2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2017·普陀模拟）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2．（2018·重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．若两个相似矩形的相似比为 ，较小矩形面积为 ，较大矩形一边为 ，则其相邻的一边是（ ）
A． B． C． D．
4．下列结论中正确的是（ ）
A．有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
B．一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
5．下列各组图形不一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个矩形
D．各有一个角是50°的两个直角三角形
6．如果整张纸与半张纸相似，则整张纸的长和宽的比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
8．如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为 ．
9．有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是 .
10．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸（如图 ），按下图方式对折一分为二裁开成为 纸（如图 ），再一分为二成为 纸（如图 ）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一定值，这个定值是 ．
11．如图，正方形 的边长是 ，除 和 四点外，图形的其他顶点均为所在的一条线段的中点，则从正方形 中挖掉阴影部分后，所剩下部分面积等于 ．
三、解答题
12．在如图所示的两个相似的四边形中，求x，y，∠α的值．
13．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；
与图形（3）相似的有 ．
14．在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
15．如图，矩形 中， ， ，点 分别在 ， 边上， ，求证：矩形 矩形 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故答案为：C．
【分析】首先算出长方形广告牌的成本单价，由于将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，故可得扩大后长方形广告牌的面积，根据单价乘以数量即可算出扩大后长方形广告牌的成本。
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵两个相似矩形的相似比为2：1，
∴两个相似矩形的面积比为4：1，
而较小矩形面积为3cm2，
∴较大矩形的面积=4×3=12cm2，
又∵较大矩形一边为2，
∴较大矩形另一边=12÷2=6(cm).
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比即可求出大矩形的面积，再根据矩形的面积计算方法即可算出矩形的另一边的宽。
4．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、选项不符合题意．比如，一个直角三角形的直角边为3，4，另一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为4，这两个直角三角形不相似；
B、选项不符合题意．当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角，两个等腰三角形不相似；
C、选项不符合题意；边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似；
D、选项符合题意．两个等边三角形相似；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的性质判断正误。
5．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确；
C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故错误；
D、各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确。
故答案为：C
【分析】A，B，D三个答案都能找出两个三角形的三个角对应相等，根据相似三角形的判定方法，三个角对应相等的两个三角形相似即可判断A，B，D三个答案中的三角形一定相似；两个矩形虽然四个角对应相等，根据相似多边形的判定方法，矩形的长和宽必须还要成比例，故C给的条件不能判定。
6．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 设报纸的长为2x，报纸的宽为y，
∵整张报纸与半张报纸相似，
则 ；即 ；
2x：y＝ ．
故答案为：B．
【分析】设报纸的长为2x，报纸的宽为y，则半张纸的长为y，宽为x，根据相似多边形对应边成比例即可列出方程求解即可。
7．【答案】②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③
【分析】根据相似图形的判定定理，求解。
8．【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 由题意得，
15：20=6：x，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】根据题意两个星星图案是相似的，根据相似多边形的对应高的比等于对应宽的比，即可列出方程，求解即可。
9．【答案】32cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的相似比=
∴
解得C=32cm.
故答案为：32cm
【分析】抓住已知条件和它相似的一个多边形最长边为8cm，因此两个多边形的最长边的比就是相似比，利用相似多边形的周长比等于相似比，就可求出结果。
10．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为 ，由A1、A2纸的长与宽对应比成比例得 ，
故 ．
故答案为： ．
【分析】设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，由A1、A2纸的长与宽对应比成比例即可列出方程，求解定值。
11．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，且相似比为4：1，则面积比为16：1，
∵SABCD=a2，
∴S阴影=
∴所求的剩下的部分的面积是
故答案为：
【分析】根据所有的正方形都是相似的得出正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，又根据中位线定义得出其相似比为4：1，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出阴影部分的面积，从而算出答案。
12．【答案】解： ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ，∠C′=∠C=125°，
即 ，
∴x=20，y=12，
在四边形A′B′C′D′，α=360°-∠A′-∠B′-∠C′=360°-80°-75°-125°=80°.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形对应边成比例，列出方程求解即可得出x，y的值，根据相似多边形对应角相等及四边形的内角和即可得出答案。
13．【答案】a；d；g
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
【分析】根据相似图形的概念，两个图形要相似，形状必须要一样，与放置的位置没有关系，与图形的大小也没有关系，根据定义即可一一判断。
14．【答案】解： 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
15．【答案】证明：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ， ，即 ，∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ， ， ， ， ，∴矩形 矩形 ．
【知识点】矩形的判定与性质；相似图形
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=CD=2cm ， AD=BC=4cm ， AD∥BC ，进而判断出四边形 AEFB 是矩形，根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=EF=2cm ，于是得到，根据对应角相等，对应边成比例的两个图形相似得出矩形 ABFE 矩形 ADCB ．
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2017·普陀模拟）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
2．（2018·重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故答案为：C．
【分析】首先算出长方形广告牌的成本单价，由于将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，故可得扩大后长方形广告牌的面积，根据单价乘以数量即可算出扩大后长方形广告牌的成本。
3．若两个相似矩形的相似比为 ，较小矩形面积为 ，较大矩形一边为 ，则其相邻的一边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵两个相似矩形的相似比为2：1，
∴两个相似矩形的面积比为4：1，
而较小矩形面积为3cm2，
∴较大矩形的面积=4×3=12cm2，
又∵较大矩形一边为2，
∴较大矩形另一边=12÷2=6(cm).
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比即可求出大矩形的面积，再根据矩形的面积计算方法即可算出矩形的另一边的宽。
4．下列结论中正确的是（ ）
A．有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
B．一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、选项不符合题意．比如，一个直角三角形的直角边为3，4，另一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为4，这两个直角三角形不相似；
B、选项不符合题意．当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角，两个等腰三角形不相似；
C、选项不符合题意；边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似；
D、选项符合题意．两个等边三角形相似；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的性质判断正误。
5．下列各组图形不一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个矩形
D．各有一个角是50°的两个直角三角形
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确；
C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故错误；
D、各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确。
故答案为：C
【分析】A，B，D三个答案都能找出两个三角形的三个角对应相等，根据相似三角形的判定方法，三个角对应相等的两个三角形相似即可判断A，B，D三个答案中的三角形一定相似；两个矩形虽然四个角对应相等，根据相似多边形的判定方法，矩形的长和宽必须还要成比例，故C给的条件不能判定。
6．如果整张纸与半张纸相似，则整张纸的长和宽的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 设报纸的长为2x，报纸的宽为y，
∵整张报纸与半张报纸相似，
则 ；即 ；
2x：y＝ ．
故答案为：B．
【分析】设报纸的长为2x，报纸的宽为y，则半张纸的长为y，宽为x，根据相似多边形对应边成比例即可列出方程求解即可。
二、填空题
7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③
【分析】根据相似图形的判定定理，求解。
8．如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为 ．
【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 由题意得，
15：20=6：x，
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】根据题意两个星星图案是相似的，根据相似多边形的对应高的比等于对应宽的比，即可列出方程，求解即可。
9．有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是 .
【答案】32cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的相似比=
∴
解得C=32cm.
故答案为：32cm
【分析】抓住已知条件和它相似的一个多边形最长边为8cm，因此两个多边形的最长边的比就是相似比，利用相似多边形的周长比等于相似比，就可求出结果。
10．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸（如图 ），按下图方式对折一分为二裁开成为 纸（如图 ），再一分为二成为 纸（如图 ）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一定值，这个定值是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为 ，由A1、A2纸的长与宽对应比成比例得 ，
故 ．
故答案为： ．
【分析】设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，由A1、A2纸的长与宽对应比成比例即可列出方程，求解定值。
11．如图，正方形 的边长是 ，除 和 四点外，图形的其他顶点均为所在的一条线段的中点，则从正方形 中挖掉阴影部分后，所剩下部分面积等于 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，且相似比为4：1，则面积比为16：1，
∵SABCD=a2，
∴S阴影=
∴所求的剩下的部分的面积是
故答案为：
【分析】根据所有的正方形都是相似的得出正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，又根据中位线定义得出其相似比为4：1，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出阴影部分的面积，从而算出答案。
三、解答题
12．在如图所示的两个相似的四边形中，求x，y，∠α的值．
【答案】解： ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ，∠C′=∠C=125°，
即 ，
∴x=20，y=12，
在四边形A′B′C′D′，α=360°-∠A′-∠B′-∠C′=360°-80°-75°-125°=80°.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形对应边成比例，列出方程求解即可得出x，y的值，根据相似多边形对应角相等及四边形的内角和即可得出答案。
13．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．
与图形（1）相似的有 ；（填序号）
与图形（2）相似的有 ；
与图形（3）相似的有 ．
【答案】a；d；g
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：
与图形（1）相似的有a；
与图形（2）相似的有d；
与图形（3）相似的有g．
【分析】根据相似图形的概念，两个图形要相似，形状必须要一样，与放置的位置没有关系，与图形的大小也没有关系，根据定义即可一一判断。
14．在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
【答案】解： 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
15．如图，矩形 中， ， ，点 分别在 ， 边上， ，求证：矩形 矩形 ．
【答案】证明：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ， ，即 ，∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ， ， ， ， ，∴矩形 矩形 ．
【知识点】矩形的判定与性质；相似图形
【解析】【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=CD=2cm ， AD=BC=4cm ， AD∥BC ，进而判断出四边形 AEFB 是矩形，根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90° ， AB=EF=2cm ，于是得到，根据对应角相等，对应边成比例的两个图形相似得出矩形 ABFE 矩形 ADCB ．
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