2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质单元检测b卷
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC= ∠DAB= ×60°=30°.
故答案为：B
【分析】二直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠OCA，根据等边对等角得出∠OCA=∠OAC，从而得出∠OAC=∠DAC= ∠DAB=30°.
2．（2016九上·新泰期中）如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，
由垂径定理得：DM= DE，KQ= KH，FN= FG，
∵DE=FG=HK，
∴DM=KQ=FN，
∵OD=OK=OF，
∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
故选A．
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．
3．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理，得
BM= AB=4，DN= CD=4
勾股定理得：OM=ON= =3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP= =3 ，
故答案为：C.
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出MB，DN的长，根据勾股定理得出OM，ON的长，然后根据三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形MONP是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形MONP是正方形，根据正方形的性质及勾股定理即可算出OP的长。
4．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC
D．∠BAC＝30°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：在△QAB即，OA＝OB，OA＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故A不符合题意；
∵OC⊥AB，△OAB为等边三角形，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴AC的长为圆内接正十二边形的边长，故B不符合题意；
∵∠AOC=∠BOC，∴弧AC＝弧BC，故C不符合题意；
∵∠BAC＝ ∠BOC＝ ×30°＝15°，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同圆的半径相等得出OA＝OB，又OA＝AB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OAB为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠AOB＝60°，根据正六边形的性质得出弦AB的长等于圆内接正六方形的边长；根据等腰三角形的三线合一得出OC平分∠AOB，故∠AOC＝∠BOC＝30°，根据正十二边形的性质得出弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；根据同圆中相等的圆心角所对的先相等即可得出AC＝BC；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC＝15°，综上所述即可得出答案。
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以，∠BOD= ，
因为点D关于AB的对称点是点E，
所以，∠BOE＝60°；
因为∠CED和∠DOB是等弧所对的圆周角与圆心角，
所以，∠CED＝ ∠DOB；
当M与O重合时，CM＋DM=CE=AB=10，即最小值是10.
由已知可得CE位置不变，DM位置随M而边，所以DM不一定垂直于CE；
所以，结论①，②，④正确.
故答案为：C
【分析】根据同圆中等弦所对的圆心角相等及平角的定义得出∠BOD=60°，根据圆的轴对称性，由点D关于AB的对称点是点E，从而得出∠BOE＝60°；根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠CED= ∠DOB；根据利用轴对称求最短问题可知，当M与O重合时，CM＋DM=CE=AB=10，即最小值是10，由已知可得CE位置不变，DM位置随M而边，所以DM不一定垂直于CE，综上所述即可得出答案。
6．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴ ，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧BD，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AED=∠AOB；根据等边对等角得出∠D=∠BCD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°，根据平角的定义得出∠ECA+60°+∠BCD=180°，故∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形，然后利用AAS判断出△EAC≌△OAB，根据全等三角形的对应边相等得出AE=OA=1．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOD=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB= ∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BOD=60°，然后根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可得出∠DCB的度数。
8．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（ ）
A． m B． m C． m D． m
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AB=100m，
∴AO=50 m，
∴AD=2AO=100 m，
故答案为：B
【分析】连接OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=90°，然后根据勾股定理算出AO的长，从而得出答案。
9．（2016九上·新泰期中）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（ ）
A． B．7 C．4+3 D．3+4
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥DE于F．
在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=，
∴BD=8．
在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，
∴BE=5．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，
∴DF=BD cos30°=4．
在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5，
∴EF=BE cos∠BEF=3．
∴DE=DF+EF=3+4，
故选D．
【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长．过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD．根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长．
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S扇形DBE= ．
故答案为：C
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，根据同圆的半径相等及中点定义得出DE=DC，根据等边对等角得出∠C=∠DEC=20°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和得出∠BDE的度数，然后根据扇形的面积计算公式S=即可算出答案。
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC的度数是 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC=OA，
∴∠C=∠A，
∵∠C=20°，
∴∠A=∠C=20°，
∴∠BOC=2∠A=40°．
故答案为：40°
【分析】根据等边对等角得出∠C=∠A=20°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BOC的度数。
12．如图，点D是等腰 的底边AB上的点，若 且 ，将 绕点C逆时针旋转，使它与 重合，则 度
【答案】80
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，
∴∠A=∠CBD′，
∵AC=BC且∠ACB=100°，
∴∠A=∠ABC= =40°，
∴∠CBD′=∠A=40°，
∴∠D′BA=∠D′BC+∠ABC=80°．
故答案是：80
【分析】根据旋转的性质得出△ACD≌△BCD′，根据全等三角形对应角相等得出∠A=∠CBD′，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠A=∠ABC=40°，再根据角的和差即可算出答案。
13．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB= AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5
【分析】当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，当GH为直径时，E点与O点重合，根据过圆心的弦是圆的直径得出AC也是直径，AC=14，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB= AC=7，根据三角形的中位线定理得出EF= AB=3.5，从而算出答案。
14．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 个．
【答案】12
【知识点】坐标与图形性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得： =5，即x2+y2=25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；
x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；
x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；
x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
【分析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∵点B在圆上，
∴AC是⊙O的直径，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得出
AC=，∴OE=OF=2
∵△DEF是⊙O的内接正三角形
∴∠OEM=30°，
∴OM=OE=
EM=OM=
∵OM⊥EF
∴EF=2EM=2
故答案为：2
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出AC是直径，根据勾股定理算出AC的长，从而得出OE，OF的长，根据等边三角形的性质可得∠EOM=30°，在Rt△OME中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OM的长，进而得出EM的长，根据垂径定理即可得出EF的长。
16．如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设圆的圆心是O，连接OD，DB，
根据题意，可得：圆的直径是4，则圆的半径是2，
∴OE=BE=1，
在Rt△ODE中，OD=2，OE=1，则∠DOE=60°，DE= ，
∴△OBD是等边三角形，∠AOD=120°，
连接AD，则∠ADB=90°，
∴∠DAB=30°，
∴∠DAC=60°，
又AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=2
则S梯形ACD=
S扇形AOD=
S△ODE=
∴阴影部分的面积是 ，
故答案为：
【分析】设圆的圆心是O，连接OD，DB，根据题意，可得：圆的直径是4，则圆的半径是2，根据线段的和差得出OE=BE=1，在Rt△ODE中，利用含30°直角三角形的边之间的关系得出∠DOE=60°，DE=，根据平角的定义得出∠AOD=120°，连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据圆周角定理得出∠DAB=30°，根据切线的性质及角的和差得出∠DAC=60°，根据切线长定理得出AC=CD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质及勾股定理即可算出AC=AD=2，然后根据阴影部分的面积等于S梯形ACD-S扇形AOD-S△ODE，由梯形面积公式，扇形面积公式，三角形的面积公式即可算出答案。
三、解答题
17．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.
求证：
（1）∠AOE＝∠BOD；
（2） .
【答案】（1）解：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD
（2）解：∵∠AOD=∠BOE，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠A=∠B，∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，根据三角形的内角和得出∠AOD=∠BOE，再根据等式的性质即可得出答案；（2）根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等即可得出AD=BE。
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°
（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠CBD=∠CDB=39°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，根据角的和差即可算出∠BAD的度数；
（2）根据等边对等角得出∠CEB=∠CBE，根据角的和差及三角形外角的定理得出∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，根据等式的性质即可得出答案。
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
【答案】（1）解：在△AEB和△DEC中 ，∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°
（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，
作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，∴CM= ，BM= ，∴AM=AC﹣CM= ，∴AB= =7．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠D，然后由ASA判断出△AEB≌△DEC，根据全等三角形的对应边相等得出EB=EC，又BC=CE，故BE=CE=BC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△EBC为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠ACB=60°；
（2）根据垂径定理得出AF=CF，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BEC=60°，根据三角形的内角和得出∠EGF=30°，根据 含30°直角三角形的边之间的关系得出EF=1，进而即可求出AC的长，EC的长，BC的长，作BM⊥AC于点M，根据三角形的内角和得出∠MBC=30°，根据 含30°直角三角形的边之间的关系得出CM的长，根据勾股定理即可算出BM的长，AB的长。
20．如图，已知 中， ，把 绕A点沿顺时针方向旋转得到 ，连接BD，CE交于点F．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【答案】（1）解：由旋转的性质得： ≌ ，且 ， ， ， ，
，即 ，
在 和 中， ，
≌
（2）解： 四边形ADFC是菱形，且 ， ，由（1）得： ，
，
为直角边为2的等腰直角三角形，
，即 ，
，
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ADE ，且AB=AC，故 AE=AD ， AC=AB ， ∠BAC=∠DAB，根据等式的性质得出∠C AE=∠DAB，然后SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）根据菱形的对边平行得出DF∥AC，根据二直线平行，内错角相等得出∠DBA=∠BAC=45 ° ，根据等边对等角得出∠DBA=∠BDA=45°，从而判断出△ ABD为直角边为2的等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可算出BD的长，根据菱形的性质及等量代换得出AD=DF=FC=AC=AB= 2 ，然后由线段的和差即可算出BF的长。
21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证： ACO= BCD。
（2）若EB= ，CD= ，求⊙O的直径。
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于E，∴CE=ED， ，∴ BCD= BAC，∵OA=OC .
∴ OAC= OCA .
∴ ACO= BCD
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R 8，CE= CD= 24=12，
在Rt CEO中，由勾股定理可得，
OC =OE +CE ，即R = (R 8) +12 ，解得 R=13.∴2R=2 13=26 .答：⊙O的直径为26cm.
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧CD=弧BD，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BCD= ∠BAC，根据等边对等角得出 ∠OAC=∠ OCA ，故 ∠ACO=∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R 8，根据垂径定理得出CE= CD=12， 在Rt ΔCEO中，由勾股定理建立方程，求解得出R的值，进而得出圆的直径。
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2 ，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°
（2）解：∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC= ，∴OE=OC tan∠OCE = tan30°= =2，
∴S△OEC= OE OC= = ，∴S扇形OBC= =3π，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得出∠ABC+∠D=180°，又∠ABC=2∠D，从而得出∠D的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC的度数，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB=3∠AOB，根据角的和差得出∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，故∠AOB=30°，∠COB=90°的度数，在Rt△OCE中，根据正切函数的定义及特殊锐角的数据函数值，由OE=OC tan∠OCE，算出OE的长，再根据三角形的面积公式就扇形的面积公式算出S△OEC，S扇形OBC，再根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC即可算出答案。
23．如图，在 中， ， 是 的中点，以 为直径的⊙ 交 的边于点 、 、 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：连接 因为 ， 是 的中点所以 又因为 是⊙ 的直径
所以
所以 ，
所以 ，
所以 是 的中位线
所以
所以四边形 是平行四边形.
（2）解：连接 因为
所以
所以
因为
所以
所以
即 的度数为 .
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接 DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=CD=AD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠DEA=∠DEC=∠DFC=90°，故∠DEA=∠ACB ， DF⊥BC，根据同位角相等二直线平行得出DE∥BC ，根据过三角形一边中点且平行于三角形一边的直线是三角形的中位线得出DE是△ABC 的中位线，DE=BC，再根据等腰三角形的三线合一得出 BF=CF，从而得出DE=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形BDEF是平行四边形；
（2）连接 OG，根据同圆的直径相等及等量代换得出CD=AD，根据等边对等角得出∠DCA=∠A 35°，根据三角形的外角定理，由 ∠ODG=∠A+∠DCA即可算出 ∠ODG的度数，再根据等边对等角得出∠OGD=∠ODG=70°，根据三角形的内角和得出 ∠ DOG 的度数。
24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．
（1）求∠AED的度数；
（2）若⊙O的半径为2，则弧AD的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】（1）解：连接BD，∵四边形ABCD是 O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是 O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°
（2）解：∵∠AOD=2∠ABD=120°，
∴弧AD的长=
（3）解：连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，
∴n= .
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BAD+∠C=180°，从而得出∠BAD=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形三个角都是60°得出∠ABD=60°，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠AED=120°；
（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=2∠ABD=120°，然后根据弧长公式l=即可算出答案；
（3）根据角的和差算出∠AOE的度数，根据正n边形的中心角的计算方法即可算出n边形的边数。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质单元检测b卷
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（2016九上·新泰期中）如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
3．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
4．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC
D．∠BAC＝30°
5．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10.上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
8．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（ ）
A． m B． m C． m D． m
9．（2016九上·新泰期中）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（ ）
A． B．7 C．4+3 D．3+4
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC的度数是 ．
12．如图，点D是等腰 的底边AB上的点，若 且 ，将 绕点C逆时针旋转，使它与 重合，则 度
13．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
14．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 个．
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
16．如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.
求证：
（1）∠AOE＝∠BOD；
（2） .
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
20．如图，已知 中， ，把 绕A点沿顺时针方向旋转得到 ，连接BD，CE交于点F．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证： ACO= BCD。
（2）若EB= ，CD= ，求⊙O的直径。
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2 ，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
23．如图，在 中， ， 是 的中点，以 为直径的⊙ 交 的边于点 、 、 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的度数.
24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．
（1）求∠AED的度数；
（2）若⊙O的半径为2，则弧AD的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC= ∠DAB= ×60°=30°.
故答案为：B
【分析】二直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠OCA，根据等边对等角得出∠OCA=∠OAC，从而得出∠OAC=∠DAC= ∠DAB=30°.
2．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，
由垂径定理得：DM= DE，KQ= KH，FN= FG，
∵DE=FG=HK，
∴DM=KQ=FN，
∵OD=OK=OF，
∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
故选A．
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．
3．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理，得
BM= AB=4，DN= CD=4
勾股定理得：OM=ON= =3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP= =3 ，
故答案为：C.
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出MB，DN的长，根据勾股定理得出OM，ON的长，然后根据三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形MONP是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形MONP是正方形，根据正方形的性质及勾股定理即可算出OP的长。
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：在△QAB即，OA＝OB，OA＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故A不符合题意；
∵OC⊥AB，△OAB为等边三角形，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴AC的长为圆内接正十二边形的边长，故B不符合题意；
∵∠AOC=∠BOC，∴弧AC＝弧BC，故C不符合题意；
∵∠BAC＝ ∠BOC＝ ×30°＝15°，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同圆的半径相等得出OA＝OB，又OA＝AB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OAB为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠AOB＝60°，根据正六边形的性质得出弦AB的长等于圆内接正六方形的边长；根据等腰三角形的三线合一得出OC平分∠AOB，故∠AOC＝∠BOC＝30°，根据正十二边形的性质得出弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；根据同圆中相等的圆心角所对的先相等即可得出AC＝BC；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC＝15°，综上所述即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以，∠BOD= ，
因为点D关于AB的对称点是点E，
所以，∠BOE＝60°；
因为∠CED和∠DOB是等弧所对的圆周角与圆心角，
所以，∠CED＝ ∠DOB；
当M与O重合时，CM＋DM=CE=AB=10，即最小值是10.
由已知可得CE位置不变，DM位置随M而边，所以DM不一定垂直于CE；
所以，结论①，②，④正确.
故答案为：C
【分析】根据同圆中等弦所对的圆心角相等及平角的定义得出∠BOD=60°，根据圆的轴对称性，由点D关于AB的对称点是点E，从而得出∠BOE＝60°；根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠CED= ∠DOB；根据利用轴对称求最短问题可知，当M与O重合时，CM＋DM=CE=AB=10，即最小值是10，由已知可得CE位置不变，DM位置随M而边，所以DM不一定垂直于CE，综上所述即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴ ，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧BD，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AED=∠AOB；根据等边对等角得出∠D=∠BCD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°，根据平角的定义得出∠ECA+60°+∠BCD=180°，故∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形，然后利用AAS判断出△EAC≌△OAB，根据全等三角形的对应边相等得出AE=OA=1．
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOD=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB= ∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BOD=60°，然后根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可得出∠DCB的度数。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AB=100m，
∴AO=50 m，
∴AD=2AO=100 m，
故答案为：B
【分析】连接OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=90°，然后根据勾股定理算出AO的长，从而得出答案。
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥DE于F．
在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=，
∴BD=8．
在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，
∴BE=5．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，
∴DF=BD cos30°=4．
在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5，
∴EF=BE cos∠BEF=3．
∴DE=DF+EF=3+4，
故选D．
【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长．过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD．根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长．
10．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，
∵DE=DC，
∴∠C=∠DEC=20°，
∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S扇形DBE= ．
故答案为：C
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，根据同圆的半径相等及中点定义得出DE=DC，根据等边对等角得出∠C=∠DEC=20°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和得出∠BDE的度数，然后根据扇形的面积计算公式S=即可算出答案。
11．【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC=OA，
∴∠C=∠A，
∵∠C=20°，
∴∠A=∠C=20°，
∴∠BOC=2∠A=40°．
故答案为：40°
【分析】根据等边对等角得出∠C=∠A=20°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BOC的度数。
12．【答案】80
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，
∴∠A=∠CBD′，
∵AC=BC且∠ACB=100°，
∴∠A=∠ABC= =40°，
∴∠CBD′=∠A=40°，
∴∠D′BA=∠D′BC+∠ABC=80°．
故答案是：80
【分析】根据旋转的性质得出△ACD≌△BCD′，根据全等三角形对应角相等得出∠A=∠CBD′，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠A=∠ABC=40°，再根据角的和差即可算出答案。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB= AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5
【分析】当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，当GH为直径时，E点与O点重合，根据过圆心的弦是圆的直径得出AC也是直径，AC=14，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB= AC=7，根据三角形的中位线定理得出EF= AB=3.5，从而算出答案。
14．【答案】12
【知识点】坐标与图形性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得： =5，即x2+y2=25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；
x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；
x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；
x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
【分析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
15．【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∵点B在圆上，
∴AC是⊙O的直径，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得出
AC=，∴OE=OF=2
∵△DEF是⊙O的内接正三角形
∴∠OEM=30°，
∴OM=OE=
EM=OM=
∵OM⊥EF
∴EF=2EM=2
故答案为：2
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出AC是直径，根据勾股定理算出AC的长，从而得出OE，OF的长，根据等边三角形的性质可得∠EOM=30°，在Rt△OME中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OM的长，进而得出EM的长，根据垂径定理即可得出EF的长。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设圆的圆心是O，连接OD，DB，
根据题意，可得：圆的直径是4，则圆的半径是2，
∴OE=BE=1，
在Rt△ODE中，OD=2，OE=1，则∠DOE=60°，DE= ，
∴△OBD是等边三角形，∠AOD=120°，
连接AD，则∠ADB=90°，
∴∠DAB=30°，
∴∠DAC=60°，
又AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=2
则S梯形ACD=
S扇形AOD=
S△ODE=
∴阴影部分的面积是 ，
故答案为：
【分析】设圆的圆心是O，连接OD，DB，根据题意，可得：圆的直径是4，则圆的半径是2，根据线段的和差得出OE=BE=1，在Rt△ODE中，利用含30°直角三角形的边之间的关系得出∠DOE=60°，DE=，根据平角的定义得出∠AOD=120°，连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据圆周角定理得出∠DAB=30°，根据切线的性质及角的和差得出∠DAC=60°，根据切线长定理得出AC=CD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质及勾股定理即可算出AC=AD=2，然后根据阴影部分的面积等于S梯形ACD-S扇形AOD-S△ODE，由梯形面积公式，扇形面积公式，三角形的面积公式即可算出答案。
17．【答案】（1）解：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD
（2）解：∵∠AOD=∠BOE，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠A=∠B，∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，根据三角形的内角和得出∠AOD=∠BOE，再根据等式的性质即可得出答案；（2）根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等即可得出AD=BE。
18．【答案】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°
（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠CBD=∠CDB=39°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，根据角的和差即可算出∠BAD的度数；
（2）根据等边对等角得出∠CEB=∠CBE，根据角的和差及三角形外角的定理得出∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，根据等式的性质即可得出答案。
19．【答案】（1）解：在△AEB和△DEC中 ，∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB=60°
（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，
作BM⊥AC于点M，∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，∴CM= ，BM= ，∴AM=AC﹣CM= ，∴AB= =7．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠D，然后由ASA判断出△AEB≌△DEC，根据全等三角形的对应边相等得出EB=EC，又BC=CE，故BE=CE=BC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△EBC为等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠ACB=60°；
（2）根据垂径定理得出AF=CF，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BEC=60°，根据三角形的内角和得出∠EGF=30°，根据 含30°直角三角形的边之间的关系得出EF=1，进而即可求出AC的长，EC的长，BC的长，作BM⊥AC于点M，根据三角形的内角和得出∠MBC=30°，根据 含30°直角三角形的边之间的关系得出CM的长，根据勾股定理即可算出BM的长，AB的长。
20．【答案】（1）解：由旋转的性质得： ≌ ，且 ， ， ， ，
，即 ，
在 和 中， ，
≌
（2）解： 四边形ADFC是菱形，且 ， ，由（1）得： ，
，
为直角边为2的等腰直角三角形，
，即 ，
，
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ADE ，且AB=AC，故 AE=AD ， AC=AB ， ∠BAC=∠DAB，根据等式的性质得出∠C AE=∠DAB，然后SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）根据菱形的对边平行得出DF∥AC，根据二直线平行，内错角相等得出∠DBA=∠BAC=45 ° ，根据等边对等角得出∠DBA=∠BDA=45°，从而判断出△ ABD为直角边为2的等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可算出BD的长，根据菱形的性质及等量代换得出AD=DF=FC=AC=AB= 2 ，然后由线段的和差即可算出BF的长。
21．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于E，∴CE=ED， ，∴ BCD= BAC，∵OA=OC .
∴ OAC= OCA .
∴ ACO= BCD
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R 8，CE= CD= 24=12，
在Rt CEO中，由勾股定理可得，
OC =OE +CE ，即R = (R 8) +12 ，解得 R=13.∴2R=2 13=26 .答：⊙O的直径为26cm.
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出弧CD=弧BD，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BCD= ∠BAC，根据等边对等角得出 ∠OAC=∠ OCA ，故 ∠ACO=∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R 8，根据垂径定理得出CE= CD=12， 在Rt ΔCEO中，由勾股定理建立方程，求解得出R的值，进而得出圆的直径。
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°
（2）解：∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC= ，∴OE=OC tan∠OCE = tan30°= =2，
∴S△OEC= OE OC= = ，∴S扇形OBC= =3π，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得出∠ABC+∠D=180°，又∠ABC=2∠D，从而得出∠D的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC的度数，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB=3∠AOB，根据角的和差得出∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，故∠AOB=30°，∠COB=90°的度数，在Rt△OCE中，根据正切函数的定义及特殊锐角的数据函数值，由OE=OC tan∠OCE，算出OE的长，再根据三角形的面积公式就扇形的面积公式算出S△OEC，S扇形OBC，再根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC即可算出答案。
23．【答案】（1）解：连接 因为 ， 是 的中点所以 又因为 是⊙ 的直径
所以
所以 ，
所以 ，
所以 是 的中位线
所以
所以四边形 是平行四边形.
（2）解：连接 因为
所以
所以
因为
所以
所以
即 的度数为 .
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接 DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=CD=AD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠DEA=∠DEC=∠DFC=90°，故∠DEA=∠ACB ， DF⊥BC，根据同位角相等二直线平行得出DE∥BC ，根据过三角形一边中点且平行于三角形一边的直线是三角形的中位线得出DE是△ABC 的中位线，DE=BC，再根据等腰三角形的三线合一得出 BF=CF，从而得出DE=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形BDEF是平行四边形；
（2）连接 OG，根据同圆的直径相等及等量代换得出CD=AD，根据等边对等角得出∠DCA=∠A 35°，根据三角形的外角定理，由 ∠ODG=∠A+∠DCA即可算出 ∠ODG的度数，再根据等边对等角得出∠OGD=∠ODG=70°，根据三角形的内角和得出 ∠ DOG 的度数。
24．【答案】（1）解：连接BD，∵四边形ABCD是 O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是 O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°
（2）解：∵∠AOD=2∠ABD=120°，
∴弧AD的长=
（3）解：连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，
∴n= .
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BAD+∠C=180°，从而得出∠BAD=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形三个角都是60°得出∠ABD=60°，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠AED=120°；
（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=2∠ABD=120°，然后根据弧长公式l=即可算出答案；
（3）根据角的和差算出∠AOE的度数，根据正n边形的中心角的计算方法即可算出n边形的边数。
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