时， ∴y＝x﹣30，
当y＝80时，x﹣30＝80，解得x＝33，33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是是18天．故选：B．
变式1．（2022 烟台期末）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱
D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长
【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝50时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C不正确；
D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网h，而C方式上网任意小时，即可判断D正确．
【解析】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确，不符合题意；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确，不符合题意；
C、设当x≥25时，根据图象得yA＝3x﹣45（x≥25），当x＝50时，yA＝3x﹣45＝105＞50，
∴每月上网时间为50h时，选择B方式最省钱，结论C不正确，符合题意；
D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网h，而C方式上网任意小时，
∴结论D正确，不符合题意．故选：C．
变式2．（2022·山东济阳·七年级期中）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）当这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升．
【分析】（1）直接由图象中的数据得出即可；（2）由加油前汽车每小时的耗油量，即可得出关系式；
（3）先求出加油后3小时的耗油量即可求得剩余量．
【详解】解：（1）由图象可知，开始时，汽车的油量42升，故答案为：42；
（2）由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽车每小时的耗油6升，∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t，
故答案为：5 ，24 ， ；
（3）由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，∴加油后剩余油量Q=（升），
故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 市中区八年级期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【思路点拨】根据常量与变量的定义即可判断．
【答案】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
2．（2023 成华区八年级期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【分析】根据自变量的定义判断．
【解析】匀速行驶，速度不变，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量，故选：．
3．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（ ）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
【答案】B
【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【详解】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．
【点睛】本题考查函数的基础：常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题关键．
4．（2022·天津·八年级期中）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，C，π，R是变量 B．2，π是常量，C，R是变量
C．2，C，π是常量，R是变量 D．2，π，R是常量，C是变量
【答案】B
【分析】常量就是在某个过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【详解】解：在圆的周长计算公式C＝2πR中，C和R是变量，2、π是常量，故选：B．
【点睛】本题考查了变量与常量的知识，属于基础题，正确理解变量与常量的概念是解题的关键．
5．（2022·广东高州·七年级期末）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是( )
放水时间(分钟) 1 2 3 4 …
游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 …
A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量
C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟
【答案】D
【分析】据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正误．
【详解】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确．
B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确．
C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300（m3），正确．
D．全部放完需要2500÷20＝125（分钟），错误．故选：D．
【点睛】本题主要考查变量的表示方法：表格法，另外还有图象法和解析式法，解题关键是从实际应用中构建变量模型求解．
6．（2022 无锡·七年级期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
【分析】容易知道y大于100，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按9折优惠．应付货款y（元）＝100+超过100的部分．
【解析】∵x＞2，∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+（60x﹣100）×0.9＝54x+10（x＞2，且x为整数），故选：B．
7．（2022·山西九年级专题练习）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】容器上粗下细，杯子里水面的高度上升应是先快后慢．故选C．
8．（2022 雁塔区校级期末）为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元
D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨
【分析】利用（10，15），（20，35）两点求出a，b的值即可．
【解析】由图象可知，a＝15÷10＝1.5；b＝＝2；
用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）；
缴水费30元，则该用户当月用水为：10+（30﹣15）÷2＝17.5（吨）．故结论错误的是选项D．故选：D．
9．（2023·山东七年级期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【答案】C
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项正确；
∵，∴当气温为时，声音可以传播，∴选项C不正确；
∵，，，，
∴当温度每升高，声速增加，∴选项正确．故选C．
【点睛】本题考查了自变量、因变量的含义和判断．熟练掌握自变量、因变量的含义是解题的关键．
10．（2022 沙坪坝区校级开学）春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y（吨）与甲组加工时间x（天）之间的关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙组中途休息了1天 B．甲组每天加工面粉20吨
C．加工3天后完成总任务的一半 D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等
【分析】根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案．
【解析】由图象可得：2﹣1＝1，即乙组加工中途停工1天，故选项A是正确的，
甲组每天加工面粉数量为：＝20（吨），故选项B是正确的，
甲组加工3天的面粉数量为20×3＝60（吨），
乙组第一天加工15吨，第三天加工面粉数量为：＝35（吨），
∴加工3天后面粉数量为：60+15+35＝110（吨），完成总任务的一半，故C选项正确，
3.5天后甲组加工面粉数量为20×3.5＝70（吨），乙组加工面粉数量为15+35×1.5＝67.5（吨），D选项错误，故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·河南中原·七年级期末）一辆汽车油箱中原有汽油90升，若汽车匀速行使100km耗油9升，则该汽车油箱中的剩余油量Q（升）与汽车匀速行驶的距离s（km）之间的关系式是____________．
【答案】
【分析】剩余的油量等于油箱中原有的油量减去总消耗的油量，由匀速行驶100km耗油9升可得出均速行驶1km消耗的油量为0.09升，再乘以路程就是总消耗的油量．
【详解】解：∵汽车匀速行驶100km耗油9升，∴每千米消耗9÷100＝0.09升，∴Q＝90﹣0.09s，
故答案为：Q＝90﹣0.09s．
【点睛】本题主要考查列关系式，关键是要知道剩余的油量等于原有的油量减去消耗的油量，然后才能列出关系式．
12．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在，，中是变量的是______．
【答案】和
【分析】由题意根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量．
【详解】解：篱笆的总长为60米，周长是定值，而面积和一边长是变量，故答案为：和．
【点睛】本题考查常量与变量的知识，解题的关键是能够根据篱笆总长不变确定定值，然后确定变量．
13．（2022·江苏徐州市·张双楼矿校八年级月考）直角三角形两锐角的度数分别为，，其关系式为，其中变量为________，常量为________．
【答案】x，y -1，90
【分析】据在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，即可解答．
【详解】关系式中，变量为：x，y，常量为：-1，90，故答案为：x，y；-1，90．
【点睛】本题考查常量与变量的认识，熟记基本定义是解题关键．
14．（2023·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）
【答案】②③④
【分析】观察图中曲线中的数据变化，分析数据即可解题．
【详解】由图象信息得，自变量为时间，因变量为新增确诊人数，新增确诊人数是时间的函数，故①错误；1月23号，新增确诊人数约为150人，故②正确；
1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故③正确；
1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故④正确，
故正确的有②③④，故答案为：②③④．
【点睛】本题考查常量与变量，图象等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．（2022·重庆七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
【答案】2
【详解】从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．
【解答】解：从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的概念，函数的表示方法，知道了函数值为13，找到自变量为2是解题的关键．
16．（2022 丰台区校级期中）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度与摄氏温度之间的关系满足如表：
摄氏（单位 0 10 20 30
华氏（单位 14 32 50 68 86
若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ．
【分析】根据表格中“摄氏（单位”与“华氏（单位”之间的变化关系得出函数关系式，再将代入计算即可．
【解析】由表格中两个变量的变化关系可得，，
当时，，故答案为：．
17．（2022 光明区期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是 米．（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．（3）在整个上学的途中最快的速度是 米/分．（4）小明当出发 分钟离家1200米．
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象可以解答本题；（3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度；（4）根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题．
【解析】（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；
（2）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），一共用了14（分钟），
故答案为：2700，14；
（3）由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分钟，故答案为：450；
（4）设t分钟时，小明离家1200米，则t＝6或t﹣12＝（1200﹣600）÷450，得t＝13，
即小明出发6分钟或13分钟离家1200米．故6或13．
18．（2022 徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
【分析】（1）通过观察线段Q1，Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．
（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．
（4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．
【解析】（1）由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．
（2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；
（3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，
所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；
（4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱
【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．
【详解】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】本题考查表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义及变化关系是解决问题关键．
20.（2023·陕西岐山·七年级期中）在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
时间（分）
温度（P）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？
（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？
【答案】（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的増加而增加，到时恒定；（3）时间推移分钟，水的温度增加，到分钟时恒定；（4）时间为分钟时，水的温度是，时间为分钟时，水的温度是．
【分析】（1）给一个变量a一个值，另一个变量y就有对应的值，则c是自变量，y是因变量，据此即可判断即可；（2）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可；（3）运用表格中数据得出水的温度变化规律解答即可；（4）根据表格中数据得出8分钟时的水温，然后根据变化规律解答即可．
【详解】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；
（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；
（3）时间推移2分钟，水的温度增加14度，到10分钟时恒定；
（4）由表格可知：时间为分钟时，水的温度为86℃；在9分钟时，水的温度为86+=93℃．
【点睛】本题主要考查了常量与变量，自变量与因变量等知识点，根据表格中数据分别分析得出规律是解答本题的关键．
21．（2023·山东历下·七年级期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条节数/x（节） 2 3 4 …
链条长度/y（cm） 4.2 …
（2）上表的两个变量中，自变量是 ；因变量是 ；（3）请你写出y与x之间的关系式；（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？
【答案】（1）5.9，7.6；（2）链条节数；链条长度；（3）y＝1.7x+0.8；（4）这辆自行车链条的总长为102cm．
【分析】（1）根据图形找规律，即可求得；（2）根据变量的知识，链条的长度随着链条的节数变化而变化，即可求得；（3）根据（1）的结论写出解析式即可；（4）根据（3）解析式代入求解，最后根据实际情况，减去一个交叉重叠部分的圆的直径．
【详解】（1）根据图形可得：2节链条的长度为2.5×2﹣0.8＝4.2（cm），
3节链条的长度为2.5×3﹣0.8×2＝5.9（cm），4节链条的长度为2.5×4﹣0.8×3＝7.6（cm），
故答案为：5.9，7.6；
（2）链条的长度随着链条的节数变化而变化自变量是链条节数，因变量是链条长度；
故答案为：链条节数；链条长度；
（3）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8，
∴y与x之间的关系式为y＝1.7x+0.8；
（4）∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要减少0.8cm，
∴这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8﹣0.8＝102（cm）．
【点睛】本题考查变量的表示方法，求变量的解析式，变量的定义，掌握变量的相关知识是解题关键．
22．（2022 龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．
【分析】（1）观察图象解答即可；（2）根据图中信息找出路程，时间，再求出速度；
（3）根据“路程＝速度×时间”可得结果．
【解析】（1）由图象可知，骑自行车者出发较早，早3小时，骑摩托者到达乙地较早，早3小时；
（2）骑自行车者速度：80÷8＝10（km/h），骑摩托者速度：80÷2＝40（km/h），
答：自行车的速度是10 km/h，摩托车的速度是40 km/h；
（3）由自行车的速度是10 km/h可得，y＝10x．
23．（2022·河北保定·七年级期中）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起点的距离为300米．
【分析】(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变
(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答
【详解】解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度＝2(米/秒)，小明的速度为＝6(米/秒)；故答案为t，s；2，6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于看懂图中数据
24．（2022·河南·镇平县七年级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0
(3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3．
(5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】(1)b；(a-2b)2；b(a-2b)2 (2)588；576 (3)C (4)3；588
(5)表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位
【分析】（1）根据截去的小正方形边长，得出无盖长方体盒子的高为bcm，然后求出底面边长，再求底面积，和体积即可；（2）根据截去的边长，求出底面边长，再求出无盖的长方体盒子的体积即可；（3）根据表格的信息可得随着减去的小正方形的边长的增大，得出无盖长方体盒子的容积变化规律；（4）根据表格得出截去小正方形边长为整数3时，体积最大，计算即可；
（5）根据精确度要求越高，无盖长方体盒子的容积会更大些．
(1)解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm,底面面积为（a-2b）2cm2, 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2．
(2)解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20,8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，故答案为：588；576．
(3)解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小．故选择C．
(4)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3．故答案为3,588．
(5)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；当x=3,5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3,
当时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3,
当时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3,
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3．
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位．
【点睛】本题考查无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题，掌握无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题是解题关键．
25．（2023·山东青岛市·七年级期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.
探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积 2 2.5 3 4 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
与之间的关系式为：________.
探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：
多边形的序号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多边形的面积 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
与之间的关系式为：________.
猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.
【答案】探究一：；探究二：完整的表格信息见详解，；猜想：.
【分析】探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；
探究二：用“切割法”将⑤—⑧中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积，
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即，
猜想：观察可发现⑤—⑧多边形内部都有2个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出解析式
【详解】探究一：当S=2时，x=4；当S=2.5时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即；
探究二：表格填写如下
多边形的序号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多边形的面积 3 3.5 4 5 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即；
猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n个，面积就比原来多了n-1，故S与x的关系式为.
【点睛】本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.
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专题5.1 常量与变量
模块1：学习目标
1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化；
2、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在；
3、会在简单的过程中辨别常量和变量。
模块2：知识梳理
1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．
2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．
注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
模块3：核心考点与典例
考点1. 常量、变量的相关概念
例1．（2023·山东济南市·七年级期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
变式1．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（ ）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
变式2．（2022·浙江八年级课时练习）指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
考点2. 自变量、因变量的相关概念
例2．（2023·广西七年级课时练习）某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：（ ）
定价/元 70 80 90 100 110 120
销量/个 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量
C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量
变式1．（2022 成都市成华区七年级期中）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
变式2．（2022·安徽宣城·八年级期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（ ）
A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间
考点3. 列表法表示变量之间的关系
例3．（2022·陕西西安·九年级模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：
支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
变式1．（2023·重庆七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
变式2．（2022·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
考点4. 关系式表示变量之间的关系
例4．（2023·河北承德·八年级期中）琪琪拿9元钱去买单价为元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数（元）与所买笔芯的数量（只）之间的关系式为______．
变式1．（2022·广东茂名市·七年级期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间和温度的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前（即），温度与时间的关系式及因变量分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式2．（2022·山东肥城·八年级期末）一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为470km，那么客车离北京的距离（km）与所用时间（h）的表达式为______．
考点5. 图象法表示变量关系
例5．（2022·广东罗湖·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·成都市七年级专题练习）如图所示的是一游泳池断面图，分为深水区和浅水区，排空池里的水进行清理后，打开进水阀门连续向该池注水(此时已关闭排水阀门)．则游泳池的蓄水高度h(米)与注水时间t (时)之间的关系的大致图象是 ( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
考点6. 行程问题中的变量关系
例6．（2022·莱阳市期末）周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ．
变式1．（2022·台州期末）小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是 分钟．
变式2．（2022 叶县期末）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．（1）图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是多少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？（2）当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？
考点7. 打折销售、水电费等类型中的变量关系
例7．（2022·硚口区期末）某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到20cm时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是（ ）
A．33天 B．18天 C．35天 D．20天
变式1．（2022 烟台期末）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱
D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长
变式2．（2022·山东济阳·七年级期中）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 市中区八年级期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
2．（2023 成华区八年级期末）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
3．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（ ）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
4．（2022·天津·八年级期中）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（ ）
A．2是常量，C，π，R是变量 B．2，π是常量，C，R是变量
C．2，C，π是常量，R是变量 D．2，π，R是常量，C是变量
5．（2022·广东高州·七年级期末）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是( )
放水时间(分钟) 1 2 3 4 …
游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 …
A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量
C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟
6．（2022 无锡·七年级期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）
A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2）
7．（2022·山西九年级专题练习）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是
A． B． C． D．
8．（2022 雁塔区校级期末）为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元
D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨
9．（2023·山东七年级期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
10．（2022 沙坪坝区校级开学）春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y（吨）与甲组加工时间x（天）之间的关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙组中途休息了1天 B．甲组每天加工面粉20吨
C．加工3天后完成总任务的一半 D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·河南中原·七年级期末）一辆汽车油箱中原有汽油90升，若汽车匀速行使100km耗油9升，则该汽车油箱中的剩余油量Q（升）与汽车匀速行驶的距离s（km）之间的关系式是____________．
12．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在，，中是变量的是______．
13．（2022·江苏徐州市·张双楼矿校八年级月考）直角三角形两锐角的度数分别为，，其关系式为，其中变量为________，常量为________．
14．（2023·山东聊城市·七年级期末）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是__________．（填上你认为正确的说法的序号）
15．（2022·重庆七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
16．（2022 丰台区校级期中）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度与摄氏温度之间的关系满足如表：
摄氏（单位 0 10 20 30
华氏（单位 14 32 50 68 86
若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ．
17．（2022 光明区期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是 米．（2）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．（3）在整个上学的途中最快的速度是 米/分．（4）小明当出发 分钟离家1200米．
18．（2022 徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
20.（2023·陕西岐山·七年级期中）在烧开水时，水温达到就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
时间（分）
温度（P）
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移分钟，水的温度如何变化？
（4）时间为分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为分钟时，水的温度吗？
21．（2023·山东历下·七年级期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条节数/x（节） 2 3 4 …
链条长度/y（cm） 4.2 …
（2）上表的两个变量中，自变量是 ；因变量是 ；（3）请你写出y与x之间的关系式；（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？
22．（2022 龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．
23．（2022·河北保定·七年级期中）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
24．（2022·河南·镇平县七年级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0
(3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3．
(5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
25．（2023·山东青岛市·七年级期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数之和为.
探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积 2 2.5 3 4 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
与之间的关系式为：________.
探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积）：
多边形的序号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ …
多边形的面积 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
与之间的关系式为：________.
猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式为：_______.
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