2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积（2） 同步练习
一、选择题
1．右图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD．若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
2．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为 的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A． B．4－π C．π D．
4．如图，线段 ，分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．(4－π)cm2 B．(8－π)cm2 C．(2π－4)cm2 D．(π－2)cm2
6．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=3，则弧AE 的弧长为（ ）
A． π B．π C． π D．3
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2 ，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1﹣ π B．1﹣ π C．2﹣ π D．2﹣ π
8．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转 后得到正方形 ，边 与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为 .
11．如图，在扇形AOB中， ， ，过点C作 于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若 ，则阴影部分的面积是
12．如图是圆心角为 30°，半径分别是 1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为 S1、S2、S3、…，则 S3= ，Sn= .结果保留 π）
13．如图，将半径为2，圆心角为 120° 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 60° ，点O，B的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，在 中， ， ，以AB中点D为圆心，作圆心角为 的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为 ．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）
16．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
三、解答题
17．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是 ．
18．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120o．求：
（1）△OAB的面积．
（2）阴影部分的面积．（精确到1cm2）
19．如图，AB为 的直径，AB=AC，BC交 于点D，AC交 于点E．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积．
20．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E， 弧 .
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
21．如图，一个横截面为Rt△ABC的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m，工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1的位置（BC1在l上），最后沿射线BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB= ，AC= ；
（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度．
（3）设O、H分别为边AB、AC的中点，在将△ABC绕点B顺时针方向翻转到△A1BC1的位置这一过程中，求线段OH所扫过部分的面积．
22．如图，O是 的内心，BO的延长线和 的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证： ≌ ．
（2）若 ，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2× ＝10π.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，根据四个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，AO=OC=5，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=72°，根据圆的对称性得出图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，再根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，AB= = ，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD= ，∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC= = ．故答案为：D．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据直径所对的圆周角是直角得出∠CDB=90°，根据等腰直角三角形的性质得出CD垂直平分AB，CD=BD=，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出D为半圆的中点，利用割补法得出图中阴影部分的面积=S扇形ACB﹣S△ADC，然后根据三角形的面积计算公式就扇形的面积计算方法即可算出答案。
3．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
这张圆形纸片不能接触到的部分是正方形的四个角(如图涂色部分为一个角)，
一个角的面积是边长为1的正方形面积减去四分之一圆形纸片的面积，(1×1 π×12)，
四个角是(1×1 π×12)×4=(1 π)×4=4 π.
答：这张圆形纸片不能接触到的部分的面积是4 π.
故答案为：4 π.
【分析】半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，不能接触到的部分是正方形的四个角，计算出一个角的面积再乘以4即可．
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴ 和 都是等边三角形，
∴弓形①的面积=S扇形ABD-S△ABD= - ×22= ，
∴阴影部分的面积为： ，
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可知：AD=BD=AB=AC=BC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABD和△ABC 都是等边三角形，其中一个弓形的面积=一个半径是2圆心角是60度的扇形的面积减去一个边长为2的等边三角形的面积，根据图形的对称性，图中阴影部分的面积应该是一个小弓形的面积的四倍，从而算出答案。
5．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S正方形-S扇形=22- （cm2）
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90 ，然后根据扇形面积计算公式算出扇形ABC的面积，根据正方形的面积急死俺方法算出正方形ABCD的面积，根据S阴影=S正方形-S扇形即可算出答案。
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=3，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴弧AE 的弧长= ，
故答案为：B．
【分析】连接AE，根据平行四边形的性质得出AE=CD，又AB=BE=CD=3，故AB=BE=AE，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠B=60°，然后利用弧长计算公式；l=即可算出答案。
7．【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OD，则OD⊥AC，△AOD为等腰直角三角形，
∵AB=4，O是AB的中点，
∴OA= ；OD=1，
∴△AOD中的阴影面积= ×1×1- = - ；
则图中阴影部分的面积是1- ．
故答案为：A
【分析】连接OD，根据切线的性质得出OD⊥AC，进而判断出△AOD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出OD的长，根据等腰三角形与圆的对称性，则阴影部分的面积=三角形ADO的面积-半径为1圆心角是45 的扇形的面积差的2倍，然后利用三角形的面积计算公式及扇形的面积计算公式即可算出答案。
8．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，
∴S△ABD= ×4 ×12=24 ，S扇形=
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积= .
故答案为：C
【分析】连接OE，OF．根据勾股定理算出AB的长，根据含30度的直角三角形的边之间的关系得出∠ABD=30°，然后等腰三角形的性质及三角形外角定理算出∠DOE的度数，再分别算出S△ABD，，S扇形，S△OEB，根据平行四边形的对称性即可得出阴影部分的面积=三角形ABD的面积-三角形OBE的面积-扇形ODE的面积差的2倍即可算出答案。
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连结 ，
，
，
，
，D， 在一条直线上，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积= ．
故答案为：B
【分析】如图，连结 DC1，根据正方形的性质及旋转的性质得出∠CAC1=∠DCA=∠COB1=∠DOC1=45°，然后证出A ，D， C1 在一条直线上，根据正方形的性质算出AC的长，得出∠OCB1=45° ，根据等腰直角三角形的性质得出 CB1=OB1，从而表示出CB1，根据三角形的面积计算公式分别计算出S△OB1 C，S△AB1C1，根据扇形的面积计算公式算出扇形C1AC的面积，然后根据阴影部分的面积=扇形C1AC的面积-S△OB1-S△AB1C1，即可算出答案。
10．【答案】8﹣2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵半圆的直径AD=4，且与BC相切，
∴半径为2，AB=2，
∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣ π 22=8﹣2π，
故答案为：8﹣2π
【分析】根据题意该圆的半径是2，矩形的长为4，宽为2，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去半径是2圆心角是180度的扇形的面积，利用扇形面积计算公式即可算出答案。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
∵在扇形AOB中，∠AOB=90°， ，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∵四边形CDEF是正方形，OA= ，
∴OC= ，∠CDO=90°，
∴OD=CD=1，
∴阴影部分的面积是： ，
故答案为：
【分析】连接OC，如图所示，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠COB=45°，进而得出△ODC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出OD=CD=1，然后根据阴影部分的面积=扇形OBC的面积-△OCD的面积，即可算出答案。
12．【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可知S1= ，S2= ×3，S3= ×5= ，由题意可得出通项公式：Sn= ×（2n-1），即Sn= ×（2n-1）.
【分析】探寻图形规律的题，根据扇形的面积公式S=，S1=圆心角为30度半径为3的扇形的面积减去圆心角为30度半径为1的扇形的面积，表示出S1，同法表示出S2，S3，根据前面几个图形的面积观察归纳即可得出通项公式，即表示出Sn的面积。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接 ， ，
将半径为2，圆心角为 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 ，
，
是等边三角形，
， ，
点 中在 上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积 ，
【分析】连接 OO ′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，OA=O'A，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ AOO′=60° ， OO′=OA，从而得出点O′ 在 ⊙O上，根据角的和差得出∠OO′B=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及平角的定义得出∠B′O′B=120°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠O′B′B =∠O′BB′=30°，然后由图中阴影部分的面积 = S△B′O′B (S扇形O′OB S△O′OB )，根据扇形的面积计算公式及三角形的面积计算公式即可算出答案。
14．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在 中， ， ，
，
以AB中点D为圆心，作圆心角为 的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，
， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
与 的面积之和等于 与 的面积之和，
四边形DNCM的面积等于 的面积，
阴影部分的面积是： ，
故答案为：
【分析】连接CD，如图所示，首先根据勾股定理算出AB的长，根据等腰直角三角形的性质得出 ∠ B= ∠ DCE=45 ° ， CD= BD=2，根据同角的余角相等得出 ∠ BDM= ∠ CDN ，然后利用ASA判断出△BDM ≌ △CDN，根据全等三角形的面积相等得出S△BDM =S△CDN，从而得出四边形DNCM的面积等于 △ CDB的面积，最后根据阴影部分的面积=扇形EDF的面积-四边形DNCM的面积=扇形EDF的面积- △ CDB的面积，即可算出答案。
15．【答案】8﹣2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴=S△ABD-S扇形BAE= ×4×4- =8-2π，
故答案为：8-2π
【分析】根据正方形的性质得出∠ABD=45 ，∠BAD=90 ，AB=AD=4，根据三角形的面积计算方法，扇形的面积计算方法，算出S△ABD与S扇形BAE，然后根据S阴=S△ABD-S扇形BAE即可算出答案。
16．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1， ），
∴O′M= ，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2-1=1，
∴tan∠O′AM= ，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′
=
= ，
故答案为：
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，根据O'点的坐标得出O'M的长，OM的长，进而根据线段的和差得出AM的长，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，得出∠O′AM=60°，即旋转角为60°，根据旋转的性质得出∠CAC′=∠OAO′=60°，△OAC≌△O′AC′，根据全等三角形的面积相等得出S△OAC=S△O′AC′，根据几何图形的面积计算方法割补法，由阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′，根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
17．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AE=BE，∠A=∠B，EM=EN，
∴Rt△MAE≌Rt△NBE，
∴AM=BN，∠AEM=∠BEN，
由勾股定理得，AM=BN= ，∵cos∠AEM=AE：ME=1：2，cos60°=1：2
∴∠AEM=∠BEN=60°，∴∠MEN=60°，
则阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN
=1﹣2× AM AE﹣
= ．
【分析】首先根据HL判断出Rt△MAE≌Rt△NBE，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出AM=BN，∠AEM=∠BEN，然后根据勾股定理算出AM=BN=，根据余弦函数的定义及特殊锐角数据函数值得出∠AEM=∠BEN=60°，根据平角的定义得出∠MEN=60°，然后根据阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN，从而即可算出答案。
18．【答案】（1）解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AB=2AC，∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OA=2OC，
∴OC=10cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+102=202，AC=10 ，∴AB=2AC=20 ，∴S△AOB= ×AB×OC= ×20 ×10=100 cm2
（2）解：S阴影=S扇形AOB-S△AOB
= -100
= -100
≈ ×3-100×1.73
=400-173
=227cm2
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和得出∠A=∠B=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OC=10cm，然后根据勾股定理算出AC的长，再根据三角形的面积计算公式即可算出答案；
（2）由S阴影=S扇形AOB-S△AOB，根据扇形面积计算公式S=，即可算出答案。
19．【答案】（1）解：连结AD，∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，
∴BD=CD
（2）解：连结OE，∵AB=8，∠BAC=45°，∴∠BOE=90°，BO=EO=4，∠AOE=90°，
∴S阴=S△BOE+S扇形OAE=8+4π
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的扇形合一得出BD=CD；
（2）连结OE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOE=90°，根据同圆的半径相等得出BO=EO=4，根据平角的定义得出∠AOE=90°，再根据三角形的面积计算公式及扇形的面积计算公式，由S阴=S△BOE+S扇形OAE即可算出答案。
20．【答案】（1）证明：连接OC，则OC⊥AB.∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC(ASA)．
∴AO＝BO.
（2）解：由(1)可得AC＝BC＝ AB＝2 ，在Rt△AOC中，OC＝2，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
∴S△BOC＝ BC·OC＝ ×2 ×2＝2 ，S扇COE＝ ＝ π.
∴S阴＝2 － π
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB.根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC＝∠BOC.然后利用ASA判断出△AOC≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出AO＝BO；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出AC＝BC＝ AB＝2 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出∠AOC＝∠BOC＝60°；根据扇形的面积计算公式，由S=算出扇形COE的面积，根据阴影部分的面积等于S△BOC-S扇COE即可算出答案。
21．【答案】（1）2米； 米
（2）解：A点经过的路径如图1中所示，
∵∠ABA1=180°﹣60°=120°，A1A2=AC= 米
∴A点所经过的路径长= π 2+ = π+ ≈5.9（米）
（3）解：如图2中，由题意△BOH≌△BO′H′，
∴OH扫过的面积=扇形BHH′的面积﹣扇形BOO′的面积= ﹣ = π
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：(1)∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC= 米．
故答案为2米， 米
【分析】（1）根据含30°直角三角形的边之间的关系即可直接得出AB，AC的长；
（2）A点经过的路径其实质就是以点B为圆心AB为半径，旋转角是120°的一段弧长再加上线段A1A2的长，根据弧长公式l=算出弧AA1的长，即可算出答案；
（3）如图所示，根据旋转的性质得出△BOH≌△BO′H′，根据全等三角形的面积相等，由几何图形的面积计算方法割补法可知：OH扫过的面积=扇形BHH′的面积﹣扇形BOO′的面积，根据扇形面积计算公式S=，即可算出答案。
22．【答案】（1）解：如图，
是 的内心，
， ，
，
，
由 ， ，
，
∴∠4=∠6，
在 和 中，
，
≌ ；
（2）解：由（1）得， ， ，
，
，
是等边三角形，
是 的内心也是外心，
，
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，
在 中， ， ，
，
，
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠2=∠3 ， ∠5=∠6 ，根据同弧所对的圆周角相等得出∠1=∠2 ，故∠1=∠3，根据平行四边形的对边平行且相等得出 AD∥CO ， AD=CO，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠4=∠5，故 ∠4=∠6，然后利用AAS判断出△BOC≌△CDA；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BC=AC，根据同弧所对的圆周角相等及等量代换得出∠3=∠4=∠6 ，从而得出∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出 AB=AC，从而判断出△ABC是等边三角形，根据正三角形内心的定义得出OA=OB=OC，∠AOC=120°，设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，在 Rt△OCE中，利用含30 直角三角形的边之间的关系得出CE，OC的长，然后由S阴影=S扇形AOB S△AOB即可算出答案。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积（2） 同步练习
一、选择题
1．右图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD．若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2× ＝10π.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，根据四个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，AO=OC=5，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=72°，根据圆的对称性得出图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，再根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
2．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，AB= = ，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD= ，∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC= = ．故答案为：D．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据直径所对的圆周角是直角得出∠CDB=90°，根据等腰直角三角形的性质得出CD垂直平分AB，CD=BD=，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出D为半圆的中点，利用割补法得出图中阴影部分的面积=S扇形ACB﹣S△ADC，然后根据三角形的面积计算公式就扇形的面积计算方法即可算出答案。
3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为 的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A． B．4－π C．π D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
这张圆形纸片不能接触到的部分是正方形的四个角(如图涂色部分为一个角)，
一个角的面积是边长为1的正方形面积减去四分之一圆形纸片的面积，(1×1 π×12)，
四个角是(1×1 π×12)×4=(1 π)×4=4 π.
答：这张圆形纸片不能接触到的部分的面积是4 π.
故答案为：4 π.
【分析】半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，不能接触到的部分是正方形的四个角，计算出一个角的面积再乘以4即可．
4．如图，线段 ，分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴ 和 都是等边三角形，
∴弓形①的面积=S扇形ABD-S△ABD= - ×22= ，
∴阴影部分的面积为： ，
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可知：AD=BD=AB=AC=BC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABD和△ABC 都是等边三角形，其中一个弓形的面积=一个半径是2圆心角是60度的扇形的面积减去一个边长为2的等边三角形的面积，根据图形的对称性，图中阴影部分的面积应该是一个小弓形的面积的四倍，从而算出答案。
5．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．(4－π)cm2 B．(8－π)cm2 C．(2π－4)cm2 D．(π－2)cm2
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S正方形-S扇形=22- （cm2）
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质得出∠B=90 ，然后根据扇形面积计算公式算出扇形ABC的面积，根据正方形的面积急死俺方法算出正方形ABCD的面积，根据S阴影=S正方形-S扇形即可算出答案。
6．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=3，则弧AE 的弧长为（ ）
A． π B．π C． π D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=3，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴弧AE 的弧长= ，
故答案为：B．
【分析】连接AE，根据平行四边形的性质得出AE=CD，又AB=BE=CD=3，故AB=BE=AE，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠B=60°，然后利用弧长计算公式；l=即可算出答案。
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2 ，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1﹣ π B．1﹣ π C．2﹣ π D．2﹣ π
【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OD，则OD⊥AC，△AOD为等腰直角三角形，
∵AB=4，O是AB的中点，
∴OA= ；OD=1，
∴△AOD中的阴影面积= ×1×1- = - ；
则图中阴影部分的面积是1- ．
故答案为：A
【分析】连接OD，根据切线的性质得出OD⊥AC，进而判断出△AOD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出OD的长，根据等腰三角形与圆的对称性，则阴影部分的面积=三角形ADO的面积-半径为1圆心角是45 的扇形的面积差的2倍，然后利用三角形的面积计算公式及扇形的面积计算公式即可算出答案。
8．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，
∴S△ABD= ×4 ×12=24 ，S扇形=
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积= .
故答案为：C
【分析】连接OE，OF．根据勾股定理算出AB的长，根据含30度的直角三角形的边之间的关系得出∠ABD=30°，然后等腰三角形的性质及三角形外角定理算出∠DOE的度数，再分别算出S△ABD，，S扇形，S△OEB，根据平行四边形的对称性即可得出阴影部分的面积=三角形ABD的面积-三角形OBE的面积-扇形ODE的面积差的2倍即可算出答案。
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转 后得到正方形 ，边 与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连结 ，
，
，
，
，D， 在一条直线上，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积= ．
故答案为：B
【分析】如图，连结 DC1，根据正方形的性质及旋转的性质得出∠CAC1=∠DCA=∠COB1=∠DOC1=45°，然后证出A ，D， C1 在一条直线上，根据正方形的性质算出AC的长，得出∠OCB1=45° ，根据等腰直角三角形的性质得出 CB1=OB1，从而表示出CB1，根据三角形的面积计算公式分别计算出S△OB1 C，S△AB1C1，根据扇形的面积计算公式算出扇形C1AC的面积，然后根据阴影部分的面积=扇形C1AC的面积-S△OB1-S△AB1C1，即可算出答案。
二、填空题
10．如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为 .
【答案】8﹣2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵半圆的直径AD=4，且与BC相切，
∴半径为2，AB=2，
∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣ π 22=8﹣2π，
故答案为：8﹣2π
【分析】根据题意该圆的半径是2，矩形的长为4，宽为2，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去半径是2圆心角是180度的扇形的面积，利用扇形面积计算公式即可算出答案。
11．如图，在扇形AOB中， ， ，过点C作 于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若 ，则阴影部分的面积是
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
∵在扇形AOB中，∠AOB=90°， ，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∵四边形CDEF是正方形，OA= ，
∴OC= ，∠CDO=90°，
∴OD=CD=1，
∴阴影部分的面积是： ，
故答案为：
【分析】连接OC，如图所示，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠COB=45°，进而得出△ODC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出OD=CD=1，然后根据阴影部分的面积=扇形OBC的面积-△OCD的面积，即可算出答案。
12．如图是圆心角为 30°，半径分别是 1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为 S1、S2、S3、…，则 S3= ，Sn= .结果保留 π）
【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可知S1= ，S2= ×3，S3= ×5= ，由题意可得出通项公式：Sn= ×（2n-1），即Sn= ×（2n-1）.
【分析】探寻图形规律的题，根据扇形的面积公式S=，S1=圆心角为30度半径为3的扇形的面积减去圆心角为30度半径为1的扇形的面积，表示出S1，同法表示出S2，S3，根据前面几个图形的面积观察归纳即可得出通项公式，即表示出Sn的面积。
13．如图，将半径为2，圆心角为 120° 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 60° ，点O，B的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接 ， ，
将半径为2，圆心角为 的扇形OAB绕点A逆时针旋转 ，
，
是等边三角形，
， ，
点 中在 上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积 ，
【分析】连接 OO ′，BO′，根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，OA=O'A，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ AOO′=60° ， OO′=OA，从而得出点O′ 在 ⊙O上，根据角的和差得出∠OO′B=60°，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OO′B是等边三角形，根据等边三角形的性质及平角的定义得出∠B′O′B=120°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠O′B′B =∠O′BB′=30°，然后由图中阴影部分的面积 = S△B′O′B (S扇形O′OB S△O′OB )，根据扇形的面积计算公式及三角形的面积计算公式即可算出答案。
14．如图，在 中， ， ，以AB中点D为圆心，作圆心角为 的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在 中， ， ，
，
以AB中点D为圆心，作圆心角为 的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，
， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
与 的面积之和等于 与 的面积之和，
四边形DNCM的面积等于 的面积，
阴影部分的面积是： ，
故答案为：
【分析】连接CD，如图所示，首先根据勾股定理算出AB的长，根据等腰直角三角形的性质得出 ∠ B= ∠ DCE=45 ° ， CD= BD=2，根据同角的余角相等得出 ∠ BDM= ∠ CDN ，然后利用ASA判断出△BDM ≌ △CDN，根据全等三角形的面积相等得出S△BDM =S△CDN，从而得出四边形DNCM的面积等于 △ CDB的面积，最后根据阴影部分的面积=扇形EDF的面积-四边形DNCM的面积=扇形EDF的面积- △ CDB的面积，即可算出答案。
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）
【答案】8﹣2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴=S△ABD-S扇形BAE= ×4×4- =8-2π，
故答案为：8-2π
【分析】根据正方形的性质得出∠ABD=45 ，∠BAD=90 ，AB=AD=4，根据三角形的面积计算方法，扇形的面积计算方法，算出S△ABD与S扇形BAE，然后根据S阴=S△ABD-S扇形BAE即可算出答案。
16．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1， ），
∴O′M= ，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2-1=1，
∴tan∠O′AM= ，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′
=
= ，
故答案为：
【分析】过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，根据O'点的坐标得出O'M的长，OM的长，进而根据线段的和差得出AM的长，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，得出∠O′AM=60°，即旋转角为60°，根据旋转的性质得出∠CAC′=∠OAO′=60°，△OAC≌△O′AC′，根据全等三角形的面积相等得出S△OAC=S△O′AC′，根据几何图形的面积计算方法割补法，由阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′，根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
三、解答题
17．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AE=BE，∠A=∠B，EM=EN，
∴Rt△MAE≌Rt△NBE，
∴AM=BN，∠AEM=∠BEN，
由勾股定理得，AM=BN= ，∵cos∠AEM=AE：ME=1：2，cos60°=1：2
∴∠AEM=∠BEN=60°，∴∠MEN=60°，
则阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN
=1﹣2× AM AE﹣
= ．
【分析】首先根据HL判断出Rt△MAE≌Rt△NBE，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出AM=BN，∠AEM=∠BEN，然后根据勾股定理算出AM=BN=，根据余弦函数的定义及特殊锐角数据函数值得出∠AEM=∠BEN=60°，根据平角的定义得出∠MEN=60°，然后根据阴影部分的面积=S正方形﹣2S△AME﹣S扇形EMN，从而即可算出答案。
18．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120o．求：
（1）△OAB的面积．
（2）阴影部分的面积．（精确到1cm2）
【答案】（1）解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AB=2AC，∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OA=2OC，
∴OC=10cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+102=202，AC=10 ，∴AB=2AC=20 ，∴S△AOB= ×AB×OC= ×20 ×10=100 cm2
（2）解：S阴影=S扇形AOB-S△AOB
= -100
= -100
≈ ×3-100×1.73
=400-173
=227cm2
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和得出∠A=∠B=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OC=10cm，然后根据勾股定理算出AC的长，再根据三角形的面积计算公式即可算出答案；
（2）由S阴影=S扇形AOB-S△AOB，根据扇形面积计算公式S=，即可算出答案。
19．如图，AB为 的直径，AB=AC，BC交 于点D，AC交 于点E．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：连结AD，∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，
∴BD=CD
（2）解：连结OE，∵AB=8，∠BAC=45°，∴∠BOE=90°，BO=EO=4，∠AOE=90°，
∴S阴=S△BOE+S扇形OAE=8+4π
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC，根据等腰三角形的扇形合一得出BD=CD；
（2）连结OE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOE=90°，根据同圆的半径相等得出BO=EO=4，根据平角的定义得出∠AOE=90°，再根据三角形的面积计算公式及扇形的面积计算公式，由S阴=S△BOE+S扇形OAE即可算出答案。
20．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E， 弧 .
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，则OC⊥AB.∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC(ASA)．
∴AO＝BO.
（2）解：由(1)可得AC＝BC＝ AB＝2 ，在Rt△AOC中，OC＝2，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
∴S△BOC＝ BC·OC＝ ×2 ×2＝2 ，S扇COE＝ ＝ π.
∴S阴＝2 － π
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB.根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC＝∠BOC.然后利用ASA判断出△AOC≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出AO＝BO；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出AC＝BC＝ AB＝2 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出∠AOC＝∠BOC＝60°；根据扇形的面积计算公式，由S=算出扇形COE的面积，根据阴影部分的面积等于S△BOC-S扇COE即可算出答案。
21．如图，一个横截面为Rt△ABC的物体，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m，工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1的位置（BC1在l上），最后沿射线BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．
（1）请直接写出AB= ，AC= ；
（2）画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度．
（3）设O、H分别为边AB、AC的中点，在将△ABC绕点B顺时针方向翻转到△A1BC1的位置这一过程中，求线段OH所扫过部分的面积．
【答案】（1）2米； 米
（2）解：A点经过的路径如图1中所示，
∵∠ABA1=180°﹣60°=120°，A1A2=AC= 米
∴A点所经过的路径长= π 2+ = π+ ≈5.9（米）
（3）解：如图2中，由题意△BOH≌△BO′H′，
∴OH扫过的面积=扇形BHH′的面积﹣扇形BOO′的面积= ﹣ = π
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：(1)∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC= 米．
故答案为2米， 米
【分析】（1）根据含30°直角三角形的边之间的关系即可直接得出AB，AC的长；
（2）A点经过的路径其实质就是以点B为圆心AB为半径，旋转角是120°的一段弧长再加上线段A1A2的长，根据弧长公式l=算出弧AA1的长，即可算出答案；
（3）如图所示，根据旋转的性质得出△BOH≌△BO′H′，根据全等三角形的面积相等，由几何图形的面积计算方法割补法可知：OH扫过的面积=扇形BHH′的面积﹣扇形BOO′的面积，根据扇形面积计算公式S=，即可算出答案。
22．如图，O是 的内心，BO的延长线和 的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证： ≌ ．
（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，
是 的内心，
， ，
，
，
由 ， ，
，
∴∠4=∠6，
在 和 中，
，
≌ ；
（2）解：由（1）得， ， ，
，
，
是等边三角形，
是 的内心也是外心，
，
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，
在 中， ， ，
，
，
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠2=∠3 ， ∠5=∠6 ，根据同弧所对的圆周角相等得出∠1=∠2 ，故∠1=∠3，根据平行四边形的对边平行且相等得出 AD∥CO ， AD=CO，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠4=∠5，故 ∠4=∠6，然后利用AAS判断出△BOC≌△CDA；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BC=AC，根据同弧所对的圆周角相等及等量代换得出∠3=∠4=∠6 ，从而得出∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出 AB=AC，从而判断出△ABC是等边三角形，根据正三角形内心的定义得出OA=OB=OC，∠AOC=120°，设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC，在 Rt△OCE中，利用含30 直角三角形的边之间的关系得出CE，OC的长，然后由S阴影=S扇形AOB S△AOB即可算出答案。
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