2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.7探索勾股定理（1） 同步训练
一、选择题
1．有一对角线长为200cm的长方形黑板，小明测得长为160cm，那么这块黑板的宽为（ ）
A．180cm B．120cm C．160cm D．64cm
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
在矩形ABCD中，AC=200cm，CD=160cm．
在Rt△ADC中，根据勾股定理知AD= = 20（cm），即这块黑板的宽为120cm．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ADC中，根据勾股定理，由AD=即可算出答案。
2．在△ABC中，∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．a2-b2=c2 D．a2-c2=b2
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，
∴由b2+c2=a2或a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立，
所以选项A符合题意，B、C、D不符合题意．
故答案为：A
【分析】在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，根据勾股定理即可得出由b2+c2=a2根据等式的性质进而得出a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立。
3．一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；
如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF．
于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2；
整理得PD2+BF2=AF2+FC2；
于是72+42=12+FC2；
解得FC=8．
故答案为：A
【分析】根据矩形内任意一点到相对的两个顶点的距离的平方和相等，即如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF，于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2，整理得PD2+BF2=AF2+FC2，从而代入值即可算出答案。
4．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的周长是（ ）
A．175 B．75 C．625 D．100
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】因为以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，则边长为 以斜边长的平方= =625
正方形A的边长=斜边长=25，
故正方形A的周长为25×4=100．
故答案为：D
【分析】以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，故根据正方形的边长等于面积的算数平方根，算出直角三角形的两直角边长，根据勾股定理即可算出直角三角形的斜边的长，再根据正方形的周长计算方法即可算出答案。
5．如图是某地的长方形广场的示意图，如果小红要从点A走到点C，那么他至少要走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°；
Rt△ACD中，AD=60m，CD=80m；
根据勾股定理，得：AC= 60 +80 =100m；
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质得出∠D=90°；Rt△ACD中根据勾股定理，由AC=即可直接算出答案。
二、填空题
6．一个直角三角形的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边长为 cm。
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得：斜边长 =13
【分析】由勾股定理，直角三角形的斜边的长，等于两直角边平方和的算数平方根，即可算出答案。
7．如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是 米．
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意得，AC=5米，BC=4米，
在Rt△ABC中，AB= =3米
故答案为：3
【分析】根据勾股定理由AB=即可直接算出答案。
8．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为 m．
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= = 米．
小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为
=2 米
【分析】小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程，其实质就是线段AB、BC两段的和，AB、BC分别看作直角三角形斜边，利用地砖的特点，根据勾股定理即可算出AB，BC的长，从而得出答案。
9．如图，∠A=15°，∠C=90°，DE垂直平分AB交AC于E，若BC=4cm，则AC= cm．
【答案】8+4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】因为DE垂直平分AB交AC于E，可得∠BEC=30°，
又BC=4cm，所以BE=8cm，即AE=8cm，EC=4 cm，所以AC=（8+4 ）cm
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE=BE，根据等边对等角得出∠A=∠B=15°，根据三角形的外角定理得出∠BEC=30°，根据含30°直角三角形边之间的关系得出BE的长，根据勾股定理算出EC的长，根据线段的和差即可算出答案。
10．某花园小区有一空地 （如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB=13m，BC=10m，BC边上的中线AD=12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要 元．
【答案】3000
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵AD是中线，AB=13m，BC=10m，
∴BD= BC=5m．
∵5 +12 =13 ，即BD +AD =AB ，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
∴S△ABC= ×AD×BC= ×10×12=60（m2），
∵种植每平方米花草需要50元，
∴种植这块三角形空地需要：50×60=3000（元）．
故答案为：3000
【分析】根据三角形中线的定义得出BD= BC=5m，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，根据三角形的面积公式可以算出S△ABC，从而得出答案。
三、解答题
11．如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积。
【答案】解：如图，在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m∴AC2+DC2=169，AD =169∴AC2+DC2=AD2∠ACD=90°四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC= AB×BC+ AC×DC= ×3×4+ ×5×12=36（m2）答：这块草坪的面积是36m2。
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，在△ADC中，由AC2+DC2=AD2判断出△ADC是直角三角形，且∠ACD=90°，然后由四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC算出答案。
12．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+( )2=(x+1)2，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，从而得出答案。
四、证明题
13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2 =AP2+BQ2。
【答案】证明：如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，
则∠DCQ=∠PCQ=45°，
于是可证△DCB≌△PCA（SAS），
得AP=BD，∠DBC=∠A=45°，
∴∠DBQ=90°，
再证△DCQ≌△PCQ（SAS），
得DQ=PQ，
Rt△DBQ中，DQ =BQ +BD
即PQ2=AP2+BQ2。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，∠DCQ=∠PCQ=45°，于是利用SAS可证△DCB≌△PCA，根据全等三角形的性质得出AP=BD，∠DBC=∠A=45°，再利用SAS判断出△DCQ≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等得出DQ=PQ，Rt△DBQ中，利用勾股定理得出DQ =BQ +BD ，再等量代换即可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学浙教版八年级上册2.7探索勾股定理（1） 同步训练
一、选择题
1．有一对角线长为200cm的长方形黑板，小明测得长为160cm，那么这块黑板的宽为（ ）
A．180cm B．120cm C．160cm D．64cm
2．在△ABC中，∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．a2-b2=c2 D．a2-c2=b2
3．一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
4．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的周长是（ ）
A．175 B．75 C．625 D．100
5．如图是某地的长方形广场的示意图，如果小红要从点A走到点C，那么他至少要走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
二、填空题
6．一个直角三角形的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边长为 cm。
7．如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是 米．
8．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为 m．
9．如图，∠A=15°，∠C=90°，DE垂直平分AB交AC于E，若BC=4cm，则AC= cm．
10．某花园小区有一空地 （如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB=13m，BC=10m，BC边上的中线AD=12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要 元．
三、解答题
11．如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积。
12．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
四、证明题
13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q在斜边上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2 =AP2+BQ2。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图，
在矩形ABCD中，AC=200cm，CD=160cm．
在Rt△ADC中，根据勾股定理知AD= = 20（cm），即这块黑板的宽为120cm．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ADC中，根据勾股定理，由AD=即可算出答案。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，
∴由b2+c2=a2或a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立，
所以选项A符合题意，B、C、D不符合题意．
故答案为：A
【分析】在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，根据勾股定理即可得出由b2+c2=a2根据等式的性质进而得出a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；
如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF．
于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2；
整理得PD2+BF2=AF2+FC2；
于是72+42=12+FC2；
解得FC=8．
故答案为：A
【分析】根据矩形内任意一点到相对的两个顶点的距离的平方和相等，即如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF，于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2，整理得PD2+BF2=AF2+FC2，从而代入值即可算出答案。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】因为以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，则边长为 以斜边长的平方= =625
正方形A的边长=斜边长=25，
故正方形A的周长为25×4=100．
故答案为：D
【分析】以两个直角边为边长的正方形面积为225，400，故根据正方形的边长等于面积的算数平方根，算出直角三角形的两直角边长，根据勾股定理即可算出直角三角形的斜边的长，再根据正方形的周长计算方法即可算出答案。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°；
Rt△ACD中，AD=60m，CD=80m；
根据勾股定理，得：AC= 60 +80 =100m；
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质得出∠D=90°；Rt△ACD中根据勾股定理，由AC=即可直接算出答案。
6．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得：斜边长 =13
【分析】由勾股定理，直角三角形的斜边的长，等于两直角边平方和的算数平方根，即可算出答案。
7．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意得，AC=5米，BC=4米，
在Rt△ABC中，AB= =3米
故答案为：3
【分析】根据勾股定理由AB=即可直接算出答案。
8．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= = 米．
小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为
=2 米
【分析】小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程，其实质就是线段AB、BC两段的和，AB、BC分别看作直角三角形斜边，利用地砖的特点，根据勾股定理即可算出AB，BC的长，从而得出答案。
9．【答案】8+4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】因为DE垂直平分AB交AC于E，可得∠BEC=30°，
又BC=4cm，所以BE=8cm，即AE=8cm，EC=4 cm，所以AC=（8+4 ）cm
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE=BE，根据等边对等角得出∠A=∠B=15°，根据三角形的外角定理得出∠BEC=30°，根据含30°直角三角形边之间的关系得出BE的长，根据勾股定理算出EC的长，根据线段的和差即可算出答案。
10．【答案】3000
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵AD是中线，AB=13m，BC=10m，
∴BD= BC=5m．
∵5 +12 =13 ，即BD +AD =AB ，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
∴S△ABC= ×AD×BC= ×10×12=60（m2），
∵种植每平方米花草需要50元，
∴种植这块三角形空地需要：50×60=3000（元）．
故答案为：3000
【分析】根据三角形中线的定义得出BD= BC=5m，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，根据三角形的面积公式可以算出S△ABC，从而得出答案。
11．【答案】解：如图，在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m∴AC2+DC2=169，AD =169∴AC2+DC2=AD2∠ACD=90°四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC= AB×BC+ AC×DC= ×3×4+ ×5×12=36（m2）答：这块草坪的面积是36m2。
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，在△ADC中，由AC2+DC2=AD2判断出△ADC是直角三角形，且∠ACD=90°，然后由四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC算出答案。
12．【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+( )2=(x+1)2，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，从而得出答案。
13．【答案】证明：如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，
则∠DCQ=∠PCQ=45°，
于是可证△DCB≌△PCA（SAS），
得AP=BD，∠DBC=∠A=45°，
∴∠DBQ=90°，
再证△DCQ≌△PCQ（SAS），
得DQ=PQ，
Rt△DBQ中，DQ =BQ +BD
即PQ2=AP2+BQ2。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】如图，在PC的右侧作CP的垂线，并截取CD=CP，连接BD，QD，∠DCQ=∠PCQ=45°，于是利用SAS可证△DCB≌△PCA，根据全等三角形的性质得出AP=BD，∠DBC=∠A=45°，再利用SAS判断出△DCQ≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等得出DQ=PQ，Rt△DBQ中，利用勾股定理得出DQ =BQ +BD ，再等量代换即可得出答案。
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