2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，在 中，点C是 的中点， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠B=∠A= ，
∴∠AOB= .
∵点C是 的中点，
∴ =
∴ = = .
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠B=∠A，根据三角形的内角和定理可得∠AOB=180-2∠A，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠BOC=∠AOB。
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A﹦∠D B．CE﹦DE C．∠ACB﹦90° D．CE﹦BD
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：B、∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．∴CE=DE．故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，不符合题意；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，不符合题意；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立，符合题意．
故答案为：D
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D；
（2）根据垂径定理可得CE=DE；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=；
（4）根据垂径定理可得CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，即CE＜BD。
3．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： ．
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AC=BC，由圆周角定理可得∠E=∠COB，所以可得∠BOD=2∠E=，于是可知△ODB是等腰直角三角形，用勾股定理可求得半径OB的长。
4．如图，AB是 的直径，弦 ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ，
，
又 弦 ， ，
，
，
故答案为：D
【分析】设AB交CD于E，由垂径定理可得CE=DE=CD，由圆周角定理可得∠COB=2∠CDB，解直角三角形COE可求得OC的长，根据圆的轴对称性可得阴影部分的面积=扇形COB的面积=即可求解。
5．如图， 的直径CD过弦EF的中点G， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 的直径CD过弦EF的中点G， ，
弧 =DE，且弧的度数是 ，
，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得弧DF=弧DE，根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可求解。
6．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=8，AE=2，则OE长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，
因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
所以，CE= =4，OC=OE+2，
在Rt△OCE中，勾股定理得
OC2=OE2+CE2，
即：（OE+2）2=42+OE2，
解得OE=3.
故答案为：A
【分析】连接OC，由垂径定理可得CE=CD，OC=OA=OE+AE，在Rt△OCE中，用勾股定理可得关于OE的方程，解方程即可求解。
7．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB= ，BD=5，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵sin∠CDB= ，BD=5，
∴BH=3，
∴DH= =4，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x= ，
∴OH= ，
∴AH=OA+OH= +3+ = ，
故答案为：B．
【分析】由垂径定理可得AB⊥CD，根据已知条件解直角三角形BDH可求得BH和DH的值，在Rt△ODH中，由勾股定理可求OH的值，所以AH=AO+OH=BH+2OH即可求解。
8．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB，由题意可得OD=OE-DE=OA-1，在直角三角形ADO中，用勾股定理可列方程求解半径OA的长，则直径=2OA。
二、填空题
9．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A=28°，则∠D= ．
【答案】34°
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥弦CD， ∴∠BOD=2∠A=56°， ∴∠D=90°－56°=34°
【分析】由垂径定理可得弧BD=弧BC，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠A，于是根据直角三角形两锐角互余可得∠D=90°－∠BOD。
10．如图，在半径为5cm的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB
∵AB⊥CD
∴四边形OEPF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心距相等）
∴四边形OEPF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴OP= OE（正方形对角线等于 倍的边长）
∵OE⊥AB
∴BE= AB=4（垂径定理）
根据勾股定理：OB=5，BE=4
则OE=3
∴OP=3
故答案为：3
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，由有3个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形；根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，由邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，由垂径定理可得BE=AB，在直角三角形OBE中，用勾股定理可求解OE的长，根据正方形的性质可得三角形OPE是等腰直角三角形，用勾股定理即可求得OP的长。
11．已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是 ．
【答案】2或14
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
12．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作OC垂直弦AB于点C，
∴AC=BC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，即∠OAC=30°，
又∵OA=4，
∴OC= OA=2，
∴AB=2AC＝2 ＝2 ＝4 .
故答案为4 .
【分析】作OC垂直弦AB于点C，根据垂径定理可得AC=BC，∠AOC=∠AOB，根据直角三角形的性质和勾股定理可求解弦AB=2AC。
13．如图，⊙O的半径为2 ，OA，OB是⊙O的半径，P是 上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则EF的最大值为 ．
【答案】
【知识点】圆的认识；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：延长PE、PF分别交圆于G、H，如图所示：
∵PE⊥OA、PF⊥OB，
∴PE=EG，PF=FH
∴EF是△PGH的中位线
∴EF= GH
∵GH是⊙O的弦
∴GH的最大值为2OA=2 ×2=4 ，
∴EF的最大值为 ×4 =2 ．
故答案为：2
【分析】延长PE、PF分别交圆于G、H，由垂径定理可得PE=EG，PF=FH，于是可知EF是△PGH的中位线，根据三角形的中位线定理可得EF=GH，要使EF最大，只需GH最大，在圆中，直径时最长的弦，所以当GH的最大值为直径=2OA，EF=GH=OA的长。
14．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD=2CM=4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2
【分析】连接OC，由垂径定理可得CD=2CM，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOC=∠BOC，OC是公共边，用角角边可证直角三角形CMO直角三角形CNO，于是可得CM=CN=CD即可求解。
15．（2018·绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
【答案】10或70
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点C，连结OB，
∵AB=60cm，直径=100cm，
∴BC= AB=30cm，OB=50cm，
在Rt△OBC中，
∴OC=40cm，
①当水位上升到圆心以下，即A B =80cm，
∴B C =40cm，
在Rt△OB C 中，
∴OC =30cm，
∴水位上升高度为：40-30=10cm，
②当水位上升到圆心以上，即A B =80cm，
∴水位上升高度为：40+30=70cm，
综上所述：水位上升高度为10cm或70cm.
故答案为：10或70.
【分析】作OD⊥AB于点C，连结OB，分两种情况讨论：①当水位上升到圆心以下，即A B =80cm，
②当水位上升到圆心以上，即A B =80cm，根据垂径定理和勾股定理计算即可得出答案.
三、解答题
16．如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证： .
【答案】解：连结OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，
∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OP，要证AP=BP，只需证点P是半圆AB的中点即可。由题意易证∠DCP＝∠P，根据内错角相等，两直线平行可得CD∥OP，而CD⊥AB，所以可得OP⊥AB，根据垂径定理可得AP=BP。
17．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．
【答案】解：过点O作OH⊥EF，连接OC，根据题意可得：OH= (AE+BF)=4cm，
根据Rt△OCH的勾股定理可得：CH=3cm，∴CD=2CH=6cm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】过点O作OH⊥EF，连接OC，根据梯形的中位线定理可得OH=，在Rt△OCH中用勾股定理可求得CH的长，再根据垂径定理可得CD=2CH。
18．如图，一拱桥所在弧所对的圆心角为120°(即∠AOB＝120°)，半径为5 m，一艘6 m宽的船装载一集装箱，已知箱顶宽3.2 m，离水面AB高2 m，问此船能过桥洞吗？请说明理由．
【答案】解：如图所示，连接OE，过点O作OH⊥EF于点H，∵∠AOB=120°OA=5m， ∴∠OAB=30°，OK=2.5m，则OH=2.5+2=4.5m，∵OE=5m， ∴在Rt△OEH中，EH= ，∴EF=2EH= ，∴此船能过桥洞．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OE，过点O作OH⊥EF于点H，在Rt△OEH中，用勾股定理求得EH的长，则EF=2EH与箱顶宽3.2 m比较大小，若大于箱顶宽3.2 m，则能过桥，反之不能。
19．如图，在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD= ，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD= ∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．
【答案】（1）解：∵AB为直径，AB⊥CD， ∴DE= CD= ．
在Rt△ODE中， ∵OD=r，OE=5﹣r，DE= ， ∴r2=（5﹣r）2+（ ）2，解得r=3
（2）解：如图，连接CB．∵∠BCD= ∠BOD， 作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．
∴EF=EB=OB﹣OE=3﹣2=1．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得DE= CD，在直角三角形ODE中，用勾股定理可求解。
（2）连接CB．由题意可得∠BCD= ∠BOD，作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．EF=EB=OB﹣OE可求解。
20．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，同时减去这两段弧的公共弧BC可得弧AC=弧BD，同理可得AC=BD；
（2）连接OA、OD．根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理DF=CD，AG=AB．则DF=AG，由已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，所以可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
21．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
【答案】（1）解：如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）解：连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC= ，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧与AB和AC各有一个交点，再分别以这两个交点为圆心大于两交点的连线段的为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线交圆于点E，射线AE即为所求；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧BE=弧CE，由垂径定理可得OE⊥BC，在Rt△OFC和Rt△EFC中，由勾股定理可求得FC和CE的长。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，在 中，点C是 的中点， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A﹦∠D B．CE﹦DE C．∠ACB﹦90° D．CE﹦BD
3．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
4．如图，AB是 的直径，弦 ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 的直径CD过弦EF的中点G， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=8，AE=2，则OE长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB= ，BD=5，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
二、填空题
9．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A=28°，则∠D= ．
10．如图，在半径为5cm的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 .
11．已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是 ．
12．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为 .
13．如图，⊙O的半径为2 ，OA，OB是⊙O的半径，P是 上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则EF的最大值为 ．
14．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
15．（2018·绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm．
三、解答题
16．如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证： .
17．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．
18．如图，一拱桥所在弧所对的圆心角为120°(即∠AOB＝120°)，半径为5 m，一艘6 m宽的船装载一集装箱，已知箱顶宽3.2 m，离水面AB高2 m，问此船能过桥洞吗？请说明理由．
19．如图，在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD= ，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD= ∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．
20．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
21．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠B=∠A= ，
∴∠AOB= .
∵点C是 的中点，
∴ =
∴ = = .
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的三线合一可得∠B=∠A，根据三角形的内角和定理可得∠AOB=180-2∠A，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠BOC=∠AOB。
2．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：B、∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．∴CE=DE．故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，不符合题意；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，不符合题意；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立，符合题意．
故答案为：D
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D；
（2）根据垂径定理可得CE=DE；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=；
（4）根据垂径定理可得CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，即CE＜BD。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： ．
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AC=BC，由圆周角定理可得∠E=∠COB，所以可得∠BOD=2∠E=，于是可知△ODB是等腰直角三角形，用勾股定理可求得半径OB的长。
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ，
，
又 弦 ， ，
，
，
故答案为：D
【分析】设AB交CD于E，由垂径定理可得CE=DE=CD，由圆周角定理可得∠COB=2∠CDB，解直角三角形COE可求得OC的长，根据圆的轴对称性可得阴影部分的面积=扇形COB的面积=即可求解。
5．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 的直径CD过弦EF的中点G， ，
弧 =DE，且弧的度数是 ，
，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得弧DF=弧DE，根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可求解。
6．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，
因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
所以，CE= =4，OC=OE+2，
在Rt△OCE中，勾股定理得
OC2=OE2+CE2，
即：（OE+2）2=42+OE2，
解得OE=3.
故答案为：A
【分析】连接OC，由垂径定理可得CE=CD，OC=OA=OE+AE，在Rt△OCE中，用勾股定理可得关于OE的方程，解方程即可求解。
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵sin∠CDB= ，BD=5，
∴BH=3，
∴DH= =4，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x= ，
∴OH= ，
∴AH=OA+OH= +3+ = ，
故答案为：B．
【分析】由垂径定理可得AB⊥CD，根据已知条件解直角三角形BDH可求得BH和DH的值，在Rt△ODH中，由勾股定理可求OH的值，所以AH=AO+OH=BH+2OH即可求解。
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得AD=BD=AB，由题意可得OD=OE-DE=OA-1，在直角三角形ADO中，用勾股定理可列方程求解半径OA的长，则直径=2OA。
9．【答案】34°
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥弦CD， ∴∠BOD=2∠A=56°， ∴∠D=90°－56°=34°
【分析】由垂径定理可得弧BD=弧BC，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠A，于是根据直角三角形两锐角互余可得∠D=90°－∠BOD。
10．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB
∵AB⊥CD
∴四边形OEPF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心距相等）
∴四边形OEPF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴OP= OE（正方形对角线等于 倍的边长）
∵OE⊥AB
∴BE= AB=4（垂径定理）
根据勾股定理：OB=5，BE=4
则OE=3
∴OP=3
故答案为：3
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，由有3个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形；根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，由邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，由垂径定理可得BE=AB，在直角三角形OBE中，用勾股定理可求解OE的长，根据正方形的性质可得三角形OPE是等腰直角三角形，用勾股定理即可求得OP的长。
11．【答案】2或14
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
12．【答案】
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作OC垂直弦AB于点C，
∴AC=BC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，即∠OAC=30°，
又∵OA=4，
∴OC= OA=2，
∴AB=2AC＝2 ＝2 ＝4 .
故答案为4 .
【分析】作OC垂直弦AB于点C，根据垂径定理可得AC=BC，∠AOC=∠AOB，根据直角三角形的性质和勾股定理可求解弦AB=2AC。
13．【答案】
【知识点】圆的认识；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：延长PE、PF分别交圆于G、H，如图所示：
∵PE⊥OA、PF⊥OB，
∴PE=EG，PF=FH
∴EF是△PGH的中位线
∴EF= GH
∵GH是⊙O的弦
∴GH的最大值为2OA=2 ×2=4 ，
∴EF的最大值为 ×4 =2 ．
故答案为：2
【分析】延长PE、PF分别交圆于G、H，由垂径定理可得PE=EG，PF=FH，于是可知EF是△PGH的中位线，根据三角形的中位线定理可得EF=GH，要使EF最大，只需GH最大，在圆中，直径时最长的弦，所以当GH的最大值为直径=2OA，EF=GH=OA的长。
14．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD=2CM=4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2
【分析】连接OC，由垂径定理可得CD=2CM，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOC=∠BOC，OC是公共边，用角角边可证直角三角形CMO直角三角形CNO，于是可得CM=CN=CD即可求解。
15．【答案】10或70
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于点C，连结OB，
∵AB=60cm，直径=100cm，
∴BC= AB=30cm，OB=50cm，
在Rt△OBC中，
∴OC=40cm，
①当水位上升到圆心以下，即A B =80cm，
∴B C =40cm，
在Rt△OB C 中，
∴OC =30cm，
∴水位上升高度为：40-30=10cm，
②当水位上升到圆心以上，即A B =80cm，
∴水位上升高度为：40+30=70cm，
综上所述：水位上升高度为10cm或70cm.
故答案为：10或70.
【分析】作OD⊥AB于点C，连结OB，分两种情况讨论：①当水位上升到圆心以下，即A B =80cm，
②当水位上升到圆心以上，即A B =80cm，根据垂径定理和勾股定理计算即可得出答案.
16．【答案】解：连结OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，
∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OP，要证AP=BP，只需证点P是半圆AB的中点即可。由题意易证∠DCP＝∠P，根据内错角相等，两直线平行可得CD∥OP，而CD⊥AB，所以可得OP⊥AB，根据垂径定理可得AP=BP。
17．【答案】解：过点O作OH⊥EF，连接OC，根据题意可得：OH= (AE+BF)=4cm，
根据Rt△OCH的勾股定理可得：CH=3cm，∴CD=2CH=6cm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】过点O作OH⊥EF，连接OC，根据梯形的中位线定理可得OH=，在Rt△OCH中用勾股定理可求得CH的长，再根据垂径定理可得CD=2CH。
18．【答案】解：如图所示，连接OE，过点O作OH⊥EF于点H，∵∠AOB=120°OA=5m， ∴∠OAB=30°，OK=2.5m，则OH=2.5+2=4.5m，∵OE=5m， ∴在Rt△OEH中，EH= ，∴EF=2EH= ，∴此船能过桥洞．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OE，过点O作OH⊥EF于点H，在Rt△OEH中，用勾股定理求得EH的长，则EF=2EH与箱顶宽3.2 m比较大小，若大于箱顶宽3.2 m，则能过桥，反之不能。
19．【答案】（1）解：∵AB为直径，AB⊥CD， ∴DE= CD= ．
在Rt△ODE中， ∵OD=r，OE=5﹣r，DE= ， ∴r2=（5﹣r）2+（ ）2，解得r=3
（2）解：如图，连接CB．∵∠BCD= ∠BOD， 作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．
∴EF=EB=OB﹣OE=3﹣2=1．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得DE= CD，在直角三角形ODE中，用勾股定理可求解。
（2）连接CB．由题意可得∠BCD= ∠BOD，作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．EF=EB=OB﹣OE可求解。
20．【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，同时减去这两段弧的公共弧BC可得弧AC=弧BD，同理可得AC=BD；
（2）连接OA、OD．根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理DF=CD，AG=AB．则DF=AG，由已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，所以可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
21．【答案】（1）解：如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）解：连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC= ，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧与AB和AC各有一个交点，再分别以这两个交点为圆心大于两交点的连线段的为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线交圆于点E，射线AE即为所求；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧BE=弧CE，由垂径定理可得OE⊥BC，在Rt△OFC和Rt△EFC中，由勾股定理可求得FC和CE的长。
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