2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.3证明（2） 同步训练
一、选择题
1．如图，∠1=∠2，DE∥BC，∠B=75°，∠ACB=44°，那么∠BDC为（ ）
A．83° B．88° C．90° D．78°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠1=∠2，∠ACB=44°，
∴∠2= ∠ACB= ×44°=22°，
∵∠B=75°，
∴∠BDC=180°-∠2-∠B=180°-22°-75°=83°．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和等于180°可求解。
2．（2016八上·封开期末）点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠A＞∠1＞∠2
C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知∠1＞∠2＞∠A
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；判断即可.
3．如图，下列关于外角的说法正确的是（ ）
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角
【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】由外角的定义知∠GBA是△ABC的外角
【分析】由外角的定义可求解。
4．如图所示的图形中x的值是（ ）。
A．60° B．40° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】由三角形的外角性质得：（x+70）=x+（x+10），所以x=60°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可列方程求解。
5．下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点； ②三角形的中线都是过顶点平分对边的直线；③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形； ④三角形的一个外角大于与它不相邻的每个内角；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】A、错误，只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部；
B、错误，三角形中线是过顶点平分对边的线段；
C、错误，由三角形内角和是180°得，该三角形是等边三角形
D、正确，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
故答案为：B
【分析】（1）锐角三角形的三条高在三角形的内部，且相交于一点；
（2）三角形的中线、高、角平分线是线段，不是直线；
（3）三个角相等的三角形是等边三角形；
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
二、填空题
6．一个三角形的三个外角中，最多有 个角是锐角？
【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角。
【分析】因为在三角形中，当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，而三角形中最多只能有一个钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角。
7．若一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角的度数之比为
【答案】5：3：1
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵三角形的外角和为360°
∴360÷（2+3+4）=40°
2×40°=80°
3×40°=120°
4×40°=160°
180°-80°=100°
180°-120°=60°
180°-160°=20°
∴对应的3个内角比为：100°：60°：20°=5：3：1
【分析】根据任意多边形的外角和为360°和已知条件可列方程求解。
8．请在括号内填写下列证明过程的依据：
已知：如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC 的平分线。
求证：∠A=2∠H
证明：∵∠ACD是∠ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠A
∠2是△BCH的一个外角，
∠2=∠1+∠H（理由同上）
∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1） （等式的性质）
而∠H=∠2-∠1 （等式的性质）
∴∠A=2∠H
【答案】三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】根据证明步骤得，每一步的依据是三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换
【分析】由角平分线的性质可得∠2= ∠ACD，∠1=∠ABC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠2=∠1+∠BEC，∠ACD=∠A+∠ABC，代入整理即可求得∠A=2∠BEC。
9．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于 度时，就可判定此零件不合格？
【答案】143
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】延长CD交AB于E．
∵∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，
∴∠BDC=∠A+∠C+∠B=90°+21°+32°=143°．
故当检验工人量得∠BDC≠143°时，就可判定此零件不合格．
【分析】由题意补全图形，延长CD交AB于E。根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，再根据已知条件可得∠BDC=∠A+∠C+∠B即可求解。
10．如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是 ．
【答案】36°，72°，72°
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【解答】∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴x+4x=180°，
解得x=36°，
4x=144°，
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°．
故答案为：36°，72°，72°．
【分析】由题意可设可设这一内角为x，则它的外角为4x，根据邻补角的性质可列方程求得x的值，由题意和三角形内角和定理即可求得三角形各内角的度数。
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC∶∠BCA=3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数。
【答案】解：设∠BAC=3k，∠BCA=2k，∵∠B=70°∴3k+2k=110°，k=22°∴∠BAC=66°，∠ACD=35°，∴∠DAC=90°-35°=55°∴∠BAE=180°-66°-55°=59°
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠ACB=110°，∠DAC=55°，再由∠BAC∶∠BCA=3∶2可求得∠BAC、∠ACB的度数；则∠BAE=180°-∠BAC-∠DAC。
12．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点距离相等”．
【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C，AB=AC．又点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，∴BE=CF，BD=CD．∴△BDE≌△CDF．∴DE=DF．故命题得证．
【知识点】全等三角形的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证。用边角边易证△BDE≌△CDF，于是可得DE=DF。
13．证明“三个角都相等的三角形是等边三角形”
【答案】证明：如图，作BC边上的高AD.已知∠B=∠C，AD⊥BC，AD边共用所以△ABD≌△ADC所以AB=AC.同理可得△ABC三边相等.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】作BC边上的高AD.用角角边易证△ABD≌△ADC，则可得AB=AC；同理可证AC=BC，于是可得AB=AC=BC，根据等边三角形的定义可求解。
14．如图
（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D。
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ABC的外角的角平分线，它们相交于点D，猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）解：如图，①bd，cd是∠abc和∠acb和∠acb的角平分线且相交于点d，请猜想∠a与∠bdc之间的数量关系，并说明理由；∠abc+∠acb+∠a=180° ∠abc+ ∠acb+∠bdc=180°
得2∠bdc-∠a=180°
即∠bdc= ∠a+90°
（2）解：如图②，bd，cd是∠abc和∠acb外角的平分线且相交于点d，请直接写出∠d与∠a之间的数量关系；∠bdc=90°- ∠a
（3）解：如图③，bd为△的角平分线，cd为∠abc的外角∠acf的角平分线，它们相交于点d，请直接写出∠a与∠d之间的数量关系∠bdc= ∠a
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB），根据三角形内角和定理可得：（∠ABC+∠ACB）=180°-∠A，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A），整理即可求解；
（2）由角平分线的性质可得∠DBC+∠DCB=（∠CBE+∠BCF），根据三角形内角和定理和邻补角的性质即可求解；
（3）由角平分线的性质可得∠1=∠ACE，∠2=∠ABC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠1=∠2+∠BDC，∠ACE=∠A+∠ABC，代入整理即可求得∠BDC=∠A。
四、应用题
15．如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？
【答案】解：如图， 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，则∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 则∠FAB=30°，∠CAF=25°，∠EBA=30°，∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣30°﹣25°=80°．
答：从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，即∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版八年级上册1.3证明（2） 同步训练
一、选择题
1．如图，∠1=∠2，DE∥BC，∠B=75°，∠ACB=44°，那么∠BDC为（ ）
A．83° B．88° C．90° D．78°
2．（2016八上·封开期末）点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠A＞∠1＞∠2
C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A
3．如图，下列关于外角的说法正确的是（ ）
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角
4．如图所示的图形中x的值是（ ）。
A．60° B．40° C．70° D．80°
5．下列说法中正确的个数有（ ）
①三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点； ②三角形的中线都是过顶点平分对边的直线；③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形； ④三角形的一个外角大于与它不相邻的每个内角；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
6．一个三角形的三个外角中，最多有 个角是锐角？
7．若一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角的度数之比为
8．请在括号内填写下列证明过程的依据：
已知：如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC 的平分线。
求证：∠A=2∠H
证明：∵∠ACD是∠ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠ABC+∠A
∠2是△BCH的一个外角，
∠2=∠1+∠H（理由同上）
∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1） （等式的性质）
而∠H=∠2-∠1 （等式的性质）
∴∠A=2∠H
9．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于 度时，就可判定此零件不合格？
10．如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC∶∠BCA=3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数。
12．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的中点距离相等”．
13．证明“三个角都相等的三角形是等边三角形”
14．如图
（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D。
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ABC的外角的角平分线，它们相交于点D，猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由。
四、应用题
15．如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠1=∠2，∠ACB=44°，
∴∠2= ∠ACB= ×44°=22°，
∵∠B=75°，
∴∠BDC=180°-∠2-∠B=180°-22°-75°=83°．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和等于180°可求解。
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知∠1＞∠2＞∠A
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】由外角的定义知∠GBA是△ABC的外角
【分析】由外角的定义可求解。
4．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】由三角形的外角性质得：（x+70）=x+（x+10），所以x=60°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可列方程求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】A、错误，只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部；
B、错误，三角形中线是过顶点平分对边的线段；
C、错误，由三角形内角和是180°得，该三角形是等边三角形
D、正确，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
故答案为：B
【分析】（1）锐角三角形的三条高在三角形的内部，且相交于一点；
（2）三角形的中线、高、角平分线是线段，不是直线；
（3）三个角相等的三角形是等边三角形；
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
6．【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角。
【分析】因为在三角形中，当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，而三角形中最多只能有一个钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角。
7．【答案】5：3：1
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵三角形的外角和为360°
∴360÷（2+3+4）=40°
2×40°=80°
3×40°=120°
4×40°=160°
180°-80°=100°
180°-120°=60°
180°-160°=20°
∴对应的3个内角比为：100°：60°：20°=5：3：1
【分析】根据任意多边形的外角和为360°和已知条件可列方程求解。
8．【答案】三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】根据证明步骤得，每一步的依据是三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换
【分析】由角平分线的性质可得∠2= ∠ACD，∠1=∠ABC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠2=∠1+∠BEC，∠ACD=∠A+∠ABC，代入整理即可求得∠A=2∠BEC。
9．【答案】143
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；推理与论证
【解析】【解答】延长CD交AB于E．
∵∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，
∴∠BDC=∠A+∠C+∠B=90°+21°+32°=143°．
故当检验工人量得∠BDC≠143°时，就可判定此零件不合格．
【分析】由题意补全图形，延长CD交AB于E。根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，再根据已知条件可得∠BDC=∠A+∠C+∠B即可求解。
10．【答案】36°，72°，72°
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【解答】∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴x+4x=180°，
解得x=36°，
4x=144°，
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°．
故答案为：36°，72°，72°．
【分析】由题意可设可设这一内角为x，则它的外角为4x，根据邻补角的性质可列方程求得x的值，由题意和三角形内角和定理即可求得三角形各内角的度数。
11．【答案】解：设∠BAC=3k，∠BCA=2k，∵∠B=70°∴3k+2k=110°，k=22°∴∠BAC=66°，∠ACD=35°，∴∠DAC=90°-35°=55°∴∠BAE=180°-66°-55°=59°
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠ACB=110°，∠DAC=55°，再由∠BAC∶∠BCA=3∶2可求得∠BAC、∠ACB的度数；则∠BAE=180°-∠BAC-∠DAC。
12．【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C，AB=AC．又点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，∴BE=CF，BD=CD．∴△BDE≌△CDF．∴DE=DF．故命题得证．
【知识点】全等三角形的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证。用边角边易证△BDE≌△CDF，于是可得DE=DF。
13．【答案】证明：如图，作BC边上的高AD.已知∠B=∠C，AD⊥BC，AD边共用所以△ABD≌△ADC所以AB=AC.同理可得△ABC三边相等.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】作BC边上的高AD.用角角边易证△ABD≌△ADC，则可得AB=AC；同理可证AC=BC，于是可得AB=AC=BC，根据等边三角形的定义可求解。
14．【答案】（1）解：如图，①bd，cd是∠abc和∠acb和∠acb的角平分线且相交于点d，请猜想∠a与∠bdc之间的数量关系，并说明理由；∠abc+∠acb+∠a=180° ∠abc+ ∠acb+∠bdc=180°
得2∠bdc-∠a=180°
即∠bdc= ∠a+90°
（2）解：如图②，bd，cd是∠abc和∠acb外角的平分线且相交于点d，请直接写出∠d与∠a之间的数量关系；∠bdc=90°- ∠a
（3）解：如图③，bd为△的角平分线，cd为∠abc的外角∠acf的角平分线，它们相交于点d，请直接写出∠a与∠d之间的数量关系∠bdc= ∠a
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB），根据三角形内角和定理可得：（∠ABC+∠ACB）=180°-∠A，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A），整理即可求解；
（2）由角平分线的性质可得∠DBC+∠DCB=（∠CBE+∠BCF），根据三角形内角和定理和邻补角的性质即可求解；
（3）由角平分线的性质可得∠1=∠ACE，∠2=∠ABC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠1=∠2+∠BDC，∠ACE=∠A+∠ABC，代入整理即可求得∠BDC=∠A。
15．【答案】解：如图， 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，则∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 则∠FAB=30°，∠CAF=25°，∠EBA=30°，∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣30°﹣25°=80°．
答：从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，即∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解。
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