2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷
一、选择题
1．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故答案为：A
【分析】连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，每个三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点角三角形的重心；过三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就叫三角形的高线，每个三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，直角三角形的一条高线再三角形的内部，两条与直角三角形的直角重合，钝角三角形的一条高线再三角形的内部，两条在三角形的外部，三线相交于一点，这点叫三角形的垂心；三角形一个内角的角平分线与它对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点叫三角形的内心，根据定义即可一一判断。
3．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E，D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．40° C．42° D．46°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故答案为：C
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，根据三角形的内角和得出2x+y=180°﹣120°=60°①，x+2y=180°﹣102°=78°②，根据等式的性质，由①+②得3x+3y=138°，最后根据三角形的内角和及整体代入即可算出答案。
4．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=4，
∴BE=EC=4，
∵DE=2，
∴BD=BE﹣DE=4﹣2=2．
故答案为：A
【分析】根据三角形中线的定义得出BE=EC=4，然后根据线段的和差，由BD=BE﹣DE算出答案。
5．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，
∴∠ACD﹣∠ABC=36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD，∠EBC= ∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC= ∠ACD﹣ ∠ABC=18°．
故答案为：D
【分析】根据三角形的外角定理算出∠A的度数，根据角平分线的定义得出∠ECD= ∠ACD，∠EBC= ∠ABC，再根据三角形的外角定理由∠E=∠ECD﹣∠EBC算出答案。
6．在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（ ）
A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm，AB=3cm
若是AB=DE，则可以推出两三角形全等
此处是EF与AB相等，设DE=3，则DE=EF，则∠D=∠E
显然与已知相违背，所以此假设不成立
所以两三角形一定不全等．故答案为：C
【分析】此题画出图形，在图形上标注出三个条件，会发现：虽然所给的两个三角形中有两个角对应相等，但所给的边不是对应边，其中一个三角形中所给的边是相等两角的夹边，另一个三角形中所给的边是其中一个角的对边，故不能判定两个三角形全等。
7．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB=BD AC=EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故答案为：D
【分析】根据大角对大边，由∠C＜∠B，得出AB＜AC，根据作图过程可知AB=BD AC=EC，故BD＜CE，根据线段的和差及等式的性质即可得出结论BE＜CD．
8．（2018八上·建昌期末）已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DG是AB边的垂直平分线，
∴GA=GB，
△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，
故答案为：C.
【分析】已知DG是AB边的垂直平分线，则有GA=GB，△AGC的周长转化为AC+BC的长，又知AB=20，即可求出△ABC的周长。
9．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故答案为：A
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD=30°，∠C=70°，根据角平分线的定义得出∠BAE=25°，根据角的和差得出∠DAE=5°，从而可以算出答案。
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
二、填空题
11．（2018·黔西南模拟）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；
当腰为5时，2+5＞5，所以能构成三角形，周长是：2+5+5=12．
故答案为：12.
【分析】分两种情况：当腰为2时，三角形的三边长分别是2，2，5；当腰为5时，三角形的三边长分别是2，5，5；根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，再根据周长的计算方法算出答案。
12．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 ．
【答案】10°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，
∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE= ∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。
13．如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= ．
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=150°﹣90°=60°．
故答案为：60°
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB的度数，∠DBC+∠DCB的度数，再根据角的和差，由∠DBA+∠DCA=∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）再利用整体代入即可算出答案。
14．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 ．
【答案】SSS
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，
又∵OC=OC，
∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等，
故答案为：SSS
【分析】根据作出过程可知：CD=CE，OD=OE，又由于OC=OC，从而利用SSS判断出△OCD和△OCE全等。
15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是 ．
【答案】 或6.5
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，
∴S△ABD= BD AD= ×5×5= ，∠B=45°
∵PQ⊥BC，
∴BP=PQ，
设BP=x，则PQ=x，
∵CD=3，
∴S△DCQ= ×3x=，
S△AQD=S△ABD﹣S△BQD= ﹣ ×5×x= ﹣ x，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴= ﹣ x，
解得：x= ，
②如图，
当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴Q'P'∥AD
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'=CQ'
∴DP'=CP'= CD=1.5
∵AD=BD=5，
∴BP'=BD+DP'=6.5，
综上所述，线段BP的长度是 或6.5．
故答案为 或6.5
【分析】①点Q在AB边上时，根据等腰直角三角形的性质得出∠B=45°，进而判断出三角形BPQ是等腰直角三角形故BP=PQ，设BP=x，则PQ=x，根据三角形的面积等于底乘以高表示出S△DCQ，由S△AQD=S△ABD﹣S△BQD表示出S△AQD，再根据△ADQ与△CDQ的面积相等，建立方程，求解得出x的值，②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出Q'P'∥AD，由△ADQ与△CDQ的面积相等，根据同高等底的三角形面积相等得出AQ'=CQ'根据等腰三角形的三线合一得出DP'=CP'= CD=1.5，然后根据线段的和差即可算出答案。
16．（2017七下·西城期中）如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为 ．
【答案】17.5°；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=40°，AB=A1B，
∴∠BA1A= (180°-40°)=70°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=°∠BA1A=°×70°=35°；
同理可得，∠DA3A2= ×70°=17.5°，∠EA4A3= ×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数= ．
【分析】先利用三角形内角和定理及等腰三角形两底角相等，求得∠BA1A，再利用三角形外角等于与其不相等的两个内角和求得∠CA2A1，先求得前几个角的度数，即归纳出第n个角的度数.
三、解答题
17．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【答案】（1）解：如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）解：如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出AB的垂直平分线，交BC于点P，故BP=PA，根据线段的和差及等量代换由BC=BP+PC=PA+PC得出结论；
（2）在BC上任取一点D，但满足BD＜DC，过点D作BC的垂线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧交垂线于点E，连接EC，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出EC的垂直平分线，交CD于点F，故EF=FC，则Rt△DEF即为所求。
18．如图，△ABC中，∠C=70°，AD、BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，
（1）求∠D的度数；
（2）若去掉∠C=70°这个条件，试写出∠C与∠D之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图，∵∠C=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°﹣70°=110°，
∴∠EAB+∠FBA=360°﹣110°=250°，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=125°，
∴∠D=180°﹣125°=55°
（2）解：由题意可得，∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，∴∠EAB+∠FBA=360°﹣（∠CAB+∠CBA），=360°﹣（180°﹣∠C），
=180°+∠C，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA），= （180°+∠C），
=90°+ ∠C，
∴∠D=180°﹣（90°+ ∠C），=90°﹣ ∠C．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠CAB+∠CBA的度数，根据平角的定义及角的和差得出∠EAB+∠FBA的度数，根据角平分线的定义得出∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=125°，再根据三角形的内角和算出∠D的度数；
（2）根据三角形的内角和得出∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，根据平角的定义及角的和差得出∠EAB+∠FBA=180°+∠C，根据角平分线的定义得出∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=90°+ ∠C，再根据三角形的内角和算出∠D=90°-∠C。
19．如图，已知点B，C，D，E 在同一直线上，且AB=AE，AC=AD，BD=CE．
求证：△ABC≌△AED．
【答案】证明：∵BD=CE，∴BD﹣CD=CE﹣CD，即BC=ED，在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED（SSS）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】由BD=CE，根据等式的性质得出BC=ED，然后利用SSS判断出△ABC≌△AED。
20．已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB，交CD于E，EF∥BC交AB于F，G为BC上一点，连接FG．
（1）求证：△AEC≌△AEF；
（2）若∠EFG=∠AEC，求证：FG∥AE．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACE=∠B，∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，
∴∠ACE=∠AFE，
∵∠EAC=∠EAF，AE=AE，
∴△AEC≌△AEF
（2）解：∵△AEC≌△AEF．∴∠AEC=∠AEF，
∵∠AEC=∠EFG，
∴∠AEF=∠EFG，
∴AE∥FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠ACE=∠B，根据二直线平行同位角相等得出∠AFE=∠B，故∠ACE=∠AFE，然后利用AAS判断出△AEC≌△AEF；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠AEC=∠AEF，又∠AEC=∠EFG，根据等量代换得出∠AEF=∠EFG，根据内错角相等，二直线平行得出AE∥FG．
21．如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明．①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，
已知：EG∥AF，（ ）=（ ），（ ）=（ ）
【答案】解：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA（等边对等角），∵∠BGE=∠BCA（已证），∴∠B=∠BGE（等量代换）．∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∵∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC．∴EG=CF．∵EG=BE，∴BE=CF．若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】开放性的命题，答案不唯一：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；根据二直线平行，内错角相等，同位角相等得出∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，根据等边对等角得出∠B=∠BCA，故∠B=∠BGE，根据等角对等边得出BE=EG，然后利用ASA判断出△DEG≌△DFC，根据全等三角形的对应边相等得出EG=CF，根据等量代换得出BE=CF．
22．如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
【答案】解：如图所示：点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故作出∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线，两线的交点就是所求的点P.
23．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°
（3）证明：延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中， ，∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA （AAS）∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BAC=∠DAE，然后利用SAS判断出△BAC≌△DAE，
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠E=45°，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠E=45°，根据三角形的内角和得出∠CAF=45°，然后根据角的和差，由∠FAE=∠FAC+∠CAE算出答案；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，首先利用SAS判断出△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得出AB=AG，∠ABF=∠G，AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，根据等量代换及等角的补角相等得出AG=AD，∠ABF=∠CDA，故∠G=∠CDA，然后利用AAS判断出△CGA≌△CDA，根据全等三角形对应边相等得出CG=CD，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
1 / 12018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷
一、选择题
1．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点E，D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（ ）
A．34° B．40° C．42° D．46°
4．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
6．在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（ ）
A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．不确定
7．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
8．（2018八上·建昌期末）已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（ ）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
9．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二、填空题
11．（2018·黔西南模拟）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为 ．
12．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 ．
13．如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= ．
14．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 ．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是 ．
16．（2017七下·西城期中）如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为 ．
三、解答题
17．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
18．如图，△ABC中，∠C=70°，AD、BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，
（1）求∠D的度数；
（2）若去掉∠C=70°这个条件，试写出∠C与∠D之间的数量关系．
19．如图，已知点B，C，D，E 在同一直线上，且AB=AE，AC=AD，BD=CE．
求证：△ABC≌△AED．
20．已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB，交CD于E，EF∥BC交AB于F，G为BC上一点，连接FG．
（1）求证：△AEC≌△AEF；
（2）若∠EFG=∠AEC，求证：FG∥AE．
21．如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明．①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，
已知：EG∥AF，（ ）=（ ），（ ）=（ ）
22．如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
23．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故答案为：A
【分析】连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，每个三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点角三角形的重心；过三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就叫三角形的高线，每个三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，直角三角形的一条高线再三角形的内部，两条与直角三角形的直角重合，钝角三角形的一条高线再三角形的内部，两条在三角形的外部，三线相交于一点，这点叫三角形的垂心；三角形一个内角的角平分线与它对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点叫三角形的内心，根据定义即可一一判断。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故答案为：C
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，根据三角形的内角和得出2x+y=180°﹣120°=60°①，x+2y=180°﹣102°=78°②，根据等式的性质，由①+②得3x+3y=138°，最后根据三角形的内角和及整体代入即可算出答案。
4．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=4，
∴BE=EC=4，
∵DE=2，
∴BD=BE﹣DE=4﹣2=2．
故答案为：A
【分析】根据三角形中线的定义得出BE=EC=4，然后根据线段的和差，由BD=BE﹣DE算出答案。
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，
∴∠ACD﹣∠ABC=36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD，∠EBC= ∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC= ∠ACD﹣ ∠ABC=18°．
故答案为：D
【分析】根据三角形的外角定理算出∠A的度数，根据角平分线的定义得出∠ECD= ∠ACD，∠EBC= ∠ABC，再根据三角形的外角定理由∠E=∠ECD﹣∠EBC算出答案。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm，AB=3cm
若是AB=DE，则可以推出两三角形全等
此处是EF与AB相等，设DE=3，则DE=EF，则∠D=∠E
显然与已知相违背，所以此假设不成立
所以两三角形一定不全等．故答案为：C
【分析】此题画出图形，在图形上标注出三个条件，会发现：虽然所给的两个三角形中有两个角对应相等，但所给的边不是对应边，其中一个三角形中所给的边是相等两角的夹边，另一个三角形中所给的边是其中一个角的对边，故不能判定两个三角形全等。
7．【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB=BD AC=EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故答案为：D
【分析】根据大角对大边，由∠C＜∠B，得出AB＜AC，根据作图过程可知AB=BD AC=EC，故BD＜CE，根据线段的和差及等式的性质即可得出结论BE＜CD．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DG是AB边的垂直平分线，
∴GA=GB，
△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，
故答案为：C.
【分析】已知DG是AB边的垂直平分线，则有GA=GB，△AGC的周长转化为AC+BC的长，又知AB=20，即可求出△ABC的周长。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故答案为：A
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD=30°，∠C=70°，根据角平分线的定义得出∠BAE=25°，根据角的和差得出∠DAE=5°，从而可以算出答案。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
11．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；
当腰为5时，2+5＞5，所以能构成三角形，周长是：2+5+5=12．
故答案为：12.
【分析】分两种情况：当腰为2时，三角形的三边长分别是2，2，5；当腰为5时，三角形的三边长分别是2，5，5；根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，再根据周长的计算方法算出答案。
12．【答案】10°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，
∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE= ∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。
13．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBA+∠DCA=150°﹣90°=60°．
故答案为：60°
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB的度数，∠DBC+∠DCB的度数，再根据角的和差，由∠DBA+∠DCA=∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）再利用整体代入即可算出答案。
14．【答案】SSS
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，
又∵OC=OC，
∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等，
故答案为：SSS
【分析】根据作出过程可知：CD=CE，OD=OE，又由于OC=OC，从而利用SSS判断出△OCD和△OCE全等。
15．【答案】 或6.5
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=5，CD=3，
∴S△ABD= BD AD= ×5×5= ，∠B=45°
∵PQ⊥BC，
∴BP=PQ，
设BP=x，则PQ=x，
∵CD=3，
∴S△DCQ= ×3x=，
S△AQD=S△ABD﹣S△BQD= ﹣ ×5×x= ﹣ x，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴= ﹣ x，
解得：x= ，
②如图，
当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴Q'P'∥AD
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'=CQ'
∴DP'=CP'= CD=1.5
∵AD=BD=5，
∴BP'=BD+DP'=6.5，
综上所述，线段BP的长度是 或6.5．
故答案为 或6.5
【分析】①点Q在AB边上时，根据等腰直角三角形的性质得出∠B=45°，进而判断出三角形BPQ是等腰直角三角形故BP=PQ，设BP=x，则PQ=x，根据三角形的面积等于底乘以高表示出S△DCQ，由S△AQD=S△ABD﹣S△BQD表示出S△AQD，再根据△ADQ与△CDQ的面积相等，建立方程，求解得出x的值，②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出Q'P'∥AD，由△ADQ与△CDQ的面积相等，根据同高等底的三角形面积相等得出AQ'=CQ'根据等腰三角形的三线合一得出DP'=CP'= CD=1.5，然后根据线段的和差即可算出答案。
16．【答案】17.5°；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=40°，AB=A1B，
∴∠BA1A= (180°-40°)=70°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=°∠BA1A=°×70°=35°；
同理可得，∠DA3A2= ×70°=17.5°，∠EA4A3= ×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数= ．
【分析】先利用三角形内角和定理及等腰三角形两底角相等，求得∠BA1A，再利用三角形外角等于与其不相等的两个内角和求得∠CA2A1，先求得前几个角的度数，即归纳出第n个角的度数.
17．【答案】（1）解：如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）解：如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出AB的垂直平分线，交BC于点P，故BP=PA，根据线段的和差及等量代换由BC=BP+PC=PA+PC得出结论；
（2）在BC上任取一点D，但满足BD＜DC，过点D作BC的垂线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧交垂线于点E，连接EC，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等作出EC的垂直平分线，交CD于点F，故EF=FC，则Rt△DEF即为所求。
18．【答案】（1）解：如图，∵∠C=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°﹣70°=110°，
∴∠EAB+∠FBA=360°﹣110°=250°，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=125°，
∴∠D=180°﹣125°=55°
（2）解：由题意可得，∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，∴∠EAB+∠FBA=360°﹣（∠CAB+∠CBA），=360°﹣（180°﹣∠C），
=180°+∠C，
∵AD、BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA），= （180°+∠C），
=90°+ ∠C，
∴∠D=180°﹣（90°+ ∠C），=90°﹣ ∠C．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠CAB+∠CBA的度数，根据平角的定义及角的和差得出∠EAB+∠FBA的度数，根据角平分线的定义得出∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=125°，再根据三角形的内角和算出∠D的度数；
（2）根据三角形的内角和得出∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，根据平角的定义及角的和差得出∠EAB+∠FBA=180°+∠C，根据角平分线的定义得出∠DAB+∠DBA= （∠EAB+∠FBA）=90°+ ∠C，再根据三角形的内角和算出∠D=90°-∠C。
19．【答案】证明：∵BD=CE，∴BD﹣CD=CE﹣CD，即BC=ED，在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED（SSS）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】由BD=CE，根据等式的性质得出BC=ED，然后利用SSS判断出△ABC≌△AED。
20．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACE=∠B，∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，
∴∠ACE=∠AFE，
∵∠EAC=∠EAF，AE=AE，
∴△AEC≌△AEF
（2）解：∵△AEC≌△AEF．∴∠AEC=∠AEF，
∵∠AEC=∠EFG，
∴∠AEF=∠EFG，
∴AE∥FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠ACE=∠B，根据二直线平行同位角相等得出∠AFE=∠B，故∠ACE=∠AFE，然后利用AAS判断出△AEC≌△AEF；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠AEC=∠AEF，又∠AEC=∠EFG，根据等量代换得出∠AEF=∠EFG，根据内错角相等，二直线平行得出AE∥FG．
21．【答案】解：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA（等边对等角），∵∠BGE=∠BCA（已证），∴∠B=∠BGE（等量代换）．∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∵∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC．∴EG=CF．∵EG=BE，∴BE=CF．若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】开放性的命题，答案不唯一：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；根据二直线平行，内错角相等，同位角相等得出∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，根据等边对等角得出∠B=∠BCA，故∠B=∠BGE，根据等角对等边得出BE=EG，然后利用ASA判断出△DEG≌△DFC，根据全等三角形的对应边相等得出EG=CF，根据等量代换得出BE=CF．
22．【答案】解：如图所示：点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故作出∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线，两线的交点就是所求的点P.
23．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°
（3）证明：延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中， ，∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA （AAS）∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BAC=∠DAE，然后利用SAS判断出△BAC≌△DAE，
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠E=45°，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠E=45°，根据三角形的内角和得出∠CAF=45°，然后根据角的和差，由∠FAE=∠FAC+∠CAE算出答案；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，首先利用SAS判断出△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得出AB=AG，∠ABF=∠G，AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，根据等量代换及等角的补角相等得出AG=AD，∠ABF=∠CDA，故∠G=∠CDA，然后利用AAS判断出△CGA≌△CDA，根据全等三角形对应边相等得出CG=CD，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
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