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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第5章一元一次方程（含解析）
5.2 一元一次方程的解法（2）
【知识重点】
1.一般地，解一元一次方程的基本程序是：
去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 两边同除以未知数的系数(去分母和移项的依据是等式的性质，去括号和合并同类项的依据是代数式的运算法则)， 最后得出的形式.在有些特殊题目中解法也可灵活运用.
2.当分子、分母中含有小数，一般是先根据分数的基本性质，将分数的分子、分母同乘以一个适当的整数，将其中的小数化为整数再解方程，需要注意的是这一步变形根据的是分数的基本性质，而不是等式的基本性质；变形时分数的分子、分母同乘以同一个适当的整数，而不是在方程的两边同乘以同一个整数．
3. 通过合并同类项可以把一元一次方程化为最简形式，最简形式的一般式为ax=b；称ax+b=0一元一次标准标准形式.
方程ax=b的解的情况．
(1)当a≠0时，方程有唯一解x=.
(2)当a=b=0时，方程有无数个解．
(3)当a=0，b≠0时，方程无解．
【经典例题】
【例1】方程去分母后，正确的是（ ） ．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方程两边同时乘以6得：，
故答案为：D．
【例2】把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
【答案】B
【解析】方程整理得：．
故答案为：B．
【例3】解方程 ，有下列步骤：①3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），②9x+3＝12﹣2x+1，③9x﹣2x＝12+1+3，④7x＝16，⑤x＝ ，其中首先发生错误的一步是 ．
【答案】③
【解析】去分母得：3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），
去括号得：9x+3＝12﹣2x+1，
移项得：9x+2x＝12+1﹣3，
合并得：11x＝10，
解得：x＝ ，
∴首先发生错误的一步是③．
故答案为：③．
【例4】解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ；
（2）解：方程整理得： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
【例5】解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
【例6】以下是圆圆解方程的解答过程.
解：去分母，得……①
去括号，得……②
移项，合并同类项，得……③
系数化为1，得……④
圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：圆圆的解答过程中有错误，正确的解答过程为：
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得.
【例7】下面是解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写对应步骤的变形依据.
解：原方程可变形为 ( 分数的基本性质 )
去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1) （ ）
去括号，得 9x＋15＝4x－2 （ ）
（ ），得 9x－4x＝－15－2 （ ）
（ ），得5x＝－17
系数化为1，得 x＝－ （ ）
【答案】解：原方程可变形为 =（分数的基本性质），
去分母，得：3（3x+5）＝2（2x-1）（等式性质2），
去括号，得：9x+15＝4x-2（乘法分配律），
（移项），得：9x-4x＝-15-2（等式基本性质1），
（合并同类项），得：5x＝-17，
系数化为1，得：x＝（等式基本性质2）.
【例8】依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为 （ ）
去分母，得 （ ）
去括号，得 （ ）
（ ），得 （ ）
合并同类项，得
系数化为1，得 （ ）
【答案】解：原方程可变形为 （分数的基本性质）
去分母，得 （等式的基本性质 ）
去括号，得 （去括号法则）
（移项），得 （等式的基本性质1）
合并同类项，得
系数化为1，得 （等式的基本性质2）
【基础训练】
1．把方程去分母后，正确的结果是（ ）
A．2x－1＝1－（3－x） B．2（2x－1）＝1－（3－x）
C．2（2x－1）＝8－3－x D．2（2x－1）＝8－（3－x）
【答案】D
【解析】方程两边同时乘以8得2（2x-1）=8-（3-x）.
故答案为：D.
2．若关于x的一元一次方程的解是x＝－1，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】将x=-1代入方程，得，
去分母得2（-2-k）-3（-1-3k）=6
去括号得-4-2k+3+9k=6
移项、合并同类项得7k=7
系数化为1得k=1.
故答案为：C.
3．将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
【答案】C
【解析】
去分母，得3（y+2）+2（2y-1）=12
去括号，得3y+6+4y-2=12
∴选项A，B，D符合题意．
故答案为：C．
4．下列变形中正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去括号，得
C．方程，未知数系数化为1，得
D．方程化为
【答案】D
【解析】方程，移项，得，A变形不符合题意；
方程，去括号，得，B变形不符合题意；
方程，未知数系数化为1，得，C变形不符合题意；
方程化为，利用了分数的基本性质，D符合题意．
故答案为：D．
5．若与互为相反数，则a的值为 ．
【答案】
【解析】∵与互为相反数，
∴，
∴.
故答案为：.
6．已知关于x的方程与的解相同，则 .
【答案】
【解析】∵
∴
∴
∴，
把代入，得
，
去分母，得
，
解得.
故答案为：.
7．若代数式 的值等于12，则 等于 .
【答案】8
【解析】由题意可得：
故答案为：8.
8．要使式子 和 的值不相等，则 不能取得值是 。
【答案】2
【解析】当 = 时，
，
，
，
x=2，
∴当 和 的值不相等，则 不能取的是2，
故填：2.
9．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
10．解方程：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）解：，
方程整理得：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
11．已知关于的方程与的解互为倒数，求的值.
【答案】解：解方程得，，
解方程得，，
关于的方程与的解互为倒数，
，
解得.
12．（1）小玉在解方程 去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=5m的解大2？
【答案】（1）解：不符合题意去分母得：4x﹣2=3x+3a﹣1，
把x=10代入得：a=3；
（2）解：方程5m+3x=1+x，解得：x= ，
方程2x+m=5m，解得：x=2m，
根据题意得： ﹣2m=2，
去分母得：1﹣5m﹣4m=4，
解得：m=﹣ ．
【培优训练】
13．小华在解关于x的方程“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘以12，他求得的解为，则k的值为（ ）
A．5 B．-5 C．2 D．-15
【答案】A
【解析】由题可知，是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：A．
14．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】给方程两边同时乘以6，得6x-(2-ax)=2x-6，
∴6x-2+ax=2x-6，
∴(4+a)x=-4，
∴x=.
∵方程有非负整数解，
∴4+a=-1或-4或-2，
解得a=-5或-8或-6，
∴和为-5-8-6=-19.
故答案为：D.
15．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解关于x的方程
得x（a），
∵关于x的方程的解是负整数，
∴是负整数，
又A是整数，
∴ 或或或
即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，
∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，
故答案为：D.
16．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
解得：
∵方程的解是整数，k也是整数
∴k可以为-5或-1或1或5
故答案为：C.
17．已知关于的方程：有非负整数解，则整数的所有可能的值之和为 ．
【答案】
【解析】解方程，得，因为关于的方程：有非负整数解， 又 为整数，所以-a-4可以取1，2，4，所以a的值为-5，-6，-8，所以 整数的所有可能的值之和为 -5-6-8=-19.
故答案为：-19.
18．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = .
【答案】
【解析】方程两边都乘14，去分母得
，
整理得 ，
∵无论k为何值，方程的解总是 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： .
19．小明在做解方程 的过程中，去分母时，方程的右边忘记乘以2，结果他得到的解为 ，那么n的值为 ．
【答案】1
【解析】由题意可得小明去分母之后的方程为：
把 代入方程 得： ，
解得： ，
故答案为1．
20．小强在解方程 时，不小心把其中一个数字用墨水污染成了△，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=5，于是他判断污染了的数字△应该是 .
【答案】5
【解析】△用a表示，把x=5代入方程得
，解得：a=5.
故答案为：5.
21．解方程：．
【答案】解：去分母得，
整理得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
所以原方程的解为．
22．解方程，
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程 变形为 ，
去分母得 ，
去括号合并同类项得-10x+60=0,
移项得-10x=-60,
系数化为1得x=6.
（2）解：方程 变形为 ，
∴
∴
∴ ，
∴ .
23．解下列方程：
（1）
（2）
（3）278（x﹣3）﹣463（6﹣2x）﹣888（7﹣21x）＝0
（4）
【答案】（1）解：去分母得，2（x﹣1）﹣（x+2）＝3（4﹣x），
去括号，可得：2x﹣2﹣x﹣2＝12﹣3x，
移项合并同类项得，4x＝16，
系数化为1得，x＝4．
（2）解：原方程可变形为：0.8+1.8﹣
去分母，得15.6﹣6﹣4x＝3x﹣15，
移项合并同类项，得7x＝24.6，
系数化为1得，x＝3 ．
（3）解：去括号得，278x﹣834﹣2778+926x﹣6216+18648x＝0，
移项合并同类项得，19852x＝9828，
系数化为1得，x＝ ．
（4）解：
移项，得 { [ （ ）﹣3]﹣3}＝3，
方程的两边都乘以2，得 [ （ ）﹣3]＝9，
方程的两边都乘以2，得 （ ）＝21
方程的两边都乘以2，得 x＝45
方程的两边都乘以2，得x＝90
24．设表示不小于a的最小整数，例如：，，．
（1）求的值；
（2）设，，，解方程．
【答案】（1）解：原式=
=．
（2）解：由题知：，，，
∴．
∵，
∴原方程化为：，
解得：．
25．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
（1）求方程②的解；
（2）求m的值．
【答案】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为，
把代入方程①得，，
解得．
26．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
【答案】（1）解：当时，原方程化为：，
整理得：，
解得：，
即当时，方程的解为整数.
根据新定义可得：是方程的“友好系数”；
（2）解：方程“友好系数”个数是有限的，理由如下，
，
去分母得：，
整理得：，
方程的解为：，
当，，，时，满足方程的解x为整数，
此时k的值为：1，0，，，2，-1，，，
经检验，取上述k的值，均不为0，
其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1.
所以方程“友好系数”的个数是有限个，
分别为1，0，2，-1.
【直击中考】
27．解一元一次方程 （x+1）＝1﹣ x时，去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
【答案】D
【解析】方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，
故答案为：D.
28．小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】 方程两边同乘6，得3（x+1）-6=2(x-2)①
∴开始出错的一步是①.
故答案为：A.
29．解方程：
【答案】解：
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
30．小红在解方程时，第一步出现了错误：
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.
（2）写出你的解答过程.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：，
去分母，得，，
移项，得：，
合并同类 ，得：，
解得：.
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第5章一元一次方程
5.2 一元一次方程的解法（2）
【知识重点】
1.一般地，解一元一次方程的基本程序是：
去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 两边同除以未知数的系数(去分母和移项的依据是等式的性质，去括号和合并同类项的依据是代数式的运算法则)， 最后得出的形式.在有些特殊题目中解法也可灵活运用.
2.当分子、分母中含有小数，一般是先根据分数的基本性质，将分数的分子、分母同乘以一个适当的整数，将其中的小数化为整数再解方程，需要注意的是这一步变形根据的是分数的基本性质，而不是等式的基本性质；变形时分数的分子、分母同乘以同一个适当的整数，而不是在方程的两边同乘以同一个整数．
3. 通过合并同类项可以把一元一次方程化为最简形式，最简形式的一般式为ax=b；称ax+b=0一元一次标准标准形式.
方程ax=b的解的情况．
(1)当a≠0时，方程有唯一解x=.
(2)当a=b=0时，方程有无数个解．
(3)当a=0，b≠0时，方程无解．
【经典例题】
【例1】方程去分母后，正确的是（ ） ．
A． B．
C． D．
【例2】把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
【例3】解方程 ，有下列步骤：①3（3x+1）＝12﹣（2x﹣1），②9x+3＝12﹣2x+1，③9x﹣2x＝12+1+3，④7x＝16，⑤x＝ ，其中首先发生错误的一步是 ．
【例4】解下列方程
（1）
（2）
【例5】解方程：
（1）
（2）
【例6】以下是圆圆解方程的解答过程.
解：去分母，得……①
去括号，得……②
移项，合并同类项，得……③
系数化为1，得……④
圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【例7】下面是解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写对应步骤的变形依据.
解：原方程可变形为 ( 分数的基本性质 )
去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1) （ ）
去括号，得 9x＋15＝4x－2 （ ）
（ ），得 9x－4x＝－15－2 （ ）
（ ），得5x＝－17
系数化为1，得 x＝－ （ ）
【例8】依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为 （ ）
去分母，得 （ ）
去括号，得 （ ）
（ ），得 （ ）
合并同类项，得
系数化为1，得 （ ）
【基础训练】
1．把方程去分母后，正确的结果是（ ）
A．2x－1＝1－（3－x） B．2（2x－1）＝1－（3－x）
C．2（2x－1）＝8－3－x D．2（2x－1）＝8－（3－x）
2．若关于x的一元一次方程的解是x＝－1，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
3．将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
4．下列变形中正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去括号，得
C．方程，未知数系数化为1，得
D．方程化为
5．若与互为相反数，则a的值为 ．
6．已知关于x的方程与的解相同，则 .
7．若代数式 的值等于12，则 等于 .
8．要使式子 和 的值不相等，则 不能取得值是 。
9．解方程：（1） （2）
10．解方程：
（1）. （2）.
11．已知关于的方程与的解互为倒数，求的值.
12．
（1）小玉在解方程 去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，试求a的值．
（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=5m的解大2？
【培优训练】
13．小华在解关于x的方程“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘以12，他求得的解为，则k的值为（ ）
A．5 B．-5 C．2 D．-15
14．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
15．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B． C． D．
16．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
17．已知关于的方程：有非负整数解，则整数的所有可能的值之和为 ．
18．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = .
19．小明在做解方程 的过程中，去分母时，方程的右边忘记乘以2，结果他得到的解为 ，那么n的值为 ．
20．小强在解方程 时，不小心把其中一个数字用墨水污染成了△，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=5，于是他判断污染了的数字△应该是 .
21．解方程：．
22．解方程，
（1） （2）
23．解下列方程：
（1） （2）
（3）278（x﹣3）﹣463（6﹣2x）﹣888（7﹣21x）＝0
（4）
24．设表示不小于a的最小整数，例如：，，．
（1）求的值；
（2）设，，，解方程．
25．已知关于x的方程①的解比方程②的解大1．
（1）求方程②的解；
（2）求m的值．
26．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
【直击中考】
27．解一元一次方程 （x+1）＝1﹣ x时，去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
28．小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
29．解方程：
30．小红在解方程时，第一步出现了错误：
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.
（2）写出你的解答过程.
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