3.7 正多边形 课件(共34张PPT)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

3.7 正多边形
数学（浙教版）
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
学习目标
1．理解正多边形的概念；
2．会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题；
　
导入新课
我们知道，各边相等，各角也相等的三角形是等边三角形.在生活中，各边相等，各角相等的多边形的图案处处可见.
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
　
导入新课
我们已经学习过等边三角形（正三角形）、正方形（正四边形），正三角形、正四边形的各边相等，各角也相等。
螺帽的边缘
窗户的边框
生活中，各边相等、各角也相等的多边形的形象处处可见~
讲授新课
知识点一 正多边形的相关概念
问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角也相等.
观察与思考
讲授新课
知识要点
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
讲授新课
【思考1】已知：三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形，问：各边相等的多边形是正多边形吗？或各角相等的多边形是正多边形吗？
各角相等的多边形不一定是正多边形
各边相等的多边形不一定是正多边形
讲授新课
【思考2】如图，已知?O，
(1)用量角器把?O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；(2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？
如图，点A、B、C、D、E把?O五等分，
∵????????=????????=????????=????????=????????，
∴AB=BC=CD=DE=EA，????????????=???????????? ，
∴∠A =∠B，
同理：∠B=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正五边形.
?
O
A
B
C
D
E
讲授新课
问题2 n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如何计算？
n边形的内角和为
正n边形的每个内角的度数为
讲授新课
问题3 n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角为a度，如何求n的值？
n边形的外角和为360°
正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度.
故
讲授新课
典例精析
【例1】 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
讲授新课
练一练
1、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为________。
【分析】如图，连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=????????????°????????°=10．
?
10
讲授新课
知识点二 正多边形与圆
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
以圆内接正五边形为例证明.
一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。
讲授新课
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
?
边心距r
讲授新课
O
A
B
C
D
R
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正三角形
边长
中心角
边心距
周长
面积
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正三角形
边长
R
中心角
120°
边心距

周长
3R
面积
R2
O
A
B
C
D
R
E
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正方形
边长
R
中心角
90°
边心距
R
周长
4R
面积
2R2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正六边形
边长
中心角
边心距
周长
面积
O
A
B
C
D
E
F
R
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
内接正六边形
边长
R
中心角
60°
边心距
R
周长
6R
面积
R2
讲授新课
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S
名称
公式
中心角

边心距
d=
周长
C=na
面积
S=Cd
讲授新课
典例精析
【例2】求边长为a的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.
F
A
B
C
D
E
O
G
∵ 多边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴ l=6BC=6a.
在△BOC中，有
∴
讲授新课
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
讲授新课
画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
讲授新课
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
要点归纳
讲授新课
练一练
1、如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
(1) 在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
(2) 两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
讲授新课
(1) 在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.
∴∠GAB=135°-∠HAG=112.5°．
∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．
同理，可得CE∥BF，
∴CE∥AG.
讲授新课
P
N
M
Q
解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=
∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．
即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．
(2) 两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
讲授新课
在Rt△PAH中，
∵∠PAH=45°，AB=2，
P
N
M
Q
故S四边形PQMN =
当堂检测
1.若正多边形的边心距与半径的比为1:2,则这个多边形的边数是 .
2.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
3
3.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
·
A
B
C
D
E
O
C
当堂检测
4、已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于________。
【分析】∵该正多边形的中心角为45°，
∴正多边形的边数为：360°÷45°=8，
∴该正多边形的周长为：5×8=40．
40
当堂检测
5、已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为________。
【分析】如图（二），
∵中心角=????????????°????=60°，
OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵圆内接正六边形边长为1，
∴圆的半径为1，
?
????????????
?
如图（一），
连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，∴BD=????????OB=????????，∴BC=2BD=????，
∴圆的内接正三角形的面积=????????×????2=????????????．
?
当堂检测
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
当堂检测
A
B
C
D
E
F
P
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
当堂检测
8.如图，正五边形ABCDE内接于☉O，过点A作☉O的切线交对角线DB的延长线于点F.求证:(1)AE∥BF；(2)AB=BF.
证明:(1)∵五边形ABCDE是正五边形
∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E=(5?2)×180°5=108°
BC=CD
∴∠CBD=∠CDB=12×(180°-∠C)=36°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°
∴∠BAE+∠ABD=108°+72°=180°
∴AE∥BF
?
当堂检测
证明:(2)连接0A、OB.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°
∵OA=OB
∴∠0AB=∠0BA=12×(180°-72°)=54°
∵FA切☉0于A.
∴∠OAF=90°
∴∠FAB=90°-54°=36°
∵∠ABD=72°
∴∠F=72°-36°=36°=∠FAB
∴AB=BF
?
课堂小结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。
正多边形有关的概念：
1、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
2、外接圆的半径叫做正多边形的半径；
3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
课堂小结
正多边形有关的计算：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为d，周长为C，面积为S
名称
公式
中心角

边心距
d=
周长
C=na
面积
S=Cd
正多边形的性质：
1、轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。
2、中心对称性：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
3、正多边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
谢 谢~