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专题5.2 函数
模块1：学习目标
1、通过实例，了解函数的概念；
2、了解函数的三种表示方法：解析法、列表法和图像法；
3、会在简单的情况下，根据函数表达式求函数值。
模块2：知识梳理
1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
3）函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
4）函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
模块3：核心考点与典例
考点1. 函数关系的辨别
例1．（2022·河南·八年级阶段练习）下面平面直角坐标系中的曲线不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的概念进行辨别即可．
【详解】解：∵选项A，C，D中的图象，都描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有唯一的y值与其对应，而选项B中有一个x值对应2个函数值的情况，
∴选项A，C，D不符合题意，
选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了结合图象理解函数概念的能力，关键是能准确理解以上知识，并能运用数形结合思想解决相关问题．
变式1．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．x+y=5 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，即可解答．
【详解】解：A、∵x+y=5，∴y=5-x，
对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，
故A不符合题意；
B、∵，∴，
对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，
故B不符合题意；
C、∵，∴，
对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与之相对应，所以y不是x的函数，
故C符合题意；
D、，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，
故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
变式 2．（2022·江苏·南通市八年级期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的定义逐个图象判断，即可得出答案．
【详解】对于第一个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意；
对于第二个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；
对于第三个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；
对于第四个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意．
符合题意有2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．
考点2. 自变量的取值范围
例3．（2022·河南驻马店·八年级期中）函数y＝中自变量的取值范围是___．
【答案】2＜x≤4
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，4-x≥0且x-2＞0，解得2＜x≤4，故答案为：2＜x≤4．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
变式1．（2022·河南·商水县八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．
【答案】##
【分析】根据三角形的内角和等于180°，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，解得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
变式2．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，判断即可．
【详解】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
考点3. 函数的值
例3．（2022·安徽·八年级阶段练习）已知函数，则x=-5时的函数y的值为（ ）
A．-15 B．15 C．-19 D．21
【答案】D
【分析】将x=-5代入y=-4x+1中可求出y值．
【详解】解：当x=-5时，y=-4x+1=-4×（-5）+1=21．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
变式1．（2022·福建·厦门八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．
【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意；
B．当时，，故此选项不符合题意；
C．当时，，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式2．（2022·重庆八年级期末）根据以下程序，当输入x＝﹣7时，输出的y值为（ ）
A． B．4 C．﹣2 D．5
【答案】D
【分析】由＜确定要使用的函数解析式为：，再代入求值即可.
【详解】解:当＜ 故选：
【点睛】本题考查的是程序框图，求解函数的函数值，理解程序框图的含义，再求解函数值是解题的关键.
考点4. 函数的三种表示方法
例3．（2022·云南楚雄·七年级期末）在关系式中，下列说法错误的是( )
A．的数值可以任意选择 B．的值随的变化而变化
C．用关系式表示的不能用图象表示 D．与的关系还可以用列表法表示
【答案】C
【分析】根据函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【详解】A、x的数值可以任意选择；正确；
B、y随x的变化而变化；正确；C、用关系式表示的不能用图象表示，错误；
D、y与x的关系还可以用列表法表示，正确；故选：C．
【点睛】本题考查函数的定义，是基础知识，比较简单．熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．
变式1.（2022·辽宁·七年级期中）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝_____（0≤t≤5）．（自变量表达式按照t的降幂排列）
【答案】
【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．
【详解】解：∵点燃后平均每小时燃掉4厘米，
∴t小时燃掉4t厘米，∴．
即蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是．
故答案为：．
【点睛】根据实际问题列函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数．
变式2．（2022·成都市·七年级专题练习）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）
【答案】②③④
【分析】观察图中曲线中的数据变化，分析数据即可解题．
【详解】解：由图象信息得，
自变量为时间，因变量为新增确诊人数，新增确诊人数是时间的函数，故①错误；
1月23号，新增确诊人数约为150人，故②正确；
1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故③正确；
1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故④正确，
故正确的有②③④，故答案为：②③④．
【点睛】本题考查常量与变量，函数的图象等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
考点5. 函数图象（动点问题）
例5.（2022·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数圈象．
【详解】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
变式1．（2022·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据小明的行驶情况，返回途中加速，且并未到家，距离先增加再减少再增加，逐一排除选项．
【详解】解：A.因为接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去，故A错误；
B.因为返家途中遇到了给他送作业的妈妈，故B错误；C.因为加速按原路返回，故C错误；
D.该图象能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象，故D正确故选：D．
【点睛】本题考查函数的图像，解题关键在于通过分析题意，由实际情况来判断答案．
变式2．（2022·安徽·风华中学八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，在运动过程中形成的△ABP的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两段讨论，即点P在BC段和CD段，根据三角形的面积公式分别列出面积y与x的函数关系式，再进行判断即可．
【详解】解：①当点P由B运动到C时，即0≤x≤3时，y＝AB·BP＝×4x＝2x；
②当点P由C运动到D时，即3＜x≤7时，y＝AB·BC＝×4×3＝6，
∴y关于x的函数关系式为y＝，即：函数关系式对应A中的函数图象．故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，随着动点的变化，面积也发生着变化，进而得出它们之间的函数关系并反映在函数图象上，但需注意自变量的取值范围．
考点6. 几何图形中动态问题的函数关系
例6．（2022·山东淄博市·九年级一模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S正方形ABCD （S△ABE＋S△ECP＋S△APD），即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为a，①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：此时，PC＝1，PD＝7 4＝3，
当x＝7时，y＝S正方形ABCD （S△ABE＋S△ECP＋S△APD）＝4×4 （4×1＋1×3＋4×3）＝，故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
变式1．（2022·江苏徐州市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出不同时间段的解析式，依据解析式判断即可．
【详解】解：当点P沿AD运动，即时，y的值为0，故排除A、C选项；
当点P沿DC运动，即时，，图象由左到右上升；
当点P沿CB运动，即时，，图象平行于x轴；
当点P沿BA运动，即时，，图象由左到右下降；故选B．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数解析式是解题关键．
变式2．（2022·安徽滁州市·八年级期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】
本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=×5×4=10，正确；
选项D，y=8时，即，解得，
或，解得，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．
变式3．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】从图2中可看出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，选项中只有点G在BD上，所以点M的位置可能是图1中的点O．
【详解】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有G点符合，所以点M的位置可能是图1中的点G．故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上这一信息．
考点7. 图象类综合问题
例7．（2022·黑龙江林口·八年级期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法，其中，不符合图象描述的说法是（ ）
A．他们都行驶了18千米； B．甲在途中停留了0.5小时；
C．乙比甲晚出发了0.5小时； D．甲、乙两人同时到达目的地．
【答案】D
【分析】直接根据图象逐一进行判断即可．
【详解】根据图象可知他们都行驶了18千米，故A正确；
甲出发后0.5-1小时直线是水平的，所以甲在途中停留了0.5小时，故B正确；
直接由图象可知乙比甲晚出发了0.5小时，故C正确；乙比甲先到达目的地，故D错误，故选：D．
【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．
变式1．（2022·云南盘龙·八年级期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，如图，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．乙车出发1.5小时后甲才出发 B．两人相遇时，他们离开A地40km
C．甲的速度是km/h D．乙的速度是km/h
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故选项A不合题意；
两人相遇时，他们离开A地20km，故选项B不合题意；
甲的速度是（80 20）÷（3 1.5）＝40（km/h），故选项C不合题意；
乙的速度是40÷3＝（km/h），故选项D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查利用函数图像解决问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式2．（2022·辽宁大东·七年级期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y（个）与生产时间t（时）。（1）甲、乙两人中，直接写出谁先完成一天的生产任务？（2）在生产过程中，直接写出甲乙两人中谁因机器故障停止生产？并直接写出停止生产了几小时？（3）当t＝ 时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）直接写出谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】（1）甲先完成一天的生产任务；（2）甲因机器故障停止生产，停止生产了2小时；（3）当t＝3或5.5或8时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）甲在4时—7时内的生产速度最快，他每小时生产零件的个数为10个．
【分析】（1）从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务即可；
（2）在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上找出时间段，再用减法求出时间即可；（3）先乙生产时间大于2小时后生产效率6个/时，t时甲、乙生产的零件个数相等；再图像上找出两图像的交点，利用方程可解；（4）求出每个时间段生产效率，在做比较即可．
【详解】解：（1）从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务，
∴甲先完成一天的生产任务；
（2）在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上时间为4-2=2小时；
（3）乙生产时间大于2小时候生产效率为（40-4）÷（8-2）=6个/时
t时甲、乙生产的零件个数相等；6(t-2)+4=10,解得t=3
t=5.5时甲、乙生产的零件个数相等；t=8时甲、乙生产的零件个数相等；
∴当t=3或5.5或8时，甲、乙生产的零件个数相等；故答案为3或5.5或8；
（4）甲在4时前的生产效率为：10÷2=5个/时，
在4时后的生产效率为：（40-10）÷（7-4）=30÷3=10个/时，
乙在2时前的生产效率为：4÷2=2个/时
∴在4时至7时甲生产的速度最快，每小时生产10个零件．
【点睛】本题考查从图像上获取信息，利用生产件数=生产效率×时间解题，掌握从图像上获取信息，拐点，水平线，交点的意义，利用生产件数=生产效率×时间解题是关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①；③；④．当x取值时，y有唯一的值对应；故选：D．
【点睛】此题考查了函数的定义，掌握函数的定义并准确理解其含义是解题的关键．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得x－1≠0，解得x≠1．故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（2022·福建·莆田八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，故B，C，D不符合题意；
选项A的图象，给一个x值，y有两个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的定义，准确地掌握函数的定义是解决问题的关键．
4．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）已知一函数的图象如图所示，这个函数的自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像直接判断即可．
【详解】根据图像判断自变量x的取值范围为，故选：C
【点睛】本题主要考查函数图形，能够根据图像判断出相关信息是解题的关键．
5．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入函数解析式即可求得．
【详解】当时，故选B
【点睛】本题考查了已知自变量的值，求函数的值，正确的计算是解题的关键．
6．（2022·山东禹城·八年级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】C
【分析】将x＝8代入y＝中求出b＝2，再将x＝﹣8代入y＝﹣2x+b中即可求解．
【详解】当x＝8时，＝﹣3，∴b＝2，
∴当x＝﹣8时，y＝﹣2×（﹣8）+2＝16+2＝18，故选：C．
【点睛】本题主要考查了程序框图和函数值的计算，准确分析判断是解题的关键．
7．（2022·河南中原·七年级期末）瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如表，则下列说法错误的是（ ）
层数n/层 1 2 3 4 5 ……
物体总数y/个 1 3 6 10 15 ……
A．在这个变化过程中层数是自变量，物体总数是因变量
B．当堆放层数为7层时，物体总数为28个
C．物体的总数随着层数的增加而均匀增加
D．物体的总数y与层数n之间的关系式为
【答案】C
【分析】先根据表中数字的变化规律写出y和n之间的关系式，再根据每个选项的说法作出判断．
【详解】解：∵物体总个数随着层数的变化而变化，∴A选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=，当n=7时，y=28，∴B选项说法正确，不符合题意，
根据表中数字的变化规律可知总数增加的越来越快，∴C选项说法错误，符合题意，
根据表中数字的变化规律可知y=，∴D选项说法正确，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题主要考查用列表表示函数的应用，关键是要能根据表中的数据写出y与n之间的关系式．
8．（2022·福建厦门市·八年级月考）如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是( )
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．
【详解】∵矩形，长，宽矩形边上有一动点，沿运动一周，∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，
∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2，
P点在BC上，此时纵坐标为定值2．
当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1，
P点在AD上，此时纵坐标为定值1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
9．（2022·北京市九年级其他模拟）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动工程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（ ）
A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C．甲乙两光斑全程的平均速度一样
D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
【答案】C
【分析】甲乙两个光斑的运动距离与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果图象将两个点运到的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决.
【详解】∵甲到B所用时间为t0s，从B回到A所用时间为4t0﹣t0=3t0，
∵路程不变，∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍，∴A错误；
由于，△O1P1Q1≌△O2P2Q2，∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s，∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s，
∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍，
∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度，∴B错误；
由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同，∴C正确；
根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置，故可知，两个光斑相遇两次，故D错误，故选C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确理解，分析两个图象纵坐标所代表的实际意义，将图象的意义转化为动点实际运动的状态是解题的关键.
10．（2022·重庆九年级月考）如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由图象可知，在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，再根据“路程，速度与时间”的关系逐一判断即可．
【详解】解：①正确．在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，故小林的总路程比小明的总路程更短；②正确．
小明游泳的速度是：；③正确，
小林游泳的速度是：；两人第一次相遇时间为：，
两人第一次与第三次相遇的时间间隔是：，小明游75米时小林游了50米；④正确．
小林远离地超过20米的总时长为：；故选：．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东三水·九年级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是 __．（填一个符合题意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
【答案】1.5
【分析】观察表格发现：xy＝6，所以y＝，再将x＝4代入表达式，即可得出y的值．
【详解】解：观察表格发现：xy＝6，∴y＝，当x＝4时，y＝＝1.5，故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，函数值，发现xy的值是定值是解题的关键．
12．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
【答案】
【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．
【详解】解：由题意知：∴故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．
13．（2022·吉林长春·八年级期末）在函数中，当自变量x＝3时，因变量y的值是 _____．
【答案】19
【分析】把x＝3代入函数关系式进行求解即可．
【详解】解：当x＝3时，，故答案为：19．
【点睛】本题考查了求函数值，解决本题的关键是代入函数关系式求值．
14．（2022·吴江市八年级期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：
①气温x1201日期y1234 ②
③y＝kx+b（k、b为常数） ④y＝|x|
其中y一定是x的函数的是_____．（填写所有正确的序号）
【答案】③④
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，①②不符合定义，③④符合定义，故答案为③④．
【点睛】本题考查的是函数的定义，解题关键在于对函数的理解：讲究一一对应.
15．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为____________；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为______元．
【答案】 y=-5x+2500 200
【分析】根据题意，价格上涨（x-100）元，销售量就减少5（x-100）元，进而可得y与x的函数关系式；将y=1500代入函数关系式中求解x即可．
【详解】解：根据题意，价格上涨（x-100）元，销售量就减少5（x-100）元，
则每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为
y=2000-5（x-100）=-5x+2500，
当y=1500时，由-5x+2500=1500得：x=200，
∴若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元，
故答案为：y=-5x+2500，200．
【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式并求值，根据题意，找到所求量的等量关系是解答关键．
16．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
【答案】3或－
【分析】把代入函数y＝2☆x中得到5＝2☆x，再根据新定义来列出一元一次方程，解方程求解．
【详解】解：根据题意得
当时，则5＝2☆x，∴或，解得或．
经检查是的根．故答案为：3或-．
【点睛】本题考查了新定义，根据当时得到函数5=2★x，由新定义得到一元一次方程是解题的关键．
17．（2022·河南·商水县八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．
【答案】##
【分析】根据三角形的内角和等于180°，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，解得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
18．（2022·山东东营·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________．
【答案】15
【分析】图②中3≤x≤8时，点P在边BC上运动．矩形的面积=AB×BC．
【详解】解：从图象②和已知可知：AB=3，BC=8-3=5，
所以矩形ABCD的面积是3×5=15．故答案为：15．
【点睛】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邢台·八年级期中）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：
(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？
【答案】(1)时间t小时与温度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22时间内
(3)最高温度8°C，最低温度为-2°C
【分析】（1）根据横轴与纵轴得出变量；
（2）根据图像从左上到右下变化为下降，找出图像上起点与终点即可；
（3）从函数图像找出最高点的纵坐标，与最低点的纵坐标即可
（1）解：图中的变量是时间t小时与温度T°C；
（2）解：在0≤t≤4或14≤t≤22时间内温度下降；
（3）最高温度8°C，最低温度为-2°C
【点睛】本题考查函数图像获取信息与处理信息，变量与常量，图像的下降变化范围，最值，掌握从函数图像获取信息与处理信息方法是解题关键，
20．（2022·浙江·瑞安市塘下镇罗凤中学八年级阶段练习）已知三角形的周长为y(cm),三边长分别为9cm，5cm，x(cm)．(1)求y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围．
(2)当x=6时，求y 的值．(3)当y=19.5时，求x的值．
【答案】(1)y=14+x（4【分析】（1）根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据三角形三边的关系，可得自变量的取值范围；（2）根据自变量的值，代入函数关系式，可得函数值；
（3）根据函数值，代入函数关系式，可得自变量的值．
(1)解：由三角形的周长公式，得：
y=9+5+x，即y=14+x
由三角形得三边的关系，得：
9-5(2)解：当x=6时，y=14+6
解得：y=20．
(3)解：当y=19.5时，19.5=14+x
解得：x=5.5．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用了三角形的周长公式，三角形三边的关系．
21．（2022·广东深圳·七年级期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
（人） … 200 250 300 350 400 …
（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到____人以上时，该公交车才不会亏损；票价为____（元/人）；
(2)请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】(1)300；2；(2)y＝2x 600；(3)当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，然后根据题意求出票价即可；（2）根据（1）中结论及题意，列出关系式即可解答；
（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．
（1）解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，票价为：600÷300=2（元/人）；故答案为：300；2；
（2）由题意得：y＝2x 600，∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x 600，故答案为：2x 600；
（3）把y＝1000代入y＝2x 600中可得：2x 600＝1000，解得：x＝800，答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点睛】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
22．（2022·河南·郑州七年级期中）2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹！下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
所在位置的温度（℃） 20 14 8 2
（1）上表反映的两个变量中，______是自变量，______是因变量.（2）若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：__________；当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为：_________℃．如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象回答以下问题：
（3）点A表示的意义是什么？返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了几分钟？
（4）飞机发生事故时所在高空的温度是多少？
【答案】（1）距离地面高度；所在位置的温度（2）y＝20 6h； 10；（3）点A表示的意义是玻璃爆裂10分钟时，飞机的高度为2千米；2分钟（4）8摄氏度
【分析】（1）根据函数的定义即可求解；
（2）由题意得：y＝20 6h，当x＝5时，y＝ 10，即可求解；
（3）根据点A的位置即可知其意义；从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，即可求解；
（4）h＝2时，y＝20 12＝8，即可求解．
【详解】（1）根据函数的定义：距离地面高度是自变量，所在位置的温度是因变量，
故答案为：距离地面高度，所在位置的温度；
（2）由题意得：y＝20 6h，当x＝5时，y＝ 10，
故答案为：y＝20 6h； 10；
（3）点A表示的意义是玻璃爆裂10分钟时，飞机的高度为2千米；
从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，
即返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了2分钟；
（4）h＝2时，y＝20 12＝8，
即飞机发生事故时所在高空的温度是8摄氏度．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
23．（2022·江苏宿迁市·八年级月考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm，
（1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变；
（2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；
（3）求出图2中的a与b的值；
（4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积．
【答案】（1）CD和EF；（2）8cm、4cm、6cm、2cm；（3）a=24，b=17；（4）42cm2．
【分析】（1）结合图甲可直接解答；（2）根据函数图象即可确定BC、CD、DE、EF的长度；
（3）根据三角形的面积计算公式进行计算即可；（4）根据题意可得，当点P移动到点E时面积达到最大值，然后确定三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变
故答案是：CD和EF；
（2）当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，
由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm，
在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm 在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm，
由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm 故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm；
（3）由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S△ABP=×6×8=24
b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s ∴a=24，b=17；
（4）∵点P移动到点E时面积达到最大值a,
∴S=AB（BC+DE）=×66×（8+6）=42cm2．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象和从函数图像上获取有用的信息，从函数图象获取有用的信息解决实际问题是成为解答本题的关键．
24．（2022·浙江温岭·八年级期末）公交公司员工小明住在站点的员工宿舍，每天早上去站点上班，站到站唯一一条公交线路示意图如图1，、、、是四个公交站点，其中、两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班．
（1）星期一，小明步行到站上车，记他距站的路程为米，离开站的时间为分，关于的函数图象如图2，求的解析式及公交车的速度；
（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车，已知公交车无论上行（→）还是下行（→）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站；②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，求、两站相距的路程；③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间．
【答案】（1） 公交车的速度为：米分；（2）①小明步行到达站时恰好有上行公交车到达站；②、两站相距的路程是6600米；③分钟
【分析】（1）由图象上点可得小明步行的速度，从而可得函数解析式；由点的含义可得公交车的速度；
（2）①先计算小明步行到达站需要分，再计算上行公交车到达站需要分，而，从而可得小明步行到达站时恰好有上行公交车到达站；②设小明星期一所用时间为，星期二到达站所用时间为，可得，，再利用列方程，再解方程即可得到答案；③由每隔10分钟一班，每辆公交车相距米，而步行的速度小于坐车时的速度，可得最短时间间隔发生在坐车时，从而可得答案.
【详解】解：（1）由图象可知，小明步行的速度为（米分），
的解析式为，公交车的速度为（米分）；
（2）①小明步行到达站需要（分，
上行公交车到达站需要（分，
，小明步行到达站时恰好有上行公交车到达站；
②设小明星期一所用时间为，星期二到达站所用时间为，由题可知，，
小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，，解得，
、两站相距的路程是6600米；
③每隔10分钟一班，每辆公交车相距（米，
步行的速度小于坐车时的速度，
最短时间间隔发生在坐车时，间隔时间为（分钟）．
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意与理解函数图象上点的坐标含义是解题的关键.
25．（2022·四川甘孜·七年级期末）小明和小华是姐弟俩，某日早晨，小明7：40先从家出发去学校，走了一段后，在途中广场看到志愿者们在向过往行人讲解卫生防疫常识，小明想起自己在学校学到的卫生防疫常识，于是停下来加入了志愿者队伍，后来发现上课时间快到了，就开始跑步上学，恰好在8：00赶到学校；小华离家后沿着与小明同一条道路前往学校，速度一直保持不变，也恰好在8：00赶到学校，他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图如图所示，请结合图中信息解答下列问题：
（1）小明家和学校的距离是 米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是 分钟；（2）分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；（3）求小华在广场看到小明时是几点几分？（4）如果小明在广场进行卫生防疫常识讲解后，继续以之前的速度去往学校，假设讲解1次卫生防疫常识需要1分钟，在保证不迟到（不超过8：00）的情况下，通过计算求小明最多可以讲解几次？（结果保留整数）
【答案】（1）1280，6；（2）小华的速度为米/分钟，小明从广场跑去学校的速度为120米/分钟；（3）7：51；（4）在保证不迟到的情况下，小明最多可以讲解1次
【分析】（1）根据函数图象，找出小明家和学校的距离是1280米，计算出小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间即可；（2）根据速度=路程÷时间，分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；
（3）根据函数图象可得当小华离家路程，根据速度=路程÷时间，算出用的时间，加上出分时间，由此解答即可；（4）根据函数图象可得，小明之前的速度，讲解时间，由此推断即可．
【详解】（1）解：由图象可知，小明家和学校的距离是1280米；
小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是： （分钟）；故答案为：1280；6；
（2）解：小华的速度为：（米/分钟），
小明从广场跑去学校的速度为：（米/分钟）；
（3）解：（分钟），（分钟），
答：小华在广场看到小明时是7：51；
（4）解：（分钟），（分钟），
因为，所以，在保证不迟到的情况下，小明最多可以讲解1次．
【点睛】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
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专题5.2 函数
模块1：学习目标
1、通过实例，了解函数的概念；
2、了解函数的三种表示方法：解析法、列表法和图像法；
3、会在简单的情况下，根据函数表达式求函数值。
模块2：知识梳理
1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
3）函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
4）函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
模块3：核心考点与典例
考点1. 函数关系的辨别
例1．（2022·河南·八年级阶段练习）下面平面直角坐标系中的曲线不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．x+y=5 B． C． D．
变式 2．（2022·江苏·南通市八年级期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2. 自变量的取值范围
例3．（2022·河南驻马店·八年级期中）函数y＝中自变量的取值范围是___．
变式1．（2022·河南·商水县八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．
变式2．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
考点3. 函数的值
例3．（2022·安徽·八年级阶段练习）已知函数，则x=-5时的函数y的值为（ ）
A．-15 B．15 C．-19 D．21
变式1．（2022·福建·厦门八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·重庆八年级期末）根据以下程序，当输入x＝﹣7时，输出的y值为（ ）
A． B．4 C．﹣2 D．5
考点4. 函数的三种表示方法
例3．（2022·云南楚雄·七年级期末）在关系式中，下列说法错误的是( )
A．的数值可以任意选择 B．的值随的变化而变化
C．用关系式表示的不能用图象表示 D．与的关系还可以用列表法表示
变式1.（2022·辽宁·七年级期中）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝_____（0≤t≤5）．（自变量表达式按照t的降幂排列）
变式2．（2022·成都市·七年级专题练习）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）
考点5. 函数图象（动点问题）
例5.（2022·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B．C． D．
变式1．（2022·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·安徽·风华中学八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，在运动过程中形成的△ABP的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是( )
A．B．C．D．
考点6. 几何图形中动态问题的函数关系
例6．（2022·山东淄博市·九年级一模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
变式1．（2022·江苏徐州市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·安徽滁州市·八年级期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时，
变式3．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
考点7. 图象类综合问题
例7．（2022·黑龙江林口·八年级期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法，其中，不符合图象描述的说法是（ ）
A．他们都行驶了18千米； B．甲在途中停留了0.5小时；
C．乙比甲晚出发了0.5小时； D．甲、乙两人同时到达目的地．
变式1．（2022·云南盘龙·八年级期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，如图，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．乙车出发1.5小时后甲才出发 B．两人相遇时，他们离开A地40km
C．甲的速度是km/h D．乙的速度是km/h
变式2．（2022·辽宁大东·七年级期末）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y（个）与生产时间t（时）。（1）甲、乙两人中，直接写出谁先完成一天的生产任务？（2）在生产过程中，直接写出甲乙两人中谁因机器故障停止生产？并直接写出停止生产了几小时？（3）当t＝ 时，甲、乙生产的零件个数相等；（4）直接写出谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）下面四个关系式：①；②；③；④．其中是的函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
2．（2022·江苏·八年级专题练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建·莆田八年级期中）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）已知一函数的图象如图所示，这个函数的自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．（2022·河南汝阳·八年级期末）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东禹城·八年级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
7．（2022·河南中原·七年级期末）瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如表，则下列说法错误的是（ ）
层数n/层 1 2 3 4 5 ……
物体总数y/个 1 3 6 10 15 ……
A．在这个变化过程中层数是自变量，物体总数是因变量
B．当堆放层数为7层时，物体总数为28个
C．物体的总数随着层数的增加而均匀增加
D．物体的总数y与层数n之间的关系式为
8．（2022·福建厦门市·八年级月考）如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是( )
A． B．C． D．
9．（2022·北京市九年级其他模拟）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动工程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（ ）
A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C．甲乙两光斑全程的平均速度一样
D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
10．（2022·重庆九年级月考）如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·广东三水·九年级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是 __．（填一个符合题意的答案）
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
12．（2022·上海市九年级期中）函数的定义域是________．
13．（2022·吉林长春·八年级期末）在函数中，当自变量x＝3时，因变量y的值是 _____．
14．（2022·吴江市八年级期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：
①气温x1201日期y1234 ②
③y＝kx+b（k、b为常数） ④y＝|x|
其中y一定是x的函数的是_____．（填写所有正确的序号）
15．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的件数（件）与衬衣销售价格（元）之间的函数关系式为____________；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为______元．
16．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
17．（2022·河南·商水县八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．
18．（2022·山东东营·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邢台·八年级期中）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：
(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？
20．（2022·浙江·瑞安市塘下镇罗凤中学八年级阶段练习）已知三角形的周长为y(cm),三边长分别为9cm，5cm，x(cm)．(1)求y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围．
(2)当x=6时，求y 的值．(3)当y=19.5时，求x的值．
21．（2022·广东深圳·七年级期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
（人） … 200 250 300 350 400 …
（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到____人以上时，该公交车才不会亏损；票价为____（元/人）；
(2)请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
22．（2022·河南·郑州七年级期中）2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹！下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
所在位置的温度（℃） 20 14 8 2
（1）上表反映的两个变量中，______是自变量，______是因变量.（2）若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：__________；当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为：_________℃．如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象回答以下问题：（3）点A表示的意义是什么？返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了几分钟？（4）飞机发生事故时所在高空的温度是多少？
23．（2022·江苏宿迁市·八年级月考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm，
（1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变；
（2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；
（3）求出图2中的a与b的值；
（4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积．
24．（2022·浙江温岭·八年级期末）公交公司员工小明住在站点的员工宿舍，每天早上去站点上班，站到站唯一一条公交线路示意图如图1，、、、是四个公交站点，其中、两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班．
（1）星期一，小明步行到站上车，记他距站的路程为米，离开站的时间为分，关于的函数图象如图2，求的解析式及公交车的速度；
（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车，已知公交车无论上行（→）还是下行（→）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站；②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，求、两站相距的路程；③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间．
25．（2022·四川甘孜·七年级期末）小明和小华是姐弟俩，某日早晨，小明7：40先从家出发去学校，走了一段后，在途中广场看到志愿者们在向过往行人讲解卫生防疫常识，小明想起自己在学校学到的卫生防疫常识，于是停下来加入了志愿者队伍，后来发现上课时间快到了，就开始跑步上学，恰好在8：00赶到学校；小华离家后沿着与小明同一条道路前往学校，速度一直保持不变，也恰好在8：00赶到学校，他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图如图所示，请结合图中信息解答下列问题：
（1）小明家和学校的距离是 米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是 分钟；（2）分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；（3）求小华在广场看到小明时是几点几分？（4）如果小明在广场进行卫生防疫常识讲解后，继续以之前的速度去往学校，假设讲解1次卫生防疫常识需要1分钟，在保证不迟到（不超过8：00）的情况下，通过计算求小明最多可以讲解几次？（结果保留整数）
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