2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；
其中正确的命题有1个.
故答案为：A．
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据这些定理即可判断。
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是（ ）
A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．
故答案为：B
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据定理即可判断。
3．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B． C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，
∴AD=BD，
∴A、B、D不符合题意.
无法说明OE=DE，故C不一定正确.
故答案为：C.
【分析】由垂径定理和圆周角定理可得AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，所以AD=BD，根据这些结论即可判断。
4．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
5．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．6
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC= BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故答案为：B
【分析】由垂径定理可得DC=BC，在Rt△ODC中，用勾股定理即可求解。
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．AE的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
B．AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
C．AE的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
D．AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点，故答案为：C．
【分析】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，由切线的性质和垂径定理得推论可知该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点。
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，⊙ 的直径 ， 是圆上任一点（A、B除外）， 的平分线交⊙ 于C，弦 过 ， 的中点 、 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，即 为等腰直角三角形．
连接 ，交 于点 ，则 ，
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
连接 根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故答案为：
【分析】连接OC，交EF点D，连接 O E ，则OC⊥AB，用圆周角定理及推论易证△ABC为等腰直角三角形，根据三角形中位线定理可得MN∥AB，则OC⊥EF，OD=OC，由垂径定理可得EF=2ED即可求解。
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图， 是半圆 的直径， 为弦， 于 ，过点 作 交半圆 于点 ，过点 作 于 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】由垂径定理可得AD=CD=AC，利用等角的余角相等可得∠DAO=∠EOF，用角角边可证△ADO≌△OFE求解。
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：延长CO交AB于点D，连接OA，
∵△ABC为正三角，
∴CD⊥AB，
∵AB=2，
∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，
∴OD=2，
∴OA=
故选D．
【分析】延长CO交AB于点D，连接OA，根据勾股定理可求得CD的长，再在直角三角形AOD中，求得OA即可．
二、填空题
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用 次，就可以找到圆形工件的圆心．
【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故利用这样的工具最少使用2.次．
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．由两条直线相交，只有一个交点可得利用这样的工具最少使用2.次．
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=6 cm，则⊙O半径为 cm．
【答案】6
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示
则∠AOE=2∠C=30°，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE= AB=3cm，
∴OA=2OE=6cm，
即⊙O半径为6cm
【分析】连接OA，由垂径定理可得AE=BE=AB，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2OE求解。
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE= ．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝ AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝ ，
即OE＝ ．
故答案为：
【分析】由垂径定理得推论可得AE=AC，在Rt△OAE中用勾股定理即可求解。
三、解答题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，由由题意根据易证四边形ACDB是矩形；由垂径定理和已知条件可求得AP和BP的长，在Rt△OAP中，用勾股定理即可求OA的长。
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
【答案】证明：连结OA、OC，如图，∵E、F分别为弦AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵AB=CD，∴AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中， ，∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），∴OE=OF．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OA、OC，由垂径定理和已知条件可得AE=CF，用斜边直角边定理可证Rt△AEO≌Rt△COF求解。
15．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
【答案】解：连接AC∵AB⊥CD∴CE＝DE（垂径分弦）∴AB垂直平分CD∴AC＝AD，∵CF⊥AD，∴AF＝DF（垂径分弦），∴CF垂直平分AD，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠DCF＝ ∠ACD＝30°，∵CO＝AO＝ AB＝1，∴DE=CE＝CO× ＝ ；∴CD＝2DE＝
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接AC，由垂径定理可得CE＝DE，AB垂直平分CD，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=AD，由垂径定理可得AF＝DF，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=CD，所以AC＝AD＝CD，则△ACD为等边三角形，根据等边三角形的性质可求解。
16．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
【答案】解：如图，连接BC D是弧AC的中点 OD垂直平分AC EA=EC= 设OD=OA=x，则OE=x-2， 即 ，解得x=5 AB=2OA=10 答：BE的长度为
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接BC，由垂径定理得EA=EC=AC，且OD 垂直AC；在直角三角形AOE中，用勾股定理可求得OA的长，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长，同理可求得BE的长。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是（ ）
A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④
3．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B． C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
4．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
5．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．6
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．AE的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
B．AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
C．AE的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
D．AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，⊙ 的直径 ， 是圆上任一点（A、B除外）， 的平分线交⊙ 于C，弦 过 ， 的中点 、 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图， 是半圆 的直径， 为弦， 于 ，过点 作 交半圆 于点 ，过点 作 于 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，圆O过点B、C，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用 次，就可以找到圆形工件的圆心．
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=6 cm，则⊙O半径为 cm．
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE= ．
三、解答题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
15．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
16．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；
其中正确的命题有1个.
故答案为：A．
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据这些定理即可判断。
2．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．
故答案为：B
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据定理即可判断。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，
∴AD=BD，
∴A、B、D不符合题意.
无法说明OE=DE，故C不一定正确.
故答案为：C.
【分析】由垂径定理和圆周角定理可得AE=BE，弧 AD=弧BD，∠DBC＝90°，所以AD=BD，根据这些结论即可判断。
4．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC= BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴（x﹣2）2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
故答案为：B
【分析】由垂径定理可得DC=BC，在Rt△ODC中，用勾股定理即可求解。
6．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点，故答案为：C．
【分析】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，由切线的性质和垂径定理得推论可知该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点。
7．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，即 为等腰直角三角形．
连接 ，交 于点 ，则 ，
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
连接 根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故答案为：
【分析】连接OC，交EF点D，连接 O E ，则OC⊥AB，用圆周角定理及推论易证△ABC为等腰直角三角形，根据三角形中位线定理可得MN∥AB，则OC⊥EF，OD=OC，由垂径定理可得EF=2ED即可求解。
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】由垂径定理可得AD=CD=AC，利用等角的余角相等可得∠DAO=∠EOF，用角角边可证△ADO≌△OFE求解。
9．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：延长CO交AB于点D，连接OA，
∵△ABC为正三角，
∴CD⊥AB，
∵AB=2，
∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，
∴OD=2，
∴OA=
故选D．
【分析】延长CO交AB于点D，连接OA，根据勾股定理可求得CD的长，再在直角三角形AOD中，求得OA即可．
10．【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故利用这样的工具最少使用2.次．
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．由两条直线相交，只有一个交点可得利用这样的工具最少使用2.次．
11．【答案】6
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示
则∠AOE=2∠C=30°，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE= AB=3cm，
∴OA=2OE=6cm，
即⊙O半径为6cm
【分析】连接OA，由垂径定理可得AE=BE=AB，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2OE求解。
12．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝ AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝ ，
即OE＝ ．
故答案为：
【分析】由垂径定理得推论可得AE=AC，在Rt△OAE中用勾股定理即可求解。
13．【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，由由题意根据易证四边形ACDB是矩形；由垂径定理和已知条件可求得AP和BP的长，在Rt△OAP中，用勾股定理即可求OA的长。
14．【答案】证明：连结OA、OC，如图，∵E、F分别为弦AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵AB=CD，∴AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中， ，∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），∴OE=OF．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连结OA、OC，由垂径定理和已知条件可得AE=CF，用斜边直角边定理可证Rt△AEO≌Rt△COF求解。
15．【答案】解：连接AC∵AB⊥CD∴CE＝DE（垂径分弦）∴AB垂直平分CD∴AC＝AD，∵CF⊥AD，∴AF＝DF（垂径分弦），∴CF垂直平分AD，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠DCF＝ ∠ACD＝30°，∵CO＝AO＝ AB＝1，∴DE=CE＝CO× ＝ ；∴CD＝2DE＝
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接AC，由垂径定理可得CE＝DE，AB垂直平分CD，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=AD，由垂径定理可得AF＝DF，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=CD，所以AC＝AD＝CD，则△ACD为等边三角形，根据等边三角形的性质可求解。
16．【答案】解：如图，连接BC D是弧AC的中点 OD垂直平分AC EA=EC= 设OD=OA=x，则OE=x-2， 即 ，解得x=5 AB=2OA=10 答：BE的长度为
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接BC，由垂径定理得EA=EC=AC，且OD 垂直AC；在直角三角形AOE中，用勾股定理可求得OA的长，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长，同理可求得BE的长。
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