4.4 两个三角形相似的判定（第1课时） 课件（共20张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

4.4 两个三角形相似的判定
第1课时 AA判定三角形相似
数学（浙教版）
九年级 上册
第4章 相似三角形
学习目标
1．探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；
2．掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算；
　
导入新课
1）定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。
【问题一】如何判断两三角形是否相似?
2）平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
【问题二】回顾三角形全等有哪些判定方法?
?
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
斜边和一条直角边对应相等（HL）
讲授新课
知识点一 “角角”证明两个三角形相似
【观察】
如图，两幅三角尺，其中同样角度（30°与60°、或45°与45°）的两个三角尺，它们一定相似吗?
【思考】
如果两个三角形有两组角对应相等，它们相似吗？
讲授新课
【探究】
Q1：作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’，∠B=∠B’，此时∠C=∠C’吗？
Q2：分别度量这两个三角形的边长，计算????????????’????’，????????????’????’，????????????’????’，你有什么发现?
?
Q3：△ABC和△A’B’C’相似吗？
∠C=∠C’
????????????’????’=????????????’????’=????????????’????’
?
→△ABC∽△A’B’C’
三角形内角和是180°，
知两角相等，即知三角相等
again：
记相似时，字母必须对应
讲授新课
【证明】
已知：在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，求证：△ABC∽△A’B’C’
证明：如图，在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=A’B’，AE=A’C’，连接DE
在△ADE和△A’B’C’中，
????????=????’????’∠????=∠????’????????=????’????’
∴△ADE∽△A’B’C’（SAS）
∴∠ADE=∠B’
?
D
E
又∵∠B=∠B’
∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A’B’C’∽△ABC
讲授新课
三角形相似判定定理：
几何语言：
∵∠A=∠A’,∠B=∠B’
∴△ABC∽△A’B’C’
两角分别相等的两个三角形相似.
【注意】对应点写在对应的位置.
A
C
B
C'
B'
A'
概念总结
讲授新课
典例精析
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 °,∠B=80 °
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °
∵ 在△DEF中，∠E=80 °,∠F=60 °
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
　 ∴ △ABC ∽△DEF
【例1】如图，△ABC 和 △DEF 中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80 °,
∠F=60 °.
求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
讲授新课
练一练
1、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC
∴ △ADE∽△EFC
讲授新课
∴
解：∵ ED⊥AB
∴∠EDA=90 °
又∵∠C=90 °，∠A=∠A
∴ △AED ∽△ABC
【例2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8。 E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D。 求AD的长。
D
A
B
C
E
∴
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
讲授新课
2. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C’.
C
A
B
B'
C'
A'
80°
练一练
当堂检测
1、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10， 求BC的长.
解：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴ A????AB = DE????????
∴BC= DE?AB????????= 10×75=14
?
A
B
C
E
D
当堂检测
2、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【详解】
∵AB∥CD，∴
∴ ∴共有3对相似三角形．
故选:C.
当堂检测
3、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．
求证：△DAF∽△ECD．
【证明】
在平行四边形ABCD中，
∵AB∥DC，
∴∠CDE=∠AFD，
∵∠A=∠C，
∴△DAF∽△ECD．
当堂检测
4．如图，BC//FG//ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有 组．
5．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，????????????????=23，DE＝1，BC的长度是 ．
?
3
【详解】解：∵DE∥BC，∴∠????????????=∠????????????,∠????????????=∠????????????，
∴△?????????????△????????????∴????????????????=????????????????，
∵????????????????=23，DE＝1，∴????????=32，
故答案为：32
?
当堂检测
6．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．
求证：△ACD∽△BEC
【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠DAC=90°=∠EBC，
∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，
∴∠D=∠ECB，
∵∠DAC=90°=∠EBC，
∴△ACD∽△BEC．
当堂检测
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
当堂检测
8.如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝
AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
课堂小结
相似三角形的判定定理（一）
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
谢 谢~