2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.3等腰三角形的性质定理（2） 同步训练
一、选择题
1．下列说法正确是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，不符合题意．
B、等角对等边必须在三角形中．不符合题意．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，不符合题意．
D、等腰三角形的两个底角相等．符合题意．
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，在同一个三角形中等角对等边，等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，钝角，故等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，等腰三角形的两底角相等，根据性质即可一一判断。
2．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．54°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠EBD=x°，
∵EB=DE，
∴∠BDE=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故答案为：C
【分析】设∠EBD=x°，根据等边对等角得出∠BDE=∠EBD=x°，根据三角形的外角定理得出∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，根据等边对等角得出∠A=∠AED=2x°，根据三角形的外角定理得出∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，根据等边对等角得出∠C=∠BDC=3x°，∠ABC=∠C=3x°，根据三角形的内角和建立方程，求解算出答案。
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，
∴①正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴③正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，④正确．
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的三线合一，由AB=AC，AD是∠BAC的平分线，得出AD⊥BC，BD=CD，即AD是BC的中垂线，根据中垂线的性质即可得出线段AD上任一点到点C、点B的距离相等；根据角平分线上的点，到角两边的距离相等得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等；根据等腰三角形的两底角相等，及垂直的定义三角形的内角和可以得出∠BDE=∠CDF。
4．如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】先以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；
以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；
作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，
故满足条件的点P有4个．
故答案为：C
【分析】①以AB为腰，B为顶角顶点，以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；②以AB为腰，A为顶角顶点以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；③以AB为底，作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，故这样的等腰三角形有四个。
5．如图，AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，则图中全等三角形的对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，
∴AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠ADF=90°，BE=CF，
在△ABE和△ACF中
AB=AC ∠B=∠C BE=CF
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴根据SSS可推出△AED≌△AFD，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴CE=BF，
∴根据SSS可推出△ABF≌△ACE，
利用SAS可证明△ADB≌△ADC
即有4对全等三角形，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，根据等式的性质进而得出BE=CF，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据SSS可推出△AED≌△AFD，根据SSS可推出△ABF≌△ACE，利用SAS可证明△ADB≌△ADC，从而得出答案。
二、填空题
6．等腰三角形的顶角等于50°，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ．
【答案】65°；80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）设一个底角度数为x°，则另一个底角也为x°，
∵顶角等于50°，
∴50°+2x°=180°，
解得：x=65°；
（ 2 ）设顶角为y°，
∵等腰三角形的一个底角为50°，
∴另一个底角也为50°，50°+50°+y°=180°，
解得：y°=80°．
故答案为：65°，80°
【分析】（1）设一个底角度数为x°，根据等腰三角形的两底角相等，则另一个底角也为x°，由三角形的内角和列出方程，求解即可；（ 2 ）设顶角为y°，根据等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的一个底角为50°，另一个底角也为50°，由三角形的内角和列出方程，求解即可。
7．如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于 度．
【答案】30
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，
∴∠DBC=（180°-90°）÷3=30°．
∴∠ADB=30°．
故答案为：30
【分析】根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠DBC，根据三角形的内角和及∠ABC=∠DCB，算出∠DBC的度数，从而得出答案。
8．如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是 三角形（填按边分类的所属类型）．
【答案】等腰
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠DCO=∠BOC，根据角平分线的定义得出∠DOC=∠BOC=∠DCO，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出结论。
9．在△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．
将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题： ．
【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC或者在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC
【知识点】全等三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】①在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
可以证明△ABC≌△ADC（SAS），再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC．
②在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
可以证明△ABC≌△ADC（SSS），再利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAC．
故填在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC
【分析】此题是一道开放性的命题，可以把①②作为题设，③作为结论；也可以把①③作为题设，②作为结论；还可以把②③作为题设，①作为结论，故可以写出三个命题，再根据已有的知识经验判断出各个命题的是否正确即可得出答案。
10．如图，①请你填写一个适当的条件： ，使AD∥BC．②若AD∥BC，△ABD是等腰三角形，当∠ABC=70°时，∠ADB= °
【答案】∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°；35
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①∵内错角相等，两直线平行，
∴∠ADB=∠DBC（或∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°），则AD∥BC．
②∵△ABD是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABD=35°，
故答案为：∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°
【分析】①此题是一道开放性的命题，根据平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可填出答案；
②根据等腰三角形的两底角相等得出∠ABD=∠ADB，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠DBC，故BD平分∠ABC，根据角平分线的定义即可算出答案。
三、解答题
11．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度。
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。
【答案】（1）证明：作图如下：
（2）解：CM=2BM证明：连接AM，则BM=AM∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°
∴AM= CM，
故BM= CM，即CM=2BM
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）分别以A，B两点为圆心，大于AB长度的一半为半径，画弧，两弧在AB的两侧分别相交，过两弧的交点作直线交BC于点M，交AB于点N，MN就是所求的直线；
（2）CM=2BM，理由如下：连接AM，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BM=AM，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和得出∠B=∠C=30°，∠MAB=∠B=30°，根据角的和差得出∠MAC=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AM= CM，根据等量代换即可得出答案。
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数。
【答案】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A =50°∴∠C=∠B=65°∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠ACD=40°∴∠BCD=25°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等得出∠C=∠B=65°根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余算出∠ACD=40°，根据角的和差得出答案。
四、探究题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点P 是BC边上的一点，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC于E，CM⊥AB 于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。
【答案】解：PD+PE=CM，证明连接AP因为AB=ACPD+PE=CM
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】PD+PE=CM，连接AP根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABP+S△AC得出S△ABC=AB×(PD+PE)
1 / 12018-2019学年数学浙教版八年级上册2.3等腰三角形的性质定理（2） 同步训练
一、选择题
1．下列说法正确是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合
B．等角对等边
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形两个底角相等
2．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．54°
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，则图中全等三角形的对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
6．等腰三角形的顶角等于50°，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ．
7．如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于 度．
8．如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是 三角形（填按边分类的所属类型）．
9．在△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．
将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题： ．
10．如图，①请你填写一个适当的条件： ，使AD∥BC．②若AD∥BC，△ABD是等腰三角形，当∠ABC=70°时，∠ADB= °
三、解答题
11．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120度。
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数。
四、探究题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点P 是BC边上的一点，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC于E，CM⊥AB 于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，不符合题意．
B、等角对等边必须在三角形中．不符合题意．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，不符合题意．
D、等腰三角形的两个底角相等．符合题意．
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，在同一个三角形中等角对等边，等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，钝角，故等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，等腰三角形的两底角相等，根据性质即可一一判断。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠EBD=x°，
∵EB=DE，
∴∠BDE=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．
故答案为：C
【分析】设∠EBD=x°，根据等边对等角得出∠BDE=∠EBD=x°，根据三角形的外角定理得出∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，根据等边对等角得出∠A=∠AED=2x°，根据三角形的外角定理得出∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，根据等边对等角得出∠C=∠BDC=3x°，∠ABC=∠C=3x°，根据三角形的内角和建立方程，求解算出答案。
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，
∴①正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴③正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，④正确．
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的三线合一，由AB=AC，AD是∠BAC的平分线，得出AD⊥BC，BD=CD，即AD是BC的中垂线，根据中垂线的性质即可得出线段AD上任一点到点C、点B的距离相等；根据角平分线上的点，到角两边的距离相等得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等；根据等腰三角形的两底角相等，及垂直的定义三角形的内角和可以得出∠BDE=∠CDF。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】先以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；
以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；
作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，
故满足条件的点P有4个．
故答案为：C
【分析】①以AB为腰，B为顶角顶点，以B为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有两个交点；②以AB为腰，A为顶角顶点以A为圆心，以AB为半径画圆与直线BC有一个交点；③以AB为底，作线段AB的垂直平分线与直线BC有一个交点，故这样的等腰三角形有四个。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，BE=CF，AD是△AEF的中线，
∴AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠ADF=90°，BE=CF，
在△ABE和△ACF中
AB=AC ∠B=∠C BE=CF
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴根据SSS可推出△AED≌△AFD，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴CE=BF，
∴根据SSS可推出△ABF≌△ACE，
利用SAS可证明△ADB≌△ADC
即有4对全等三角形，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，DE=DF，DB=DC，∠B=∠C，根据等式的性质进而得出BE=CF，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据SSS可推出△AED≌△AFD，根据SSS可推出△ABF≌△ACE，利用SAS可证明△ADB≌△ADC，从而得出答案。
6．【答案】65°；80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）设一个底角度数为x°，则另一个底角也为x°，
∵顶角等于50°，
∴50°+2x°=180°，
解得：x=65°；
（ 2 ）设顶角为y°，
∵等腰三角形的一个底角为50°，
∴另一个底角也为50°，50°+50°+y°=180°，
解得：y°=80°．
故答案为：65°，80°
【分析】（1）设一个底角度数为x°，根据等腰三角形的两底角相等，则另一个底角也为x°，由三角形的内角和列出方程，求解即可；（ 2 ）设顶角为y°，根据等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的一个底角为50°，另一个底角也为50°，由三角形的内角和列出方程，求解即可。
7．【答案】30
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，
∴∠DBC=（180°-90°）÷3=30°．
∴∠ADB=30°．
故答案为：30
【分析】根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠DBC，根据三角形的内角和及∠ABC=∠DCB，算出∠DBC的度数，从而得出答案。
8．【答案】等腰
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠DCO=∠BOC，根据角平分线的定义得出∠DOC=∠BOC=∠DCO，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出结论。
9．【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC或者在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC
【知识点】全等三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】①在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
可以证明△ABC≌△ADC（SAS），再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC．
②在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC．
可以证明△ABC≌△ADC（SSS），再利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DAC．
故填在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC
【分析】此题是一道开放性的命题，可以把①②作为题设，③作为结论；也可以把①③作为题设，②作为结论；还可以把②③作为题设，①作为结论，故可以写出三个命题，再根据已有的知识经验判断出各个命题的是否正确即可得出答案。
10．【答案】∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°；35
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①∵内错角相等，两直线平行，
∴∠ADB=∠DBC（或∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°），则AD∥BC．
②∵△ABD是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠ABC=70°，
∴∠ABD=35°，
故答案为：∠FAD=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠DAB+∠ABC=180°，35°
【分析】①此题是一道开放性的命题，根据平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可填出答案；
②根据等腰三角形的两底角相等得出∠ABD=∠ADB，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠DBC，故BD平分∠ABC，根据角平分线的定义即可算出答案。
11．【答案】（1）证明：作图如下：
（2）解：CM=2BM证明：连接AM，则BM=AM∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°
∴AM= CM，
故BM= CM，即CM=2BM
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）分别以A，B两点为圆心，大于AB长度的一半为半径，画弧，两弧在AB的两侧分别相交，过两弧的交点作直线交BC于点M，交AB于点N，MN就是所求的直线；
（2）CM=2BM，理由如下：连接AM，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BM=AM，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和得出∠B=∠C=30°，∠MAB=∠B=30°，根据角的和差得出∠MAC=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AM= CM，根据等量代换即可得出答案。
12．【答案】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A =50°∴∠C=∠B=65°∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠ACD=40°∴∠BCD=25°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等得出∠C=∠B=65°根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余算出∠ACD=40°，根据角的和差得出答案。
13．【答案】解：PD+PE=CM，证明连接AP因为AB=ACPD+PE=CM
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】PD+PE=CM，连接AP根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABP+S△AC得出S△ABC=AB×(PD+PE)
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