专题1.1二次根式 同步讲义（含解析）八年级数学下册（浙教版）

专题1.1 二次根式
1．掌握二次根式的概念，学会计算二次根式的值；
2．学会计算二次根式含参的问题，求出符合条件的解；
3、掌握二次根式有意义的条件，并根据有意义的条件算出取值范围；
知识点01 二次根式的定义与值
【知识点】
1．二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数．
【典型例题】
例1．
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．
2．已知+=0，则 的值为（ ）
A．0 B．2021 C．-1 D．1
例3．
3．若，则 ．
【即学即练】
4．下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．当时，二次根式的值等于（ ）
A．4 B．2 C． D．0
7．当时，二次根式的值为 ．
8．已知，均为实数，，则的值为 ．
9．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值
（2）求的值
（3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有 个
知识点02 求二次根式中的参数
【典型例题】
例1．
10．已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例2．
11．若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例3．
12．当x取 时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值 ．
【即学即练】
13．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．下列说法：π的相反数是-π；若，则x=；若a为实数，则a的倒数是；④若=-x,则x<0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．若、为实数，且，则的值 (　　)
A．-2 B．1 C．2 D．-1
16．已知有理数满足，则的值是 .
17．若是二次根式，则a的取值范围是 ；若是正整数，则正整数a的最小值是 ．
18．阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
知识点03 二次根式有意义的条件
【知识点】
2．二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【典型例题】
例1．
19．若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例2．
20．若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．±1 B．4 C．3或5 D．5
例3．
21．若，则 ．
【即学即练】
22．若有意义，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
23．已知有平方根，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
25．已知、为实数，，则的值等于 ．
26．已知整数x，y满足，则的最小值为 ．
27．已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
题组A 基础过关练
28．下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
29．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．代数式有意义的条件是（　　）
A． B． C．且 D．
31．若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为（　　）
A． B． C．12 D．
32．如果是一个整数，那么最小正整数 ．
33．的定义域为 ．
34．代数式中x的取值范围是 ．
35．函数中自变量x的取值范围是 ．
36．当时，求二次根式的值．
37．判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)．
题组B 能力提升练
38．下列式子中二次根式有（　　）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
39．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A． B． C． D．
40．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
41．若函数，，则函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
42．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
43．若，则的平方根是 ．
44．若，则的算术平方根为 ．
45．已知x，y都是实数，且，则 ．
46．已知x，y为实数，且，求的值．
47．求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)．
题组C 培优拔尖练
48．若，则 x－y 的值为（　　）
A．－2 B．2 C．4 D．6
49．若，则（ ）
A． B． C． D．
50．已知、为实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
51．已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
52．若x、y是实数，且，则 ．
53．等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ．
54．已知：；；；……按此规律，请表示出第20个式子 ．
55．若a，b为实数，且，则a＋b的值是 ．
56．已知，求下列各式的值．
(1)，；
(2)．
57．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，
(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：
去分母，得①
可得②
①+②，可得
将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
①方程的解是_____________；（直接写出答案）
②方程的解是_____________；（直接写出答案）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可．
【详解】解：∵+=0且≥0，≥0，
∴=0，=0，
∴a=2020，b=-2021，
∴=，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键．
3．2
【分析】将a的值代入原式，再进一步计算可得．
【详解】解：当时，
原式=
=
=
=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法则和性质．
4．C
【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如的式子是二次根式．
【详解】解：A. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是二次根式，故该选项正确，符合题意；
D. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵ ，∴ 不成立， 故本选项错误；
B. ，解得，故本选项正确；
C. ∵，∴，∴不成立，故本选项错误；
D.∵ ，∴，∴不成立，故本选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
6．B
【分析】把代入解题即可
【详解】解：把代入得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
7．4
【分析】把代入二次根式求值即可得结果．
【详解】解：当时，原式．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单．
8．8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
9．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据数轴两点间的距离公式得到，然后解方程即可得到的值；
（2）把的值代入，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算；
（3）先找出点到点所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）由题意可得，
所以；
（2）把代入得
；
（3）从点到点所经过的整数有，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，
所以蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有3个．
【点睛】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是解题的关键．
10．B
【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．
【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数，
∴，解得，
∴实数n最大值取，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
11．A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，
，解得，
又是整数，
a能取的最小整数为0，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
12． 5 2
【分析】根据二次根式的性质可得的最小值，进而可得答案．
【详解】解：∵，∴当取最小值0时，代数式2﹣取值最大，此时5﹣x＝0，即x＝5时，代数式2﹣取值最大，这个最大值是2．
故答案为：5，2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式是解答的关键．
13．D
【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解．
【详解】解：∵，是整数，
∴正整数n的最小值是5，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
14．A
【分析】根据相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：①π的相反数是-π，故正确；②若，则x=，故错误；③若a为实数，则a的倒数是（除了0以外），故错误；④若=-x，则，故错误；所以正确的有1个；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质，熟练掌握相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴x+2=0，y－2=0，
∴x=﹣2，y=2，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．
16．
【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
17． 3
【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．
【详解】解：∵是二次根式，
∴300a≥0，
解得a≥0；
∵是正整数，且300a=100×3a，
∴整数a的最小值是3，
故答案为，3．
【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；
（2），
∴，
∴，
解得：，
∴xy=21，
∴xy的平方根为±．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
19．B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可．
【详解】∵当时，无意义，
∴，解得，
∵当时，是二次根式，
∴，解得，
∴，
∴a的值可能是8，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
20．C
【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解．
【详解】根据题意，得
解得
∴
∴或3
故答案为C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题．
21．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：有意义，
，
原等式变形为，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
22．D
【分析】根据二次根式有意义的条件求出的范围，得到答案．
【详解】解：有意义，
，
解得：，
则的值可以是4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
23．A
【分析】根据平方根的定义，被开方数大于等于零，即可判断．
【详解】解：有平方根，则，
即，
∴x的取值范围是．
故选A
【点睛】本题考查平方根的定义，被开方数为非负数，掌握平方根的定义是解题的关键．
24．A
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，
，
，
，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
25．16
【分析】根据被开方数大于等于0，得到，求出的值，进而求出的值，再求，即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握被开方数大于等于0，是解题的关键．
26．
【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出
，，则答案可得．
【详解】解：，
变形为，
∴，
∴，
∴，
∵x，y均为整数，，
∴最小值时，，
∴最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
27．(1)
(2)
【分析】(1)根据二次根式有意义的条件，即可求得a的值；
(2)首先根据，可得，再根据勾股定理，即可求得另一条直角边的长度．
【详解】（1）解：，
，，
；
（2）解：，，
，解得，
、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，
另一条直角边的长度为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
28．B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是二次根式，不合题意；
B、中，故不是二次根式，符合题意；
C、是二次根式，不合题意；
D、是二次根式，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
29．A
【分析】根据，分母不为，即可．
【详解】∵中，且，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式中，，分母不为．
30．C
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0直接求解即可．
【详解】解：由题意得，且，
即且．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0．
31．D
【分析】根据二次根式有意义，可得的取值范围，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：二次根式有意义，
∴，即，
又∵是一个完全平方式，即或，
∴或，
∴或，且，
故选：.
【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.
32．2
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．
33．且
【分析】根据二次根式的性质，分式的性质即可求解．
【详解】解：，解不等式组得，，
∴定义域为且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式，分式的性质，掌握二次根式中被开方数必须是非负数，分式中分母不能为零是解题的关键．
34．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．解题的关键是掌握知识点：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．
35．且
【分析】根据二次根式的非负性及分母不为0解题即可．
【详解】解：由题意得：，解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性及分式的分母不为0，能够熟练根据条件列不等式计算是解题关键．
36．1
【分析】根据二次分式的性质即可求解．
【详解】解：当时，
．
【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解．
37．(1)是
(2)不是
(3)是
(4)不是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．
【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0，
∴是二次根式；
（2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；
∴不是二次根式．
（3）解：∵x2≥0，
∴x2+1>0，
又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴是二次根式．
（4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3，
∴不是二次根式．
（5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，，
∴是二次根式
（6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，
∴不是二次根式．
【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数．
38．D
【分析】根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5个，
无意义，不是二次根式；
的根指数为3，不是二次根式；
∵，
∴，
∴不是二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
39．C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、的符号不能确定，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、，能作为二次根式被开方数，故此选项正确；
D、的符号不能确定，则不能作为二次根式被开方数，故此选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解本题的关键．
40．B
【分析】函数式中含有分式和二次根式，分式要有意义分母不为零，二次根式要有意义被开方数不为负数，由此问题可求解．
【详解】解：，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，解题的关键是分式的分母不等于0，二次根式的被开方数非负．
41．C
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，求解即可．
【详解】解：由题意可得：
则，，
解得且
故选：C
【点睛】此题考查了函数的取值范围，涉及了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式有意义的条件．
42．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可进行解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
43．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
∴，
∴，
∵20的平方根是，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
44．2
【分析】根据得出，求出，得出，代入求出其值，再求其算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，解题的关键是根据二次根式的性质，求出，．
45．4
【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
46．5
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
47．(1)
(2)且
(3)且
【分析】（1）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得，由此即可得；
（2）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得；
（3）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
所以函数中自变量的取值范围为．
（2）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
（3）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
48．D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入x－y中即可求解．
【详解】解：由题意得x 2≥0，2 x≥0，
∴2≤x≤2，故x=2，
∴y=－4，
∴x－y=2－（－4）=6．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求出x，y的值是解题关键．
49．A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：
2n-5=5-2n=0，
∴m=0+0+2=2，
∴n-m=
故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　
50．B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出的值，代入求得的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
51．D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，解得：，
∴ ，
∵，
∴，得：，
∴ ，即．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
52．
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式求出x的值，进而可得y的值，然后计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质和分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
53．
【分析】根据二次根式的非负性，得出，，推出，同理，得出，即，，推出，得出，代入已知等式可变为，移项、开平方得出，利用代入法求式子的值．
【详解】解：∵等式在实数范围内成立，
∴，，
∴，
∴，即，，
∴，
∴，
把代入已知条件，则，
∴，
∴原式．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，根据二次根式的非负性求出a的值和代入法求分式的值是解本题的关键．
54．
【分析】根据题目中给出的式子找出一般规律，写出第20个式子即可．
【详解】解：∵第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
∴第n个式子：，
当n=20时， ，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是找规律，找出式子与序号的关系，是解决本题的关键．
55．7或1
【分析】根据二次根式有意义的条件，确定，计算a，b的值，再计算a+b即可．
【详解】∵有意义，
∴，b=4，
∴或a=-3，b=4，
∴或，
故答案为：7或1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的混合计算，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
56．(1)；1
(2)
【分析】（1）直接把a、b的值代入计算，即可得到答案；
（2）求出的值，然后把分式进行化简，再整体代入计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；
；
（2），
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
57．(1)且
(2)①不存在，理解见解析；②
(3)①；②
【分析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
②计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可；
（3）利用平方差公式，将无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由且，
解得：且．
故答案为：且．
（2）解：①不存在，理由如下：
由，得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴不存在；
②，
∵是一个整数，
∴是整数，
∴或，
解得：或或或，
∵为无理数，且，
∴．
∴无理数的值为．
（3）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
②∵；
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检查：是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查根分式有意义的条件，无理方程的解法，求根分式的值．解题的关键是学会模仿例题解决问题，利用平方差公式把问题转化．注意：解无理方程需检验．
答案第1页，共2页
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