中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.3 一次函数
模块1：学习目标
1、理解正比例函数、一次函数的概念；
2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的表达式（待定系数法）；
3、会求一次函数的值。
模块2：知识梳理
1）一次函数与正比例函数的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。k为比例系数。
故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）求一次函数解析式（待定系数法）
点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
模块3：核心考点与典例
考点1. 正比例函数的辨别
例1．（2022·河南·鹿邑县八年级期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】A．，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝-x，y是x的正比例函数，故B符合题意；
C．y＝x+1，y不是x的正比例函数，故C不符合题意；
D．，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
变式1．（2022·海南八年级期中）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义：（），逐项进行判断即可．
【详解】A．y＝2x是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意；
B．不是整式，故该选项错误，不符合题意；
C．x的指数是2，属于二次函数，故该选项错误，不符合题意；
D．y＝2x－1是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的条件是解题的关键．
变式2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数且k≠0），即可解答．
【详解】解：A、y=-2x，是正比例函数，故该选项符合题意；
B、y=x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故该选项不符合题意；
C、y2=x，不是正比例函数，故该选项不符合题意；
D、y=，不是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
考点2. 一次函数的辨别
例2.（2023·浙江·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据一次函数（ k、b为常数，）的定义解答即可．
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；
③=3，没有自变量，不是一次函数；
④，自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤，自变量次数不为1，故不是一次函数．
综上所述，是一次函数的有2个．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．
变式1．（2022·湖南·衡阳市八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【详解】解：是一次函数；是一次函数；
，自变量x次数为2，不是一次函数；
，自变量x不能做分母，不是一次函数．一次函数有个，故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
变式2．（2022·河北廊坊·八年级期末）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义可直接排除选项．
【详解】解：A、由可得不满足一次函数的定义，故A错误，不符合题意；
B、由可知不是一次函数，故B错误，不符合题意；
C、由可得不是一次函数，故C错误，不符合题意；
D、由可得是一次函数，故D正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
【答案】C
【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；
B．不是一次函数，故选项不符合题意；
C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；
D．不是一次函数，故选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
考点3. 根据一次函数（正比例函数）求参数
例3．（2022·河北·八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义即可求出结果．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，解得，故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，属于基础题目，熟悉正比例函数的定义是解题的关键，自变量x的系数不等于0是易错点．
变式1．（2022·黑龙江·七年级期末）当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可．
【详解】∵函数是一次函数，
∴3-|m|=1且m-3≠0，∴m=±2且m≠3，∴m的值为2或-2，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
变式2．（2023·贵州·八年级阶段练习）已知函数，
(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】(1)(2)n=1，m=-1
【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；
（2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值．
（1）解：当函数是一次函数时，
，且，解得，，；
（2）解：当函数是正比例函数时，
，解得，，．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．
考点4. 实际背景下的一次函数（正比例函数）的辨别
例4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（ ）
A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化
D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；
B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；
C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；
D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
【答案】D
【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意；
B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意；
C选项，∵ah=S，∴a=，故该选项不符合题意；
D选项，y=60x，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键．
变式2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
考点5. 一次函数的函数值
例5．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入解析式即可求得的值．
【详解】解：把时代入一次函数，得到：．故选：．
【点睛】本题考查求一次函数的值，将已知自变量的值代入一次函数，化作代数式求值的问题．
变式1．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
【答案】
【分析】令y＝0，则 5x＋2＝0，解之可得x的值．
【详解】解：∵函数值为0，∴y＝0，即 5x＋2＝0，解得x＝．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明白函数值为0，即y＝0．
变式2．（2022·河北·石家庄八年级阶段练习）当时，函数的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【分析】把x=-3代入y=x 2计算即可．
【详解】解：把x=-3代入y=x 2，得y=-3 2=-5，故选A．
【点睛】本题考查的是函数值的求法，函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
考点6. 一次函数点的特征
例6．（2022·陕西西安市·九年级模拟）已知点和点都在正比例函数图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，A、B 两点都在函数y=3x的图象上，把这两点的坐标分别代入函数解析式中，两式相减即得结果．
【详解】由题意，把A、B 两点的坐标分别代入函数解析式y=3x中，得：b=3a，b’=3(a+1)
两式相减得：b’-b=3(a+1)-3a=3故选：C
【点睛】本题考查了点与函数图象的关系，当点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，体现了数与形的关系．
变式1．（2022·北京朝阳·八年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】C
【分析】将一次函数解析式变形为y＝a（x+1）﹣1，代入x+1＝0可求出y值，此题得解．
【详解】解：∵y＝ax+a﹣1，∴y＝a（x+1）﹣1，
∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a（﹣1+1）﹣1＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图象一定经过的点是（﹣1，﹣1）．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
变式2．（2022·江苏九年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．36 D．12
【答案】C
【分析】将P、Q两点坐标代入一次函数解析式即可求出a+b和c+d的值，在将变形得，最后整体代入求值即可．
【详解】解：将P、Q两点坐标代入一次函数解析式得：，即．
∵，∴将代入上式得：．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值．掌握直线上点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．
考点7. 用待定系数法求一次函数的解析式
例7．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＝1时，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可；
（2）把x=1代入函数表达式计算即可．
【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，解得：，
∴此一次函数的表达式为y=-5x+29；
（2）将x=1代入y=-5x+29，得：y=-5×1+29=24．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解．
变式1．（2022·广西·八年级期末）已知正比例函数的图象经过点，求这个函数的表达式．
【答案】
【分析】利用待定系数法将点代入求解即可
【详解】解：设这个正比例函数的表达式为
将点代入得：
∴这个正比例函数的表达式为．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6；
(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值．
【答案】(1)y＝3x+3(2)-6
【分析】（1）根据题意，可设y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解；
（2）把x＝﹣3代入函数关系式，即可求解．
（1）解：根据题意，可设y＝k（x+1），把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y与x之间的函数关系式为y＝3x+3；
（2）解：当x＝﹣3时，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数关系式，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广西河池·八年级期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义（一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是正比例函数，则此项符合题意；
B、不是正比例函数，则此项不符合题意；
C、不是正比例函数，则此项不符合题意；
D、不是正比例函数，则此项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数，熟记定义是解题关键．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义可直接排除选项．
【详解】解：A、由可得不满足一次函数的定义，故A错误，不符合题意；
B、由可知不是一次函数，故B错误，不符合题意；
C、由可得不是一次函数，故C错误，不符合题意；
D、由可得是一次函数，故D正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3．（2022 裕华区校级期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就一定不是一次函数
【思路点拨】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可．
【答案】解：A、正确，一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数；
B、正确，因为正比例函数一定是一次函数；
C、正确，一次函数y＝kx+b，当b＝0时函数是正比例函数；
D、错误，一次函数y＝kx+b，当b≠0时函数不是正比例函数．故选：D．
【点睛】解题关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：
一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
4．（2022·河北·原竞秀学校八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义即可求出结果．
【详解】解：∵是正比例函数，∴，解得，故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，属于基础题目，熟悉正比例函数的定义是解题的关键，自变量x的系数不等于0是易错点．
5．（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义进行解答．
【详解】解：根据题意，，解得．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义．
6.（2022·重庆八年级期末）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
【答案】B
【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围．
【详解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，
解得m＝3或m＝﹣3，∵m+3≠0，∴m＝3．故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，注意一次函数一次项系数不为0．
7．（2022·福建八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（ ）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
【答案】C
【分析】把原点（0,0）代入检验即可，或者利用正比例函数的定义判断
【详解】解法一：代入检验只有选项C满足
解法二：正比例函数过原点故选：C．
【点睛】本题考查点在图像上点的坐标适合函数解析式，代入正确验算是关键．
8．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（ ）
A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化
D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；
B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；
C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；
D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数
9．（2022 蚌埠月考）已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
【思路点拨】设y﹣1＝kx（k≠0），把x＝3，y＝2代入求出k的值，把x＝﹣1代入函数关系式即可得到相应的y的值；
【答案】解：设y﹣1＝kx（k≠0），则由x＝3时，y＝2，得到：2﹣1＝3k，解得k＝．
则该函数关系式为：y＝x+1；把x＝﹣1代入y＝x+1得到：y＝﹣+1＝；故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．解决本题的关键是得到y与x的函数关系式．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，
∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．
又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江丽水·八年级期末）一次函数y＝10－2x的比例系数是________．
【答案】
【分析】先化为标准形式，再根据一次函数的定义解答．
【详解】解：一次函数变形为：，
故其比例系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．
12．（2022·河北张家口·八年级期中）若函数为正比例函数，则a的值为_______．
【答案】1
【分析】根据正比例函数的概念求解即可，形如的函数为正比例函数．
【详解】解：由题意可得：
解得
故答案为：1．
【点睛】此题考查了正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
【答案】
【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算．
【详解】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6，可得：5k＝6，解得：k＝ ，
则y与x的函数解析式为y＝x，故答案为：y＝x．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
14．（2022·广东惠州·八年级期末）若关于的函数是一次函数，则=______．
【答案】0、
【分析】根据一次函数的定义可知，时，关于的函数是一次函数来求解．
【详解】解：∵关于的函数是一次函数，
∴当时，，符合题意；
当时，，，符合题意；
所以或．故答案为：0、．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解答关键．
15．（2022·河北·雄县八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】①是正比例函数，符合要求；②是一次函数，不符合要求；
③是反比例函数，不符合要求，④是二次函数，不符合要求，
⑤是正比例函数，符合要求；则是正比例函数的有2个，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数，也可以是分数．
16．说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数．
①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）和时间t（小时）之间的函数关系式为 ，它是 函数；
②汽车离开A站4千米，再以40千米/小时的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ，它是 函数．
【思路点拨】根据题意列出式子，再根据一次函数和正比例函数的定义确定是什么函数．
【答案】解：①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，
则汽车离开A站的距离 s＝40t，它是正比例函数；故两空应分别填 s＝40t，正比例；
②汽车离开A站4千米，再以40千米/小时的平均速度行驶了t小时，
则汽车离开A站的距离 s＝40t+4，它是一次函数；故两空应分别填 s＝40t+4，一次．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．还要掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数
17．（2022··米易八年级阶段练习）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是_____．（只需填写序号）
【答案】①②⑤
【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【详解】解：①x是自变量，y是因变量；故正确；②x的数值可以任意选择；故正确；
③y是变量，它的值与x有关； y随x的变化而变化，故错误；
④用关系式表示的可以用图象表示，故错误；
⑤y与x的关系还可以表格和图象表示，故正确. 故答案为：①②⑤.
【点睛】本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单．
18．（2022·重庆八年级期末）已知y是关于自变量x的函数，当x≥2时，；当x＜2时，y＝2x﹣m．已知当x＝3时，y＝0，则x＝﹣5时，y的值为 。
【答案】﹣13
【分析】把x＝3，y＝0代入求得m＝3，再把x＝﹣5代入y＝2x﹣3即可求得y的值．
【详解】解：把x＝3，y＝0代入得，，∴m＝3，
把x＝﹣5代入y＝2x﹣m得，y＝2×（﹣5）﹣3＝﹣1．
【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，然后求函数值，解题的关键在于能够读懂题意，代值求解.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·成都市·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4
(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝﹣时，求y的值．
【答案】(1)y＝2x(2)-1
【分析】（1）设出解析式，待定系数法求解即可；（2）将x的值代入解析式计算即可．
（1）解：设y＝kx（k≠0），把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
（2）解：把x＝﹣代入y＝2x得：y＝﹣1．
【点睛】本题考查正比例函数的解析式．用待定系数法求出解析式是解题的关键．
20．（2022·成都市八年级月考）已知关于的函数。（1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？（2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？
【答案】（1），为任意实数；（2），
【分析】（1）如果函数关系式是关于自变量的一次式，则称为一次函数，用字母表示为y=kx+b，其中k≠0，且k、b为常数；根据一次函数的定义及表示形式完成即可；
（2）若一次函数表达式中b=0，即y=kx，其中k≠0，则称此函数为正比例函数，根据正比例函数的解析式完成即可．
【详解】（1）由题意知：，则m=±1
当m=－1时，m+1=0∴m=1 n可为任意实数 即当m=1，n为任意实数时，函数为一次函数．
（2）由（1）知，m=1但n－3=0，所以n=3 即当m=1，n=3时，函数是正比例函数．
【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系．
21．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；（4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．
【思路点拨】（1）根据长方形的面积公式列出函数关系式；
（2）根据“总价＝单价×数量”列出函数关系式；
（3）根据“剩余的数量＝总量﹣取出的数量”列出函数关系式；
（4）根据“总储蓄＝10 000+x月存入的金额”列出函数关系式．
【答案】解：（1）依题意得 xy＝20，则y＝，y是x的反比例函数；
（2）依题意得 y＝3.6x，y是x的正比例函数；
（3）依题意得 y＝400﹣36x，y是x的一次函数；
（4）依题意得 y＝10 000+500x，y是x的一次函数．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
22．已知y与x+2成正比例，z与y﹣1成正比例．
（1）z是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，z是x的正比例函数？
【思路点拨】（1）根据正比例函数定义分别设出y、z的函数解析式，再表示出z与x间的关系即可判断；
（2）根据正比例函数的定义由常数项为0可得．
【答案】解：（1）根据题意，设y＝m（x+2），z＝n（y﹣1）
∴z＝n[m（x+2）﹣1]＝n（mx+2m﹣1）＝mnx+n（2m﹣1）∴z是x的一次函数；
（2）根据题意，n（2m﹣1）＝0
∵m≠0，n≠0，∴m＝，故当m＝时，z是x的正比例函数．
【点睛】此题主要考查了一次函数、正比例函数的定义，在一次函数解析式y＝kx+b（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件，当b＝0时，该函数为正比例函数．
23．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＝1时，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可；
（2）把x=1代入函数表达式计算即可．
【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，解得：，∴此一次函数的表达式为y=-5x+29；
（2）将x=1代入y=-5x+29，得：y=-5×1+29=24．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解．
24．（2022·江苏·八年级专题练习）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6；
(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值．
【答案】(1)y＝3x+3(2)-6
【分析】（1）根据题意，可设y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解；
（2）把x＝﹣3代入函数关系式，即可求解．
（1）解：根据题意，可设y＝k（x+1），把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y与x之间的函数关系式为y＝3x+3；
（2）解：当x＝﹣3时，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数关系式，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
25．（2022·浙江八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先用y的代数式表示x，即，然后由，得到，解不等式组即可； （2）由得到，解不等式组，即可得出自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）∵，又
∴∴即且解得：
（2）∵∴解得：．
【点睛】此题考查了一次函数解析式的变形，同时考查了解不等式组的方法，同学们要熟练掌握．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.3 一次函数
模块1：学习目标
1、理解正比例函数、一次函数的概念；
2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的表达式（待定系数法）；
3、会求一次函数的值。
模块2：知识梳理
1）一次函数与正比例函数的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。k为比例系数。
故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）求一次函数解析式（待定系数法）
点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
模块3：核心考点与典例
考点1. 正比例函数的辨别
例1．（2022·河南·鹿邑县八年级期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·海南八年级期中）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1
变式2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 一次函数的辨别
例2.（2023·浙江·八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1．（2022·湖南·衡阳市八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北廊坊·八年级期末）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝
考点3. 根据一次函数（正比例函数）求参数
例3．（2022·河北·八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
变式1．（2022·黑龙江·七年级期末）当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
变式2．（2023·贵州·八年级阶段练习）已知函数，
(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？
考点4. 实际背景下的一次函数（正比例函数）的辨别
例4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（ ）
A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化
D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
变式2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
考点5. 一次函数的函数值
例5．（2022·南宁市八年级期中）已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．0
变式1．（2022·吉林南关·八年级期末）已知函数，当函数值为0时，的值为______．
变式2．（2022·河北·石家庄八年级阶段练习）当时，函数的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．0 D．1
考点6. 一次函数点的特征
例6．（2022·陕西西安市·九年级模拟）已知点和点都在正比例函数图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·北京朝阳·八年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
变式2．（2022·江苏九年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．36 D．12
考点7. 用待定系数法求一次函数的解析式
例7．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＝1时，求y的值．
变式1．（2022·广西·八年级期末）已知正比例函数的图象经过点，求这个函数的表达式．
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6；
(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·广西河池·八年级期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 裕华区校级期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数
C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就一定不是一次函数
4．（2022·河北·原竞秀学校八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
5．（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数
6.（2022·重庆八年级期末）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
7．（2022·福建八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（ ）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
8．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（ ）
A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化
D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化
9．（2022 蚌埠月考）已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江丽水·八年级期末）一次函数y＝10－2x的比例系数是________．
12．（2022·河北张家口·八年级期中）若函数为正比例函数，则a的值为_______．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为________．
14．（2022·广东惠州·八年级期末）若关于的函数是一次函数，则=______．
15．（2022·河北·雄县八年级阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的正比例函数的有______个．
16．说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数．
①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）和时间t（小时）之间的函数关系式为 ，它是 函数；
②汽车离开A站4千米，再以40千米/小时的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ，它是 函数．
17．（2022··米易八年级阶段练习）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是_____．（只需填写序号）
18．（2022·重庆八年级期末）已知y是关于自变量x的函数，当x≥2时，；当x＜2时，y＝2x﹣m．已知当x＝3时，y＝0，则x＝﹣5时，y的值为 。
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·成都市·八年级专题练习）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4
(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝﹣时，求y的值．
20．（2022·成都市八年级月考）已知关于的函数。（1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？（2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？
21．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；（4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．
22．已知y与x+2成正比例，z与y﹣1成正比例．
（1）z是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，z是x的正比例函数？
23．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＝1时，求y的值．
24．（2022·江苏·八年级专题练习）已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6；
(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值．
25．（2022·浙江八年级专题练习）已知一次函数
（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．
（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
