浙教版八年级下册第2章 2.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
2．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．±4 C．4 D．5
4．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（ ）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
5．（2015八下·杭州期中）把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，3，5 B．1，﹣3，0 C．﹣1，0，5 D．1，3，0
6．（2015八下·萧山期中）下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A．x2+3x=0 B．2x+y=3 C． D．x（x2+2）=0
7．（2015八下·萧山期中）把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1 D．2、3、1
8．（2015八下·绍兴期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣3=2x B．x2﹣2=0 C．x2﹣2y=1 D．
9．（2015八下·绍兴期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
10．（2015八下·嵊州期中）在下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2 =0 B．（x+3）（x﹣5）=4
C．ax2+bx+c=0 D．x2﹣2xy﹣3y2=0
11．（2015八下·嵊州期中）若m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
12．（2015八下·嵊州期中）已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，则代数式 的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
13．（2015八下·嵊州期中）已知m是方程x2﹣2016x+1=0的一个根，则m+ ﹣2015+ 的值为（ ）
A．2016 B．2015 C． D．
14．（2015八下·绍兴期中）关于x的方程（m﹣2）x2+（m﹣1）x+m=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．m≠l B．m≠﹣1且m≠2
C．m≠2 D．m≠1且m≠2
15．（2015八下·新昌期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣5
C．1或﹣5 D．m≠1的任意实数
二、填空题
16．（2016八下·西城期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，则m的值为 ．
17．（2015八下·江东期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2= .
18．（2015八下·青田期中）n是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2n﹣n2的值是
19．（2015八下·杭州期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
20．（2015八下·绍兴期中）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
21．（2015八下·洞头期中）已知一个一元二次方程的一个根为2，且常数项为0，则这个一元二次方程可以是 ．（只需写出一个方程即可）
三、解答题
22．已知：关于x的方程x2﹣5x+3m+1=0的一根为﹣2，求方程的另一根和m的值．
23．已知x=1是关于x的方程ax2+bx﹣3=0（a＞0）的一根．
（1）求a+b的值；
（2）若b=2a，x1和x2是方程的两根，求x1+x2的值．
24．阅读材料：
材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．
材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得
m+n=1，mn=﹣1
∴=
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= ．
（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p、q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
四、综合题
25．（2016八下·安庆期中）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得p+q=2，pq=﹣2，
所以===4．
故选C．
【分析】先根据根与系数的关系得到p+q=2，pq=﹣2，再利用完全平方根是变形得到=，然后利用整体代入的方法计算即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，
故选：A．
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵x（x+2）=5x，∴x2+2x﹣5x=0，
∴x2﹣3x=0；∴a=1，b=﹣3，c=0．
故选B．
【分析】一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项；其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把方程x（x+2）=5x化成一般式，问题可求．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程定义，正确；
B、含有两个未知数，错误；
C、不是整式方程，错误；
D、未知数的最高次数是3，错误．
故选A．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x﹣3=2x是一元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2=0是一元二次方程，故此选项正确；
C、x2﹣2y=1是二元二次方程，故此选项错误；
D、 +1=2x，是分式方程，故此选项错误．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2 =0是分式方程，不是整式方程．故本选项错误；
B、由原方程知x2﹣2x﹣19=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程．故本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程．故本选项错误．
故选B．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，
∴m2+nm+m=0，
∴m（m+n+1）=0；
又∵m≠0，
∴m+n+1=0，
解得，m+n=﹣1；
故选A．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入关于x的一元二次方程x2+nx+m=0，通过解该方程即可求得m+n的值．
12．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，
∴a+b+c=0，∴b+c=﹣a，将b+c=﹣a代入代数式 = =﹣1，故选B．
【分析】将这个根代入方程，得出a、b、c之间的关系，以b+c为整体代入求值即可．
13．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2﹣2016x+1=0的一个不为0的根，
∴m2﹣2016m+1=0，
∴m2+1=2016m，
∴m+ =2016
∴原式=2016+ = ，
故选C．
【分析】把x=m代入方程x2﹣2016x+1=0有m2﹣2016m+1=0，变形得m2+1=2016m，再将所求代数式计算即可求出结果．
14．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：要使方程是一元二次方程，则：
m﹣2≠0，
∴m≠2．
故本题选C．
【分析】题目已经按一元二次方程的一般形式给出，要使方程是一元二次方程，只有二次项系数不为0，可以得到m≠2．
15．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0中，得
m2+4m﹣5=0，
解得m=﹣5或1，
当m=1时，原方程二次项系数m﹣1=0，舍去，
故选B．
【分析】把x=0代入方程（m2﹣1）x2+（m+1）x﹣2=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
16．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，
∴22﹣6×2+m=0，
解得，m=8，
故答案为：8．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，可以求得m的值．
17．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设t=x2+y2（t≥0），则原方程可化为：t（t﹣1）﹣12=0，
即t2﹣t﹣12=0，
∴（t﹣4）（t+3）=0，
∴t=4，或t=﹣3（不合题意，舍去），
∴x2+y2=4．
故答案是：4．
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2﹣t﹣12=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
18．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=n代入方程得：n2﹣2n﹣1=0，
则n2﹣2n=1，
所以2n﹣n2=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】将x=n代入方程即可求出所求式子的值．
19．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
20．【答案】k＜2且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
21．【答案】x（x﹣2）=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：一个根是2，常数项为0的一元二次方程可为x（x﹣2）=0．
故答案是：x（x﹣2）=0．
【分析】一个一元二次方程，使得它的一个根是2，则含x﹣2的因式，又常数项为0，则方程可为（x﹣2）x=0．
22．【答案】解：设方程的另一根为t，则
﹣2+t=5，
解得t=7，
即方程的另一根为7；
把x=﹣2代入x2﹣5x+3m+1=0，得
（﹣2）2﹣5×（﹣2）+3m+1=0，期15+3m=0，
解得m=﹣5．
综上所述，方程的另一根为7，m的值是﹣5．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根；然后把x=﹣2代入已知方程求得m的值．
23．【答案】解：（1）依题意得，a+b﹣3=0，∴a+b=3；（2）由（1）得a+b=3，∵b=2a，∴a+2a=3，∴a=1，b=2，∴原方程是x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴x1+x2=﹣2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）把x=1代入已知方程，可得：a+b﹣3=0，然后适当整理变形即可；
（2）由（1）得a+b=3，又因为b=2a，得到a+2a=3，求得a=1，b=2，得到原方程是x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，得到x1+x2=﹣2．
24．【答案】解：（1）x1+x2=﹣，x1x2=﹣；
故答案为﹣，﹣；
（2）∵m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=﹣，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；
（3）设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=﹣2，
∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p 2q=32﹣2×（﹣2）=13．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣，接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；
（3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p 2q=﹣2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=（p+2q）2﹣2p 2q，然后利用整体代入的方法计算．
25．【答案】（1）解：由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4
（2）解：由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得
x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，
当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得m=﹣ ，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；（2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
1 / 1浙教版八年级下册第2章 2.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
2．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
3．已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．±4 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得p+q=2，pq=﹣2，
所以===4．
故选C．
【分析】先根据根与系数的关系得到p+q=2，pq=﹣2，再利用完全平方根是变形得到=，然后利用整体代入的方法计算即可．
4．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（ ）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，
故选：A．
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．
5．（2015八下·杭州期中）把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，3，5 B．1，﹣3，0 C．﹣1，0，5 D．1，3，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵x（x+2）=5x，∴x2+2x﹣5x=0，
∴x2﹣3x=0；∴a=1，b=﹣3，c=0．
故选B．
【分析】一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项；其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把方程x（x+2）=5x化成一般式，问题可求．
6．（2015八下·萧山期中）下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A．x2+3x=0 B．2x+y=3 C． D．x（x2+2）=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程定义，正确；
B、含有两个未知数，错误；
C、不是整式方程，错误；
D、未知数的最高次数是3，错误．
故选A．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
7．（2015八下·萧山期中）把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1 D．2、3、1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
8．（2015八下·绍兴期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣3=2x B．x2﹣2=0 C．x2﹣2y=1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x﹣3=2x是一元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2=0是一元二次方程，故此选项正确；
C、x2﹣2y=1是二元二次方程，故此选项错误；
D、 +1=2x，是分式方程，故此选项错误．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
9．（2015八下·绍兴期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
10．（2015八下·嵊州期中）在下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2 =0 B．（x+3）（x﹣5）=4
C．ax2+bx+c=0 D．x2﹣2xy﹣3y2=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x2 =0是分式方程，不是整式方程．故本选项错误；
B、由原方程知x2﹣2x﹣19=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程．故本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程．故本选项错误．
故选B．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
11．（2015八下·嵊州期中）若m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，
∴m2+nm+m=0，
∴m（m+n+1）=0；
又∵m≠0，
∴m+n+1=0，
解得，m+n=﹣1；
故选A．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入关于x的一元二次方程x2+nx+m=0，通过解该方程即可求得m+n的值．
12．（2015八下·嵊州期中）已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，则代数式 的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，
∴a+b+c=0，∴b+c=﹣a，将b+c=﹣a代入代数式 = =﹣1，故选B．
【分析】将这个根代入方程，得出a、b、c之间的关系，以b+c为整体代入求值即可．
13．（2015八下·嵊州期中）已知m是方程x2﹣2016x+1=0的一个根，则m+ ﹣2015+ 的值为（ ）
A．2016 B．2015 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2﹣2016x+1=0的一个不为0的根，
∴m2﹣2016m+1=0，
∴m2+1=2016m，
∴m+ =2016
∴原式=2016+ = ，
故选C．
【分析】把x=m代入方程x2﹣2016x+1=0有m2﹣2016m+1=0，变形得m2+1=2016m，再将所求代数式计算即可求出结果．
14．（2015八下·绍兴期中）关于x的方程（m﹣2）x2+（m﹣1）x+m=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．m≠l B．m≠﹣1且m≠2
C．m≠2 D．m≠1且m≠2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：要使方程是一元二次方程，则：
m﹣2≠0，
∴m≠2．
故本题选C．
【分析】题目已经按一元二次方程的一般形式给出，要使方程是一元二次方程，只有二次项系数不为0，可以得到m≠2．
15．（2015八下·新昌期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣5
C．1或﹣5 D．m≠1的任意实数
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0中，得
m2+4m﹣5=0，
解得m=﹣5或1，
当m=1时，原方程二次项系数m﹣1=0，舍去，
故选B．
【分析】把x=0代入方程（m2﹣1）x2+（m+1）x﹣2=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
二、填空题
16．（2016八下·西城期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，则m的值为 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，
∴22﹣6×2+m=0，
解得，m=8，
故答案为：8．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有一个根为2，可以求得m的值．
17．（2015八下·江东期中）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2= .
【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设t=x2+y2（t≥0），则原方程可化为：t（t﹣1）﹣12=0，
即t2﹣t﹣12=0，
∴（t﹣4）（t+3）=0，
∴t=4，或t=﹣3（不合题意，舍去），
∴x2+y2=4．
故答案是：4．
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2﹣t﹣12=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
18．（2015八下·青田期中）n是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2n﹣n2的值是
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=n代入方程得：n2﹣2n﹣1=0，
则n2﹣2n=1，
所以2n﹣n2=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】将x=n代入方程即可求出所求式子的值．
19．（2015八下·杭州期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
20．（2015八下·绍兴期中）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
【答案】k＜2且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
21．（2015八下·洞头期中）已知一个一元二次方程的一个根为2，且常数项为0，则这个一元二次方程可以是 ．（只需写出一个方程即可）
【答案】x（x﹣2）=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：一个根是2，常数项为0的一元二次方程可为x（x﹣2）=0．
故答案是：x（x﹣2）=0．
【分析】一个一元二次方程，使得它的一个根是2，则含x﹣2的因式，又常数项为0，则方程可为（x﹣2）x=0．
三、解答题
22．已知：关于x的方程x2﹣5x+3m+1=0的一根为﹣2，求方程的另一根和m的值．
【答案】解：设方程的另一根为t，则
﹣2+t=5，
解得t=7，
即方程的另一根为7；
把x=﹣2代入x2﹣5x+3m+1=0，得
（﹣2）2﹣5×（﹣2）+3m+1=0，期15+3m=0，
解得m=﹣5．
综上所述，方程的另一根为7，m的值是﹣5．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根；然后把x=﹣2代入已知方程求得m的值．
23．已知x=1是关于x的方程ax2+bx﹣3=0（a＞0）的一根．
（1）求a+b的值；
（2）若b=2a，x1和x2是方程的两根，求x1+x2的值．
【答案】解：（1）依题意得，a+b﹣3=0，∴a+b=3；（2）由（1）得a+b=3，∵b=2a，∴a+2a=3，∴a=1，b=2，∴原方程是x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴x1+x2=﹣2．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）把x=1代入已知方程，可得：a+b﹣3=0，然后适当整理变形即可；
（2）由（1）得a+b=3，又因为b=2a，得到a+2a=3，求得a=1，b=2，得到原方程是x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，得到x1+x2=﹣2．
24．阅读材料：
材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．
材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得
m+n=1，mn=﹣1
∴=
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= ．
（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p、q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
【答案】解：（1）x1+x2=﹣，x1x2=﹣；
故答案为﹣，﹣；
（2）∵m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=﹣，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；
（3）设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=﹣2，
∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p 2q=32﹣2×（﹣2）=13．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣，接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；
（3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p 2q=﹣2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=（p+2q）2﹣2p 2q，然后利用整体代入的方法计算．
四、综合题
25．（2016八下·安庆期中）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）解：由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4
（2）解：由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得
x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，
当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得m=﹣ ，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；（2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
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