2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、基础训练
1．如图，☉O内切于Rt△ABC，∠ACB=90°，若∠CBO=30°，则∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ∵☉O内切于Rt△ABC，∴OB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=180°－∠ABC-∠C=30°
故答案为：B。
【分析】根据三角形的内切圆的圆心就是其内心，根据内心的定义得出OB平分∠ABC，根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠CBO=60°，根据三角形的内角和得出∠A的度数。
2．如图，正三角形的内切圆的半径为1，那么正三角形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上)，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD=
同理求出CD=
即BC=2
故答案为：B。
【分析】连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上)，根据等边三角形的性质得出∠ABC=60 ，根据圆的内心定义得出∠OBC=∠ABC=30 ，根据切线的性质得出∠ODB=90 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB=2，由勾股定理得BD的长，同理求出CD的长；从而得出答案。
3．如图，☉O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A=70°，则∠EDF= .
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵∠A=70° ，∴∠B＋∠C=180°－70°=110°，∵☉O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，的切点分别为D，E，∴CD=CE，∴∠EDC=，同理∠BDF=，∴∠EDC＋∠BDF=180°－=125°，∴∠EDF=180°-(∠EDC＋∠BDF)=55°
故答案为：55°。
【分析】根据三角形的内角和得出∠B＋∠C的度数，根据切线长定理得出CD=CE，根据等边对等角得出∠EDC=，同理∠BDF=，进而求出∠EDC＋∠BDF的度数，根据平角的定义得出∠EDF的度数。
4．如图，☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则☉O的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：连接AO并延长交BC于点D，连接OB，
根据等边三角形的性质，及内心的定义得出AD⊥BC，BD=1，∠OBC=30°，设OD=x则OB=2x，根据勾股定理得出x2+1=4x2，解得：x=，即圆O的半径为，∴☉O的面积=
故答案为：。
【分析】连接AO并延长交BC于点D，连接OB，根据等边三角形的性质，及内心的定义得出AD⊥BC，BD=1，∠OBC=30°，设OD=x则OB=2x，根据勾股定理得出关于x的方程，求解得出圆的半径，根据圆的面积计算公式即可得出答案。
5．三角形内切圆的圆心是（ ）
A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形三内角平分线的交点是三角形的内心，故A正确，符合题意；
B、三角形三边中垂线线的交点是三角形的外心，故B正确，不符合题意；
C、三角形三条中线的交点是三角形的重心，故C正确，不符合题意；
D、三角形三条高线的交点是三角形的垂心，故D正确，不符合题意；
故答案为：A。
【分析】根据三角形，内心，外心，重心，垂心的定义即可一一判断。
6．如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠AOB=（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠ACB=70°，∴∠CAB＋∠CBA=180°-70°=130°，∵点O是△ABC的内心，∴OA，BO是∠CAB与∠CBA的角平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB＋∠OBA=（∠CAB＋∠CBA）=65°；∴∠AOB=180°-（∠OAB＋∠OBA）=125°，
故答案为：C。
【分析】根据三角形的内角和得出∠CAB＋∠CBA的度数，根据三角形的内心得出OA，BO是∠CAB与∠CBA的角平分线，根据角平分线的定义得出∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，进而得出∠OAB＋∠OBA的度数，根据三角形的内角和得出答案。
7．下列说法错误的是（ ）
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但一个圆可以有无数个外切三角形；故A正确，不符合题意；
B、根据等腰三角形底边上的三线合一及三角形内心的定义即可知：等腰三角形的内心一定在它的底边的高上，故B是正确的，不符合题意；
C、任何三角形的内心都在三角形的内部，故C错误，符合题意；
D、根据三角形内心是三角形三内角平分线的交点即可得出：若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC。是正确的，故D不符合题意；
故答案为 ：C
【分析】根据三角形内心的概念，及等腰三角形的性质即可一一判断。
8．内心和外心重合的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：A、直角三角形的外心在斜边的中点处，内心在三角形内部，故A不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形的外部，内心在三角形内部，故B不符合题意；
C、等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，故C不符合题意；
D、等边三角形的外心，内心在三角形内部重合与一点，故D不符合题意；
故答案为：D。
【分析】所有三角形的内心都在三角形的内部，但外心确不一定，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心再三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，综上所述即可得出答案。
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由CD为AB边上的高，得∠ADC=90°，那么∠DAC+∠ACD=90°；由I为△ACD的内切圆圆心，得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠ACD=90°，根据三角形内心的定义得出得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，根据角平分线的定义得出∠IAC+∠ICA=45°，根据三角形的内角和得出∠AIC=135°，然后利用SAS判断出△AIB≌△AIC，根据全等三角形对应角相等得出答案。
10．一直角三角形的斜边长是13 cm，内切圆的半径是2 cm，则这个三角形的周长是 .
【答案】30cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：设两直角边分别为 ：a，b，根据题意得，2=，∴a+b=17，∴三角形的周长为：17+13=30cm，
故答案为：30cm，
【分析】设两直角边分别为 a，b，根据直角三角形内切圆的半径=两直角边的和与斜边的差的一半，列出方程，整理得出a+b的值，再根据三角形的周长计算方法得出答案。
11．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI=DB.
【答案】证明：如图，连结BI.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠IBC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠DAC与∠DBC均为 所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC.∴∠ABI+∠BAI=∠CBI+∠DBC，即∠BID=∠IBD，∴DI=DB
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】如图，连结BI.根据三角形的内心得出BI平分∠ABC，根据角平分线的定义得出∠ABI=∠IBC.∠BAD=∠DAC.根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC=∠DBC.根据等式的性质得出∠BID=∠IBD，根据等角对等边得出DI=DB。
二、提升训练
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.求△ABC的内切圆☉O的半径r.
【答案】解：在Rt△ABC中，AB= =10.设☉O与AB，AC，BC分别相切于点E，D，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，可得OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC.
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴ ×6×8= ×10r+ ×6r+ ×8r，解得r=2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AB的长，设☉O与AB，AC，BC分别相切于点E，D，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据切线的性质定理得出OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC.根据S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，列出关于r的方程，求解得出答案。
13．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12.△ABC的内切圆☉O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，求：
（1）AF，BD，CE的长；
（2）△ABC的内切圆的半径.
【答案】（1）解：由切线长定理得AE=AF，BD=BF，CD=CE.设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB-AF=10-x，CD=CE=AC-AE=10-x.由BD+CD=BC，可得(10-x)+(10-x)=12，
解得x=4.因此AF=4，BD=6，CE=6.
（2）解：连结OA，OD，OF，易知A，O，D三点共线，则AD⊥BC.
在Rt△ABD中，AD= = =8.设☉O的半径为r，则OF=r，AO=8-r，在Rt△AFO中，由勾股定理得AF2+OF2=AO2，∴42+r2=(8-r)2，解得r=3.∴△ABC的内切圆的半径为3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）由切线长定理得AE=AF，BD=BF，CD=CE.设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB-AF=10-x，CD=CE=AC-AE=10-x.由BD+CD=BC列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案；
（2）连结OA，OD，OF，易知A，O，D三点共线，则AD⊥BC.在在Rt△ABD中，根据勾股定理得出AD的长，.设☉O的半径为r，则OF=r，AO=8-r，在Rt△AFO中，由勾股定理得关于r的方程，求解得出△ABC的内切圆的半径。
14．如图，点I是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BIC的度数.
【答案】解：∵点I是△ABC的内心
，∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB
，∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB).
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∴∠IBC+∠ICB= ×100°=50°，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-50°=130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】根据三角形内心的定义得出∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，从而得出∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB).根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，利用整体代入得出∠IBC+∠ICB=的度数，再根据三角形的内角和即可得出结论。
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E，D是切点，∠BOC=105°.求AE的长.
【答案】解：连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心，∴BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，即∠OBD=∠OBE= ∠ABC，且∠OCD= ∠ACB.又∵∠ACB=90°，∴∠OCD= ∠ACB=45°.∵OD，OE是过切点的半径，∴OD⊥BC且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠COD=∠OCD=45°， ∴CD=OD=1.∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°.∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°.∵OD=1，∴OB=2，∴DB= .∵∠OBD=∠OBE= ∠ABC=30°，∴∠ABC=60°，∴∠A=30°.∵BC=BD+CD=1+ ，∴AB=2+2 .在Rt△OBE中，∵OE=1，∠OBE=30°，∴BE= .∴AE=AB-BE=2+
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【分析】连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1. 根据三角形的内切圆的圆心是三内角角平分线的交点得出BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，根据角平分线的定义得出∠OBD=∠OBE= ∠ABC，且∠OCD= ∠ACB=45；根据切线的性质定理得出OD⊥BC且OE⊥AB，根据等腰直角三角形的性质得出CD=OD=1.由角的和差得出∠DOB=∠COB-∠COD=60°.进而得出∠OBD=30°.根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB=2，DB=，根据切线长定理得出∠OBD=∠OBE= ∠ABC=30°，从而得出∠ABC=60°，∠A=30°.根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB的长度，BE的长度，再根据AE=AB-BE即可得出结论。
16．如图，☉I是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆，☉I和三边分别切于点D，E，F.
（1）求证：四边形IDCE是正方形；
（2）设BC=a，AC=b，AB=c，求☉I的半径r.
【答案】（1）证明：∵BC，AC分别与☉I相切于D，E，∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四边形IDCE为矩形.
又∵IE=ID，
∴四边形IDCE是正方形
（2）解：连结IA，IB，IC，IF，则S△ABC=S△AIC+S△BIC+S△AIB.∵AB与☉I相切于F，∴IF⊥AB，
∴ ab= br+ ar+ cr，
∴r= .
【知识点】正方形的判定；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠IDC=∠IEC=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形IDCE为矩形.又IE=ID，根据一组邻边相等的矩形是正方形得出答案；
（2）连结IA，IB，IC，IF，则S△ABC=S△AIC+S△BIC+S△AIB.根据圆的切线性质及三角形的内切圆的性质，得出 ab= br+ ar+ cr，解方程即可得出答案。
17．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F.
（1）比较EF与AE+BF的大小关系；
（2）若AE=5，BF=3，求EF的长.
【答案】（1）解： 连结OA，OB，∵点O是△ABC的内心，
∴AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF.
（2）解：由AE=5，BF=3，得EF=AE+BF=5+3=8
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连结OA，OB，根据三角形内心的性质得出AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，由角平分线的定义得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.根据二直线平行，内错角相等得出∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.根据等量代换得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.根据等角对等边得出AE=OE，OF=BF，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论得出EF=AE+BF=5+3=8。
1 / 12017-2018学年数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、基础训练
1．如图，☉O内切于Rt△ABC，∠ACB=90°，若∠CBO=30°，则∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，正三角形的内切圆的半径为1，那么正三角形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．3
3．如图，☉O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A=70°，则∠EDF= .
4．如图，☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则☉O的面积为 .
5．三角形内切圆的圆心是（ ）
A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
6．如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠AOB=（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
7．下列说法错误的是（ ）
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
8．内心和外心重合的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
10．一直角三角形的斜边长是13 cm，内切圆的半径是2 cm，则这个三角形的周长是 .
11．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI=DB.
二、提升训练
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.求△ABC的内切圆☉O的半径r.
13．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12.△ABC的内切圆☉O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，求：
（1）AF，BD，CE的长；
（2）△ABC的内切圆的半径.
14．如图，点I是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BIC的度数.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E，D是切点，∠BOC=105°.求AE的长.
16．如图，☉I是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆，☉I和三边分别切于点D，E，F.
（1）求证：四边形IDCE是正方形；
（2）设BC=a，AC=b，AB=c，求☉I的半径r.
17．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F.
（1）比较EF与AE+BF的大小关系；
（2）若AE=5，BF=3，求EF的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ∵☉O内切于Rt△ABC，∴OB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=180°－∠ABC-∠C=30°
故答案为：B。
【分析】根据三角形的内切圆的圆心就是其内心，根据内心的定义得出OB平分∠ABC，根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠CBO=60°，根据三角形的内角和得出∠A的度数。
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上)，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD=
同理求出CD=
即BC=2
故答案为：B。
【分析】连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上)，根据等边三角形的性质得出∠ABC=60 ，根据圆的内心定义得出∠OBC=∠ABC=30 ，根据切线的性质得出∠ODB=90 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB=2，由勾股定理得BD的长，同理求出CD的长；从而得出答案。
3．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵∠A=70° ，∴∠B＋∠C=180°－70°=110°，∵☉O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，的切点分别为D，E，∴CD=CE，∴∠EDC=，同理∠BDF=，∴∠EDC＋∠BDF=180°－=125°，∴∠EDF=180°-(∠EDC＋∠BDF)=55°
故答案为：55°。
【分析】根据三角形的内角和得出∠B＋∠C的度数，根据切线长定理得出CD=CE，根据等边对等角得出∠EDC=，同理∠BDF=，进而求出∠EDC＋∠BDF的度数，根据平角的定义得出∠EDF的度数。
4．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：连接AO并延长交BC于点D，连接OB，
根据等边三角形的性质，及内心的定义得出AD⊥BC，BD=1，∠OBC=30°，设OD=x则OB=2x，根据勾股定理得出x2+1=4x2，解得：x=，即圆O的半径为，∴☉O的面积=
故答案为：。
【分析】连接AO并延长交BC于点D，连接OB，根据等边三角形的性质，及内心的定义得出AD⊥BC，BD=1，∠OBC=30°，设OD=x则OB=2x，根据勾股定理得出关于x的方程，求解得出圆的半径，根据圆的面积计算公式即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形三内角平分线的交点是三角形的内心，故A正确，符合题意；
B、三角形三边中垂线线的交点是三角形的外心，故B正确，不符合题意；
C、三角形三条中线的交点是三角形的重心，故C正确，不符合题意；
D、三角形三条高线的交点是三角形的垂心，故D正确，不符合题意；
故答案为：A。
【分析】根据三角形，内心，外心，重心，垂心的定义即可一一判断。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠ACB=70°，∴∠CAB＋∠CBA=180°-70°=130°，∵点O是△ABC的内心，∴OA，BO是∠CAB与∠CBA的角平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB＋∠OBA=（∠CAB＋∠CBA）=65°；∴∠AOB=180°-（∠OAB＋∠OBA）=125°，
故答案为：C。
【分析】根据三角形的内角和得出∠CAB＋∠CBA的度数，根据三角形的内心得出OA，BO是∠CAB与∠CBA的角平分线，根据角平分线的定义得出∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，进而得出∠OAB＋∠OBA的度数，根据三角形的内角和得出答案。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但一个圆可以有无数个外切三角形；故A正确，不符合题意；
B、根据等腰三角形底边上的三线合一及三角形内心的定义即可知：等腰三角形的内心一定在它的底边的高上，故B是正确的，不符合题意；
C、任何三角形的内心都在三角形的内部，故C错误，符合题意；
D、根据三角形内心是三角形三内角平分线的交点即可得出：若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC。是正确的，故D不符合题意；
故答案为 ：C
【分析】根据三角形内心的概念，及等腰三角形的性质即可一一判断。
8．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：A、直角三角形的外心在斜边的中点处，内心在三角形内部，故A不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形的外部，内心在三角形内部，故B不符合题意；
C、等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，故C不符合题意；
D、等边三角形的外心，内心在三角形内部重合与一点，故D不符合题意；
故答案为：D。
【分析】所有三角形的内心都在三角形的内部，但外心确不一定，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心再三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，综上所述即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由CD为AB边上的高，得∠ADC=90°，那么∠DAC+∠ACD=90°；由I为△ACD的内切圆圆心，得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠ACD=90°，根据三角形内心的定义得出得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，根据角平分线的定义得出∠IAC+∠ICA=45°，根据三角形的内角和得出∠AIC=135°，然后利用SAS判断出△AIB≌△AIC，根据全等三角形对应角相等得出答案。
10．【答案】30cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：设两直角边分别为 ：a，b，根据题意得，2=，∴a+b=17，∴三角形的周长为：17+13=30cm，
故答案为：30cm，
【分析】设两直角边分别为 a，b，根据直角三角形内切圆的半径=两直角边的和与斜边的差的一半，列出方程，整理得出a+b的值，再根据三角形的周长计算方法得出答案。
11．【答案】证明：如图，连结BI.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠IBC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠DAC与∠DBC均为 所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC.∴∠ABI+∠BAI=∠CBI+∠DBC，即∠BID=∠IBD，∴DI=DB
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】如图，连结BI.根据三角形的内心得出BI平分∠ABC，根据角平分线的定义得出∠ABI=∠IBC.∠BAD=∠DAC.根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC=∠DBC.根据等式的性质得出∠BID=∠IBD，根据等角对等边得出DI=DB。
12．【答案】解：在Rt△ABC中，AB= =10.设☉O与AB，AC，BC分别相切于点E，D，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，可得OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC.
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴ ×6×8= ×10r+ ×6r+ ×8r，解得r=2
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AB的长，设☉O与AB，AC，BC分别相切于点E，D，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据切线的性质定理得出OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC.根据S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO，列出关于r的方程，求解得出答案。
13．【答案】（1）解：由切线长定理得AE=AF，BD=BF，CD=CE.设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB-AF=10-x，CD=CE=AC-AE=10-x.由BD+CD=BC，可得(10-x)+(10-x)=12，
解得x=4.因此AF=4，BD=6，CE=6.
（2）解：连结OA，OD，OF，易知A，O，D三点共线，则AD⊥BC.
在Rt△ABD中，AD= = =8.设☉O的半径为r，则OF=r，AO=8-r，在Rt△AFO中，由勾股定理得AF2+OF2=AO2，∴42+r2=(8-r)2，解得r=3.∴△ABC的内切圆的半径为3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）由切线长定理得AE=AF，BD=BF，CD=CE.设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB-AF=10-x，CD=CE=AC-AE=10-x.由BD+CD=BC列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案；
（2）连结OA，OD，OF，易知A，O，D三点共线，则AD⊥BC.在在Rt△ABD中，根据勾股定理得出AD的长，.设☉O的半径为r，则OF=r，AO=8-r，在Rt△AFO中，由勾股定理得关于r的方程，求解得出△ABC的内切圆的半径。
14．【答案】解：∵点I是△ABC的内心
，∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB
，∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB).
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∴∠IBC+∠ICB= ×100°=50°，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-50°=130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】根据三角形内心的定义得出∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，从而得出∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB).根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，利用整体代入得出∠IBC+∠ICB=的度数，再根据三角形的内角和即可得出结论。
15．【答案】解：连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心，∴BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，即∠OBD=∠OBE= ∠ABC，且∠OCD= ∠ACB.又∵∠ACB=90°，∴∠OCD= ∠ACB=45°.∵OD，OE是过切点的半径，∴OD⊥BC且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠COD=∠OCD=45°， ∴CD=OD=1.∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°.∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°.∵OD=1，∴OB=2，∴DB= .∵∠OBD=∠OBE= ∠ABC=30°，∴∠ABC=60°，∴∠A=30°.∵BC=BD+CD=1+ ，∴AB=2+2 .在Rt△OBE中，∵OE=1，∠OBE=30°，∴BE= .∴AE=AB-BE=2+
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【分析】连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1. 根据三角形的内切圆的圆心是三内角角平分线的交点得出BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，根据角平分线的定义得出∠OBD=∠OBE= ∠ABC，且∠OCD= ∠ACB=45；根据切线的性质定理得出OD⊥BC且OE⊥AB，根据等腰直角三角形的性质得出CD=OD=1.由角的和差得出∠DOB=∠COB-∠COD=60°.进而得出∠OBD=30°.根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出OB=2，DB=，根据切线长定理得出∠OBD=∠OBE= ∠ABC=30°，从而得出∠ABC=60°，∠A=30°.根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB的长度，BE的长度，再根据AE=AB-BE即可得出结论。
16．【答案】（1）证明：∵BC，AC分别与☉I相切于D，E，∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四边形IDCE为矩形.
又∵IE=ID，
∴四边形IDCE是正方形
（2）解：连结IA，IB，IC，IF，则S△ABC=S△AIC+S△BIC+S△AIB.∵AB与☉I相切于F，∴IF⊥AB，
∴ ab= br+ ar+ cr，
∴r= .
【知识点】正方形的判定；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠IDC=∠IEC=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形IDCE为矩形.又IE=ID，根据一组邻边相等的矩形是正方形得出答案；
（2）连结IA，IB，IC，IF，则S△ABC=S△AIC+S△BIC+S△AIB.根据圆的切线性质及三角形的内切圆的性质，得出 ab= br+ ar+ cr，解方程即可得出答案。
17．【答案】（1）解： 连结OA，OB，∵点O是△ABC的内心，
∴AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF.
（2）解：由AE=5，BF=3，得EF=AE+BF=5+3=8
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连结OA，OB，根据三角形内心的性质得出AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，由角平分线的定义得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.根据二直线平行，内错角相等得出∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.根据等量代换得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.根据等角对等边得出AE=OE，OF=BF，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论得出EF=AE+BF=5+3=8。
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