4.4 两个三角形相似的判定（第3课时）课件（共23张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

4.4 两个三角形相似的判定
第3课时 SSS证明两个三角形相似
数学（浙教版）
九年级 上册
第4章 相似三角形
学习目标
1．掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法；
2．能根据相似三角形的判定方法进行相关的计算；
3、掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算；
　
温故知新
相似三角形的判定定理（一）
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
　
温故知新
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
相似三角形的判定定理（二）
讲授新课
知识点一 SSS证明两个三角形相似
【思考】
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢?
【问题建模】
如图，已知：????????????’????’=????????????’????’=????????????’????’，求证：△ABC∽△A’B’C’
?
C
A’
C’
A
B
B’
讲授新课
证明：如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交AC于E，连接DE
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∴????????????????=????????????????=????????????????
∵????????????’????’=????????????’????’=????????????’????’，
且AD=A’B’
∴DE=B’C’，EA=C’A’
?
在△ADE和△A’B’C’中，
????????=????’????’????????=????’????’????????=????’????’
∴△ADE∽△A’B’C’（SSS）
又∵△ABC∽△ADE
∴△ABC∽△A’B’C’
?
如图，已知：????????????’????’=????????????’????’=????????????’????’，求证：△ABC∽△A’B’C’
?
讲授新课
三边对应成比例，两个三角形相似
相似三角形的判定（三）
C
A
B
A'
B'
C'
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
讲授新课
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
证明相似的方法
证明全等的方法
定义法
1、相似定义
1、全等定义
判定定理法
2、“两角”定理
2、AAS
3、ASA
3、“两边一夹角”定理
4、SAS
4、“三边”定理
5、SSS
6、HL
相似三角形判定方法总结
讲授新课
典例精析
【例1】如图，△ABC和△DEF三边长已知，求证△ABC～△DEF．
【证明】
根据题意：
????????????????=????????.????=????????，????????????????=????.????????.????=????????，????????????????=????.????????=????????
∴????????????????=????????????????=????????????????
∴△ABC∽△A’B’C’
?
讲授新课
练一练
1. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：由图可知，
在 △ABC 中，AB > BC > CA
在 △ DEF中，DE > EF > FD
而
∴
∴ △ABC ∽ △DEF

【解题技巧】如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
【注意】计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
讲授新课
2. 如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
【详解】
∵①中的三角形的三边分别是：2, 2,10；
②中的三角形的三边分别是：3,2,5；
③中的三角形的三边分别是：22,2,25；
④中的三角形的三边分别是：3,17,42
∵①与③中的三角形的三边的比为：1:2
∴①与③相似．故答选：A
?
讲授新课
3．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，22，10．
A、三角形三边2，10，32，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，25，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边5，4，13，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：B．
?
讲授新课
4．已知△????????????的三边长分别是2，5，6，△????????????的三边长如以下四个选项所列，若要使△????????????∽△????????????，则△????????????的三边长分别是（????）
A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8
?
【详解】解：A．∵23≠56≠67，∴△DEF的三边长不可能是3，6，7，故A错误；
B．∵26=515=618=13，∴△DEF的三边长可能是18，6，15，故B正确；
C．∵23=69≠58，∴△DEF的三边长不可能是3，8，9，故C错误；
D．∵28≠510=612∴△DEF的三边长不可能是10，12，8，故D错误．
故选：B．
?
讲授新课
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等。 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， 。
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′。
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似，即是需要
证明什么呢？
目标：
讲授新课
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得


∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿.
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
当堂检测
1. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB= ，AC= ，AD= .
当堂检测
2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.
答案：不相似.
对应边不成比例关系
当堂检测
3. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
当堂检测
4、如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，
∴
又∵∠B =∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
当堂检测
5、如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝????，AD＝2.当AB＝_______时，△ABC与△ACD相似
?
【解析】
∵∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2，
∴CD=????????2?????????2=2，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴62=????6，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴????6=62，解得AB=32
∴AB=3或32．
?
当堂检测
6.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD.若AD=2,BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长.
解:∵AD=2,BD=4
∴AB=2+4=6
∵∠ACD=∠B
又∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴
即AC2=12，解得，AC=23
?
课堂小结
判定两个三角形相似的思路：
1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形.
2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例.
3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例.
4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．
5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例.
谢 谢~