4.3 相似三角形 课件（共22张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

4.3 相似三角形
数学（浙教版）
九年级 上册
第4章 相似三角形
学习目标
1．理解相似三角形的概念及相似比，掌握相似三角形判定的预备定理的有关证明；
2．会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算；
　
温故知新
1、比例的基本性质（小学已学）：
（1）如果a：b=c：d，那么ad=bc
（2）反过来，如果ad=bc(b≠0，d≠0)，那么a：b=c：d
2、推广：
（1）特别地，如果a：b=b：c，那么ac=b2，即比例外项的积=比例中项的平方
（2）如果ad=bc(a、b、c、d均不为0)，那么????????=????????，????????=????????，????????=????????，????????=????????
?
3、比例的其他性质
（1）合比定理：如果????????=????????，那么????+????????=????+????????；分比定理：如果????????=????????，那么?????????????=?????????????
（2）合分比定理：如果????????=????????(a-b≠0,c-d≠0)，那么????+?????????????=????+?????????????
（3）等比定理：如果????????=????????(b±d≠0)，那么????±????????±????=????????=????????
进一步推广：如果????????=????????=?=????????(分母和≠0)，那么????+????+?????????+????+?????=????????=????????
?
　
温故知新
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言：
若a∥b∥ c ，则 ， ，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
平行线分线段成比例
讲授新课
知识点 相似三角形的定义
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
∵∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’
????????????′????′= ????????????′????′?= ????????????′????′
?
∴△ABC∽△A′B′C′
讲授新课
对应角分别相等、对应边成比例.
相似三边形的性质
∴∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’
????????????′????′= ????????????′????′?= ????????????′????′
?
∵△ABC∽△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
讲授新课
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E。
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
讲授新课
想一想：
B
C
A
D
E
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
讲授新课
B
C
A
D
E
可以将 DE 平移到BC 边上去
而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的
结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
，需要证明的是 ，
由前面的结论可得
讲授新课
证明：
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
如图，过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC，DF∥AC
∴
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC
∴△ADE∽△ABC
∴
讲授新课
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形判定的预备定理
讲授新课
那么，两个三角形究竟要具有怎样的特征才能说它们“形状相同”，称为相似三角形呢？我们借助于几组图来分析~
两个正三角形的各角分别相等，各边成比例
Q1：图（1）中的两个正三角形的边和角分别有怎样的数量关系?
C
A’
C’
A
B
B’
（1）
C
A’
C’
A
B
B’
（2）
讲授新课
通过度量、计算发现：两个三角形的各角相等，各边成比例
Q2：图（2）中的两个三角形呢?
C
A’
C’
A
B
B’
（1）
C
A’
C’
A
B
B’
（2）
【总结】
∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’，????????????’????’=????????????’????’=????????????’????’
△ABC与△A’B’C’相似
?
讲授新课
记法与读法：
△ABC与△A’B’C’相似，记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”
△ABC与△A’B’C’相似，可以记作△ABC∽△A’C’B’吗？
表示两个多边形相似，应把对一个顶点的字母写在对应的位置上
C
A’
C’
A
B
B’
（1）
C
A’
C’
A
B
B’
（2）
不可以，字母必须对应
讲授新课
典例精析
【例】已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
C
D
A
B
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD = 2 , AC = 8,
∴ AB = 4.
讲授新课
练一练
1.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD =
∴
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
A
B
C
D
当堂检测
1、下列各组图形一定相似的是（　　）
A．有一内角是45°的两个等腰三角形
B．两个等腰三角形
C．两个矩形
D．两个等边三角形
【分析】
易错选项A：底角45°的等腰三角形与顶角45°的等腰三角形不相似
当堂检测
2、如图所示，若△ABE∽△DCE，分别写出相似图形中的对应角与对应边．
【解答】
对应角：∠A与∠D，∠B与∠C，∠DEC与∠AEB．
对应边：AB与DC，AE与DE，BE与CE．
字母必须要对应
当堂检测
3、若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
【分析】
∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′．
当堂检测
4、利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的周长比为__________，面积比为__________．
1：4
1：16
【总结】
两个相似三角形的对应边之比为m：n，则周长比为m：n，面积比为m2：n2．
课堂小结
对应角分别相等、对应边成比例.
相似三边形的性质
由此我们得到判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形判定的预备定理
谢 谢~