浙教版数学九年级（上）同步练习提升版3.7正多边形
一、知识与方法
1．各边 ，各内角也 的多边形叫作正多边形．这也是判定正多边形的两个条件，缺一不可．
2．正多边形一定是 对称图形，不一定是 对称图形．
3．正n边形的每一个内角都相等，度数为 ，每一个外角也相等，度数为 .
4．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的 ，这个正多边形也叫作圆的 ．任何正多边形都有一个外接圆．
二、运用与探索——A组
5．（2018·宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．若正多边形的一个内角是144°，则该正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
8．边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起，则∠ABC的度数是
9．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
10．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC．求∠BCM的度数．
三、B组
11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
12．同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为 .
13．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
四、C组
15．（2017·承德模拟）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．3
16．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
答案解析部分
1．【答案】相等；相等
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形， 这也是判定正多边形的两个条件，缺一不可．
故答案为：相等，相等.
【分析】利用正多边形的定义可得答案.
2．【答案】轴；中心
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形.
故答案为：轴，中心.
【分析】利用正多边形的对称性，可得答案.
3．【答案】；
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正n边形的每一个内角都相等，度数为，每一个外角也相等，度数为.
故答案为：，.
【分析】利用正多边形的内角和定理及正多边形的性质：每一个内角都相等，可表示出每一个内角的度数；利用任意多边形的外角和为360°及正多边形的每一个外角都相等，可表示出每一个外角的度数.
4．【答案】外接圆；内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作圆的内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆和内接正多边形的定义，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角等于40°且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为：360°÷40°=9.
故答案为：D.
【分析】根据任何多边形的外角和都为360°以及一个外角的度数，从而可得这个正多边形的边数.
6．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角为144°，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为180°-144°=36°，
∴这个正多边形的边数为360°÷36°=10.
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的每一个内角和外角都相等，且一个外角和一个内角的和为180°，可求出这个正多边形的每一个外角的度数，然后用360°除以一个外角的度数，可得到此正多边形的边数.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
8．【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ 边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起 ，
∴AB=AC，∠BAD=120°，∠DAC=108°°，
∴∠ABC=∠ACB，∠BAC=360°-∠BAD-∠DAC=360°-120°-108°=132°，
∴∠BAC=（180°-∠BAC）=（180°-132°）=24°.
故答案为：24°.
【分析】利用正多边形的性质可证得AB=AC，∠BAD=120°，∠DAC=108°°，利用等边对等角可推出∠ABC=∠ACB，同时可求出∠BAC的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数.
9．【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
10．【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90° ，AB= BM．
∴∠MBC=120°-90°=30，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC=×(180°-30°)=75°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；正多边形的性质
【解析】【分析】利用正六边形的性质，可证得∠ABC=120°，AB=BC，利用正方形的性质可推出∠ABM=90° ，AB= BM；再求出∠MBC的度数，同时可证得BM=BC，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCM的度数.
11．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，
则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；
∴直径BE==2，
∵直径是圆内接正方形的对角线长，
∴圆内接正方形的边长等于
∴⊙O的内接正方形的面积为2．
故选A．
【分析】连接BO并延长交圆于点E，连接AE，根据三角函数可求得BE的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．本题利用了圆周角定理和直径对的圆周角是直角、圆内接正方形的性质和正弦的概念求解．
12．【答案】1 ：：
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，边心距为r，
等边△ABC内接于圆O，
∴∠COD=60°，
∴即
解之：；
正方形ABCD内接于圆O，OB=R，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∴即，
解之：；
正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距
∴∠AOB=60°，OA=OB=R
∴∠AOD=30°，
∴即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】设圆的半径为R，边心距为r，等边△ABC内接于圆O，可得到∠COD=60°，利用就直角三角形表示出OD；正方形ABCD内接于圆O，OB=R，可证得∠BOE=∠OBE=45°，利用就直角三角形表示出OE的长；正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距，可证得∠AOD=30°，利用解直角三角形可表示出OD的长；然后求出它们的边心距之比即可.
13．【答案】解：连结OA，OB，则OA=OB，
∠OAB=∠OBC=，
∠AOB=45°.
又AM=BN，故△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠AOB=∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=∠MON=180°-67.5°-67.5°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连结OA，OB，利用正八边形的性质可求出∠OAB，∠OBA的度数，同时求出∠AOB的度数，利用SAS证明△OAM≌△OBN，利用全等三角形的性质可得到∠AOM=∠BON，再证明∠AOB=∠MON，利用三角形的内角和定理可求出结果.
14．【答案】解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，
∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点，
∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，
∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE，
∴FH=EF=1，
∴，
∴，
∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【分析】连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，利用正六边形的性质可求出EP的长，同时可证得AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠FAE=∠FEA=30°，AE=2HE，同时可求出FH的长；利用勾股定理求出HE的长，可得到AE的长；然后证明∠AEP=90°，利用勾股定理求出AP的长.
15．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
两平行的边之间距离是： ，
则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=3 ．
故选：D．
【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
16．【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
1 / 1浙教版数学九年级（上）同步练习提升版3.7正多边形
一、知识与方法
1．各边 ，各内角也 的多边形叫作正多边形．这也是判定正多边形的两个条件，缺一不可．
【答案】相等；相等
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形， 这也是判定正多边形的两个条件，缺一不可．
故答案为：相等，相等.
【分析】利用正多边形的定义可得答案.
2．正多边形一定是 对称图形，不一定是 对称图形．
【答案】轴；中心
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形.
故答案为：轴，中心.
【分析】利用正多边形的对称性，可得答案.
3．正n边形的每一个内角都相等，度数为 ，每一个外角也相等，度数为 .
【答案】；
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正n边形的每一个内角都相等，度数为，每一个外角也相等，度数为.
故答案为：，.
【分析】利用正多边形的内角和定理及正多边形的性质：每一个内角都相等，可表示出每一个内角的度数；利用任意多边形的外角和为360°及正多边形的每一个外角都相等，可表示出每一个外角的度数.
4．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的 ，这个正多边形也叫作圆的 ．任何正多边形都有一个外接圆．
【答案】外接圆；内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作圆的内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆和内接正多边形的定义，可得答案.
二、运用与探索——A组
5．（2018·宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角等于40°且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为：360°÷40°=9.
故答案为：D.
【分析】根据任何多边形的外角和都为360°以及一个外角的度数，从而可得这个正多边形的边数.
6．若正多边形的一个内角是144°，则该正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角为144°，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为180°-144°=36°，
∴这个正多边形的边数为360°÷36°=10.
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的每一个内角和外角都相等，且一个外角和一个内角的和为180°，可求出这个正多边形的每一个外角的度数，然后用360°除以一个外角的度数，可得到此正多边形的边数.
7．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
8．边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起，则∠ABC的度数是
【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ 边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起 ，
∴AB=AC，∠BAD=120°，∠DAC=108°°，
∴∠ABC=∠ACB，∠BAC=360°-∠BAD-∠DAC=360°-120°-108°=132°，
∴∠BAC=（180°-∠BAC）=（180°-132°）=24°.
故答案为：24°.
【分析】利用正多边形的性质可证得AB=AC，∠BAD=120°，∠DAC=108°°，利用等边对等角可推出∠ABC=∠ACB，同时可求出∠BAC的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数.
9．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
10．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC．求∠BCM的度数．
【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90° ，AB= BM．
∴∠MBC=120°-90°=30，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC=×(180°-30°)=75°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；正多边形的性质
【解析】【分析】利用正六边形的性质，可证得∠ABC=120°，AB=BC，利用正方形的性质可推出∠ABM=90° ，AB= BM；再求出∠MBC的度数，同时可证得BM=BC，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCM的度数.
三、B组
11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，
则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；
∴直径BE==2，
∵直径是圆内接正方形的对角线长，
∴圆内接正方形的边长等于
∴⊙O的内接正方形的面积为2．
故选A．
【分析】连接BO并延长交圆于点E，连接AE，根据三角函数可求得BE的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．本题利用了圆周角定理和直径对的圆周角是直角、圆内接正方形的性质和正弦的概念求解．
12．同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为 .
【答案】1 ：：
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，边心距为r，
等边△ABC内接于圆O，
∴∠COD=60°，
∴即
解之：；
正方形ABCD内接于圆O，OB=R，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∴即，
解之：；
正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距
∴∠AOB=60°，OA=OB=R
∴∠AOD=30°，
∴即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】设圆的半径为R，边心距为r，等边△ABC内接于圆O，可得到∠COD=60°，利用就直角三角形表示出OD；正方形ABCD内接于圆O，OB=R，可证得∠BOE=∠OBE=45°，利用就直角三角形表示出OE的长；正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距，可证得∠AOD=30°，利用解直角三角形可表示出OD的长；然后求出它们的边心距之比即可.
13．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
【答案】解：连结OA，OB，则OA=OB，
∠OAB=∠OBC=，
∠AOB=45°.
又AM=BN，故△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠AOB=∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=∠MON=180°-67.5°-67.5°=45°.
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连结OA，OB，利用正八边形的性质可求出∠OAB，∠OBA的度数，同时求出∠AOB的度数，利用SAS证明△OAM≌△OBN，利用全等三角形的性质可得到∠AOM=∠BON，再证明∠AOB=∠MON，利用三角形的内角和定理可求出结果.
14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
【答案】解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，
∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点，
∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，
∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE，
∴FH=EF=1，
∴，
∴，
∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【分析】连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，利用正六边形的性质可求出EP的长，同时可证得AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠FAE=∠FEA=30°，AE=2HE，同时可求出FH的长；利用勾股定理求出HE的长，可得到AE的长；然后证明∠AEP=90°，利用勾股定理求出AP的长.
四、C组
15．（2017·承德模拟）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
两平行的边之间距离是： ，
则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=3 ．
故选：D．
【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
16．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
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