4.1 比例线段 课件（共40张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

4.1 比例线段
数学（浙教版）
九年级 上册
第4章 相似三角形
学习目标
1、理解并掌握线段的比、成比例线段的概念和相关组成元素；
2、理解并能灵活运用比例的基本性质解决问题；
3、掌握黄金分割的相关概念与应用；
　
导入新课
问题：两组图中A、B之间有何关系？
A B
【分析】形状相同、大小相等——全等
　
导入新课
问题：两组图中A、B之间有何关系？
A B
A B
【分析】形状相同、但是大小不等
讲授新课
知识点一 线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线段的长度比.
其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.
讲授新课
设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长度分别是多少？
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比例线段.
A
B
C
D
G
H
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】已知AB长为1dm，CD长为2cm，则AB：CD=________.
【分析】
∵AB=1dm=10cm
∴AB：CD=10：2=5：1
【总结】
（1）计算线段的比，即计算线段长度的比
（2）需保证长度的单位统一
讲授新课
1.已知教室黑板的长 a = 3.2 m，宽 b = 120 cm ，求 a：b。
∴a ：b = 320 ：120 = 8 ：3
或：
2.一条线段的长度是另一条线段长度的 ，则这两条线段之比是?
∵a=3.2m=320cm
练一练
讲授新课
知识点二 成比例线段的概念
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即：
那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
讲授新课
1.a,b,c,d叫作组成比例的项.
2.a, d叫作比例的外项.
3.b,c叫作比例的内项.
注意：1.四个值 2.按顺序
a : b = c :
比例内项
比例外项
比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求.
a : b = c : d
比例内项
比例外项
讲授新课
1、在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
注意：四条线段成比例时，要把这四条线段按顺序排列，不能随意颠倒
2、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 a：b=c：d
（1）比例的四个项a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项
（2）其中a和d又叫做比例外项，b和c叫做比例内项
（3）在比例式a：b=b：c中，b叫做a和c的比例中项?
讲授新课
3、判断四条线段是否是成比例线段的方法：
（1）单位统一——确保四条线段的单位统一
（2）排序——将线段按照从小到大的顺序排列
（3）计算——分别计算排序后的前两条线段的比、后两条线段的比
（4）看——看比是否相等
讲授新课
典例精析
【例2】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm,2cm,3cm,4cm B．1cm,2cm,20cm,40cm
C．4cm,2cm,5cm,3cm D．5cm,10cm,15cm,20cm
【分析】
A．1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B．1×40=2×20，∴四条线段成比例；
C．排序：2cm,3cm,4cm,5cm，2×5≠3×4，∴四条线段不成比例；
D．5×20≠10×15，∴四条线段不成比例．
B
讲授新课
练一练
1、线段a=2cm，b=3cm，c=lcm，那么a、b、c的第四比例项d=________.
2、线段a=6cm，b=2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是________cm.
【分析5-1】
∵????????=????????，
∴????????????????????????=????????????????，
∴d=1.5cm
?
【分析5-2】
设第四比例项为d
∵????????=????+????????，
∴????????????????????????=????????????????，
∴d=????????cm
?
【注意】单位不能漏
1.5cm
????????
?
讲授新课
知识点三 比例的基本性质
1.如果
，那么ad＝bc.
2.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0),那么 .
两外项之积=两内项之积。
左 右
右 左
交叉相乘积相等
右 左
左 右
讲授新课
如果作为比例内项的两条线段是相等的，即 (或 a:b=b:c)，那么线段b叫线段a，c的比例中项。。
特别地，
三种不同形式：
a：b=b：c
b2=ac
讲授新课
思考：你发现了什么？
探究等比性质，先独立完成，再与同伴交流
讲授新课
等比性质
讲授新课
典例精析
【例3】若a=4cm，b=9cm，则线段a,b的比例中项是________cm.
【分析】
设比例中项为m
∵ab=m2，
∴(4cm)×(9cm)=m2，
∵m>0
∴m=6cm
讲授新课
练一练
1、已知三个数3、6、x，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则x的取值是____________________________．
【分析】比例中项指代不明，需分类讨论
①设3为比例中项，则6x=32，解得：x=????????；
②设6为比例中项，则3x=62，解得：x=12；
③设x为比例中项，则3×6=x2，解得：x=±????????；
综上，x=????????或x=12或x=±????????
?
x=????????或x=12或x=±????????
?
讲授新课
2、若a：b=3：4，b：c=1：2，则a：c=________.
【分析】
∵a：b=3：4，b：c=1：2=4：8，
∴a：b：c=3：4：8，
∴a：c=3：8
【总结】
本题方法：把b转化成同一个数，进行连比
讲授新课
3、已知????????=????????，那么?????????????=________.
?
【分析】
∵????????=????????，
∴????????-1=????????-1，即?????????????=-????????，
∴?????????????=????????
?
????????
?
讲授新课
4、已知????????=????????，那么????+?????????????=________.
?
【分析】法一：
∵????????=????????，
∴a=????????b，
∴????+?????????????=????+?????????????????????????????=????????????????????????=4
?
4
法二：
∵????????=????????，
∴设a=3k，b=5k，
∴????+?????????????=????????+?????????????????????????=????????????????=4
?
【对比总结】
设“k”法更简单明了
讲授新课
5、已知a：b：c=9：11：14，且a+b+c=68，则3a-2b+c=________.
【分析】
∵a：b：c=9：11：14，且a+b+c=68，
∴设a=9k，b=11k，c=14k，
∴9k+11k+14k=68，解得：k=2，
∴a=18，b=22，c=28，
∴3a-2b+c=38
讲授新课
6、已知????????=????????=????????=????????，且b+d+f≠0，则????+????+????????+????+????=________.
?
【分析】
∵????????=????????=????????=????????，且b+d+f≠0，
∴根据等比定理：????+????+????????+????+????=????????
?
????????
?
讲授新课
知识点四 黄金分割
●
C
B
A
解析：①由比例式可得AC=AB·BC,即当图中的较长线段AC是最长线段AB和最短线段BC的比例中项时，点C为线段AB的黄金分割点.
●
●
讲授新课
解析：②若设AB为1，AC为x,则x是1和(1-x)的比例中项.由前边“巩固练习”可知，x= .
●
C
B
A
●
●
③线段AB有两个黄金分割点，一个靠近端点A,一个靠近端点B.
讲授新课
议一议：“黄金分割”在生活中还有哪些应用呢？
一片树叶也蕴含着“黄金分割”
鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618
讲授新课
议一议：已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
①AB1∵点B为线段AC的黄金分割点
∴????????????????=?????????????
∴????????????????=?????????????????????????=1-????????????????=1-?????????????=?????????????
∴AB=(1-?????????????)AC=?????????????AC
?
A
C
B1
B2
②AB2>BC2
∵点B为线段AC的黄金分割点
∴????????????????=?????????????
∴AB=?????????????AC
?
【分析】
B点有两种可能性，需分类讨论
讲授新课
【题型：求线段的长】
已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
①ABBC时AB=?????????????AC
?
讲授新课
典例精析
【例4】在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
讲授新课
练一练
1、已知点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB），AB=6，那么AP的长是____________cm.
【分析】
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>PB）
∴AP=?????????????AB=?????????????×6=3????-3
?
3????-3
?
讲授新课
2、如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是?????????????，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形共有________个．
?
【分析】
∵矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，
∴黄金矩形还有矩形AEGH，矩形GHFB，
∴图中黄金矩形共有3个
3
讲授新课
3、如图，P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论成立的个数是________个．
（1）????????????????＝????????????????；
（2）AB：AP=AP：PB；
（3）BP2=AP·AB；
（4）????????????????≈0.618．
?
【分析】
∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴????????????????＝???????????????? ，即????????????????＝????????????????，AP2=BP·AB，
∴（1）正确；（2）正确；（3）错误；
∵黄金比为0.618，
∴??????????????≈0.618，（4）正确．
?
3
课堂小结
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线段的长度比。
其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。
1.线段的比
课堂小结
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即：
2.成比例线段的概念
那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
课堂小结
1.a,b,c,d叫作组成比例的项.
2.a, d叫作比例的外项.
3.b,c叫作比例的内项.
a : b = c :
比例内项
比例外项
比例是指四条线段之间的一种关系，它们有顺序要求。
a : b = c : d
比例内项
比例外项
课堂小结
1.如果
，那么ad＝bc.
2.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0),那么 .
两外项之积=两内项之积.
左 右
右 左
交叉相乘积相等
右 左
左 右
3.比例的基本性质
课堂小结
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 =
定义
谢 谢~