2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.2.1 菱形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
2．（2017八下·潮阳期中）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16 C．15 D．14
3．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m C．30m D．35m
4．（2017·三亚模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2017·兰州模拟）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
6．（2017八下·林州期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
二、填空题
7．（2017·海宁模拟）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 ．
8．在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为 ．
9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为 ．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为
三、解答题
11．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE=AF．
12．已知菱形的边长是5cm，一条对角线的一半长是方程x2﹣3x﹣4=0的根，你能求出这个菱形的面积吗？
13．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
故答案为：A.
【分析】先根据菱形四条边都相等求得菱形的边长，再利用三角形中位线的性质求得OE的长即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB=5，
∴△ABD的周长等于5+5+6=16，
故选B．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，进而△ABD的周长．
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），
故选：C．
【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．
4．【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：C．
【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE= AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB：∠B=5：1；
故答案为：B．
【分析】先求得菱形的边长，然后再依据特殊锐角三角形函数值求解即可.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质可知OA=OC，故选项D成立；
由菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可知选项A，C成立；
所以B不一定正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质逐项分析即可得到问题答案．
7．【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD= ∠ABC，∠BAC= ∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故答案为30°或60°．
【分析】如图，折痕为AC与BD，∠ABC=60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
8．【答案】2或8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：当点E在CB的延长线上时，如图1所示．
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC+BE=8；
当点E在BC边上时，如图2所示．
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC﹣BE=2．
综上可知：CE的长是2或8．
故答案为：2或8．
【分析】根据点E在BC边上或在CB的延长线上两种情况考虑，根据勾股定理可算出BE的长度，再根据线段间的关系即可得出CE的长．
9．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的两条对角线的长分别为6和10，
∴菱形的面积= ×10×6=30，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积= ×30=15．
故答案为：15.
【分析】先利用菱形两条对角线的长度求得该菱形的面积，将菱形的两条对角线用虚线画出，可以看到阴影部分的面积是该菱形面积的一半.
10．【答案】（ ， ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】由菱形的性质可知：点A的对称点是点C，所以连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可.
故答案为：.
【分析】依据两点之间线段最短进行确定点P的位置.再根据一次函数的交点求点P的坐标.
11．【答案】证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE= BC，DF= CD，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形四条边相等与对角相等的性质，同时结合中点的定义即可利用边角边证△ABE≌△ADF，即可证得AE=AF.
12．【答案】解：∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x=4或x=﹣1（舍），
∵菱形的边长是5cm，
∴菱形的另外一条对角线=2 =6cm，
∴菱形的面积为= ×6×8=24cm2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【分析】先解一元二次方程，那么一元二次方程的正跟即为菱形另一条对角线的一半长，那么菱形的面积即为两条对角线长度积的一半.
13．【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
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一、选择题
1．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
故答案为：A.
【分析】先根据菱形四条边都相等求得菱形的边长，再利用三角形中位线的性质求得OE的长即可.
2．（2017八下·潮阳期中）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A．18 B．16 C．15 D．14
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB=5，
∴△ABD的周长等于5+5+6=16，
故选B．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，进而△ABD的周长．
3．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．20m B．25m C．30m D．35m
【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），
故选：C．
【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．
4．（2017·三亚模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：C．
【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
5．（2017·兰州模拟）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE= AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB：∠B=5：1；
故答案为：B．
【分析】先求得菱形的边长，然后再依据特殊锐角三角形函数值求解即可.
6．（2017八下·林州期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质可知OA=OC，故选项D成立；
由菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可知选项A，C成立；
所以B不一定正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质逐项分析即可得到问题答案．
二、填空题
7．（2017·海宁模拟）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 ．
【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD= ∠ABC，∠BAC= ∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故答案为30°或60°．
【分析】如图，折痕为AC与BD，∠ABC=60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
8．在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为 ．
【答案】2或8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：当点E在CB的延长线上时，如图1所示．
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC+BE=8；
当点E在BC边上时，如图2所示．
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC﹣BE=2．
综上可知：CE的长是2或8．
故答案为：2或8．
【分析】根据点E在BC边上或在CB的延长线上两种情况考虑，根据勾股定理可算出BE的长度，再根据线段间的关系即可得出CE的长．
9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的两条对角线的长分别为6和10，
∴菱形的面积= ×10×6=30，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积= ×30=15．
故答案为：15.
【分析】先利用菱形两条对角线的长度求得该菱形的面积，将菱形的两条对角线用虚线画出，可以看到阴影部分的面积是该菱形面积的一半.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为
【答案】（ ， ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】由菱形的性质可知：点A的对称点是点C，所以连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可.
故答案为：.
【分析】依据两点之间线段最短进行确定点P的位置.再根据一次函数的交点求点P的坐标.
三、解答题
11．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE=AF．
【答案】证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE= BC，DF= CD，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形四条边相等与对角相等的性质，同时结合中点的定义即可利用边角边证△ABE≌△ADF，即可证得AE=AF.
12．已知菱形的边长是5cm，一条对角线的一半长是方程x2﹣3x﹣4=0的根，你能求出这个菱形的面积吗？
【答案】解：∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x=4或x=﹣1（舍），
∵菱形的边长是5cm，
∴菱形的另外一条对角线=2 =6cm，
∴菱形的面积为= ×6×8=24cm2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【分析】先解一元二次方程，那么一元二次方程的正跟即为菱形另一条对角线的一半长，那么菱形的面积即为两条对角线长度积的一半.
13．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
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