4.6反证法 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题4.6 反证法
1.掌握反证法证明中的假设题型；
2.掌握掌握用反证法证明命题；
知识点01 反证法证明中的假设
【知识点】
反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据，既然为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
【典型例题】
例1
1．用反证法证明“若，则，至少有一个不小于”时，第一步应假设( )
A．，都小于 B．，不都小于
C．，都不小于 D．，都大于
例2．
2．用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设 ．
例3．
3．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ；
（2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．
【即学即练】
4．下列命题中正确的是（ ）
A．是勾股数
B．至少有一个角大于的反面是至多有一个角大于
C．边长为，，的三角形是直角三角形
D．直角三角形的两边是3和4，它的面积是6
5．反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 ．
6．七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：
活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）
已知：如图，直线、被直线所截，．
求证：．
证明：假设，则可以过点作，
∵，
∴（ ），
∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾，
∴假设不成立，
∴．
活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）
已知: ．
求证： ．
证明：
知识点02 用反证法证明命题
【典型例题】
例1．
7．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ 　　）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角
例2．
8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．
已知：如图，直线，被直线所截； ．
求证：直线与 ．
证明：假设 ，
则 ．
这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
例3．
9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【即学即练】
10．△ABC中，、、的对边分别是a、b、c，，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B．△ABC是直角三角形，且
C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且
11．我们把三边长的比为3∶4∶5的三角形称为完全三角形.记命题A： “完全三角形是直角三角形”.若命题B是命题A的逆命题，请写出命题B： ；并写出一个例子（该例子能判断命题B是错误的）： .
12．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
题组A 基础过关练
13．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．两锐角都大于 D．两锐角都小于
14．用反证法证明，“在中，、对边是a、b，若，则”第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
15．用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
16．若、、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ）．
A．不都小于 B．有两个小于
C．都小于 D．都大于
17．命题：“三角形中至少有两个角是锐角”，用反证法第一步需要假设 ．
18．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ．
19．用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设 ．
20．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ．
21．利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．
22．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°，
则∠A+∠B+∠C＞　　．
这与　　相矛盾．
∴　　不成立．
∴　　．
题组B 能力提升练
23．用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ）
A． B． C． D．
24．用反证法证明“若，则，至少有一个不小于”时，第一步应假设( )
A．，都小于 B．，不都小于
C．，都不小于 D．，都大于
25．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于
26．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是，所以，．于是是偶数，进而q是偶数．从而可设，所以，，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“是有理数”的假设不成立，所以是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
27．若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设 ；
28．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设 ．
29．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
30．命题“若中，，则”的结论是 ，若用反证法证明此命题时应假设 ．
31．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线a，b，c在同一平面内，，，
求证：　 　．
证明：
32．反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈：小华，听说邻居小芳全家这儿天正在外地旅游．
小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢！
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子．
题组C 培优拔尖练
33．公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》的开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开．”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”“面”就是无理数．无理数中最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数
34．下列说法：
①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；
②夹在两条平行线间的垂线段相等；
③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；
④一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”；
其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．下列说法：①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；②夹在两条平行线间的垂线段相等；③用反证法证明命题“已知△ABC中，AB＝AC，求证：”时，应先假设；④在直角坐标系中，点P（2，a－1）与点Q（b＋2，3）关于原点对称，则．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
37．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中 ．
38．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ．
39．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
40．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为 ．
41．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设　　，
∵，
∴　　　，
∵，
∴　　，这与　　　矛盾，
∴假设　　不成立，即；
42．类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题：
（1）从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形的方法，他们分别是：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理3：____________________．
请将定理3补充完整；
（2）周老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在周老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，除上述4个已经被证明过的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究．
数学爱好者小赵发现“一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明：
已知：________________，
求证：_________________．
（3）小珊和小红研究后发现还有一些是假命题，并且能够通过举反例说明．请你写出一个假命题，并举反例说明．（用符号或者文字简要说明你构图的方法）
假命题：__________________
反例：
（4）数学课代表小明想到了一个命题：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．为此他和小晨同学讨论了起来．他们一致认为，首先要明确是哪一组对角和哪一条对角线平分了另外一条对角线，所以需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：“若，则，至少有一个不小于”第一步应假设：，都小于．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．##
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可．
【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：；
故答案为：．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．
3．（1）三角形内角中全都小于；（2）答案见解析．
【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；
（2）利用命题与定理，首先写出逆命题进而得出答案．
【详解】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于”，
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于，
故答案为：三角形内角中全都小于；
（2）逆命题：“一次函数的图象不经过第二象限，则，，”
逆命题为假命题，反例：当时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）．
【点睛】本题考查反证法和判断逆命题的真假．正确的进行假设是反证法的关键，掌握利用举反例的方法是判断命题真假的关键．
4．C
【分析】根据勾股数的定义：能够构成直角三角形三条边的三个正整数，反证法的假设，勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积的计算方法，逐一进行判读即可．
【详解】解：A、勾股数是正整数，选项错误，不符合题意；
B、至少有一个角大于的反面是没有一个角大于，选项错误，不符合题意；
C、，边长为，，的三角形是直角三角形，选项正确，符合题意；
D、当为直角边时，三角形的面积为，当为斜边时，三角形的面积不为，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查勾股数，勾股定理逆定理，以及反证法．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．同旁内角不互补的两条直线平行
【分析】首先明确是什么反证法，然后根据命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”所以得到应先假设什么，本题得以解决．
【详解】由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故答案是：同旁内角不互补的两条直线平行．
【点睛】本题考查反证法，解题的关键是明确什么是反证法，根据反证法可以解答相应的问题．
6．活动1：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；活动2：；两直线平行，同旁内角互补；证明见解析
【分析】活动1，根据同位角相等，两直线平行可得出结论；
活动2，利用∠1＝∠2，再由补角的定义即可得出结论．
【详解】活动1，证明：假设∠1≠∠2，则可以过点O作∠EOG＝∠2，
∵∠EOG＝∠2，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾，
∴假设不成立，
∴∠1＝∠2．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
活动2，已知：．
求证：两直线平行，同旁内角互补．
证明：如图，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝180°，即两直线平行，同旁内角互补．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题主要考查的是平行线性质的证明，熟知平行线的性质定理和平行线的公理，是解答此题的关键．
7．C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．
8． 不平行 （两直线平行，同旁内角互补） 假设 直线与不平行
【分析】先作出假设，根据平行线的性质得到这与矛盾，则假设不成立即可得到结论．
【详解】解；已知：如图，直线，被直线所截；．
求证：直线与不平行．
证明：假设，
则（两直线平行，同旁内角互补）．
这与矛盾，故假设不成立．
所以直线与不平行．
故答案为：；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键．
9．(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
10．D
【分析】根据勾股定理逆定理判断A选项和B选项不符合题意，根据三角形面积公式判断C选项不符合题意，根据反证法和30°所对的直角边是斜边的一半判断D选项符合题意．
【详解】解：∵，，，，
∴．
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AC是斜边．
故A选项，B选项不符合题意．
∴．
故C选项不符合题意．
假设∠A=60°．
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=30°．
∴∠C所对的直角边AB应该是斜边AC的一半．
∵，
∴，与∠C所对的直角边AB应该是斜边AC的一半矛盾．
∴．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，三角形面积公式，30°所对的直角边是斜边的一半，反证法，熟练掌握这些知识点是解题关键．
11． 直角三角形是完全三角形； 等腰直角三角形，是直角三角形，但三边比是：1：1：，不是完全三角形.
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题；根据完全三角形的定义举出反例进行解答即可．
【详解】解：命题B：直角三角形是完全三角形；
例如：等腰直角三角形，是直角三角形，但三边比是：1：1：，不是完全三角形.
故答案为直角三角形是完全三角形；等腰直角三角形，是直角三角形，但三边比是：1：1：，不是完全三角形.
【点睛】此题考查了命题与定理，掌握完全三角形的定义和互逆命题是解题的关键；两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．见解析
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．C
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设结论的反面成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两锐角都大于．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14．B
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可．
【详解】解：用反证法证明，“在中，、对边是a、b，若，则”，
第一步要假设，
故选：Ｂ．
【点睛】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键．
15．A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设．
故选：A
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
16．C
【分析】根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【详解】解：根据题意得：用反证法证明时应先假设这三个正数都小于．
故选：C
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．
17．三角形中最多有一个角是锐角
【分析】根据反证法的第一步，假设结论不成立，进行作答即可．
【详解】解：命题：“三角形中至少有两个角是锐角”，用反证法第一步需要假设：三角形中最多有一个角是锐角；
故答案为：三角形中最多有一个角是锐角．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．
18．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设．
故答案为：
【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．
19．
【分析】根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可．
【详解】解：第一步应先假设；
故答案为：．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．
20．∠B=∠C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C．
故可以假设∠B=∠C．
故答案为：∠B=∠C．
【点睛】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定∠B≠∠C的反面，是解决本题的关键．
21．见解析
【分析】假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设，∠B＞90°，与三角形内角和为相矛盾，由此即可证明．
【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°，
∴，这与三角形内角和为相矛盾，
∴，∠B＞90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个角是钝角．
【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．
22．，，，，内角和为，假设，求证的命题正确．
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设所求证的结论不成立，即
，，，
则．
这与内角和为相矛盾．
∴假设不成立．
∴求证的命题正确．
故答案为：
【点睛】
本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
23．B
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【详解】解：“若，则”的结论是，
∴用反证法时应先假设，
故选：B．
【点睛】本题考查了主要反证法，熟记反证法的证明步骤是解题的关键．
24．A
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：“若，则，至少有一个不小于”第一步应假设：，都小于．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
25．C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
26．B
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
【详解】解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B
【点睛】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
27．圆的切线不垂直于过切点的半径
【分析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即可求解．
【详解】解： 用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设：圆的切线不垂直于过切点的半径，
故答案为：圆的切线不垂直于过切点的半径．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
28．∠B≥90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时，
第一步应假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
29．四边形ABCD是平行四边形
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．
30．
【分析】根据反证法，从命题的结论反面出发进行假设进而得出答案．
【详解】命题“若中，，则”的结论是，
若用反证法证明此命题时应假设．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是解题的关键．
31．，证明见解析
【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可．
【详解】解：由命题的结论得：，
故答案为：，
证明：假设a，b相交于点A，
则过A点有两条直线a，b都平行于c，
这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设是错误的，
所以．
【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键．
32．见解析
【分析】小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的．利用举反例说明即可．
【详解】解：小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的．
他是举反例说明的．
举例：妈妈：小华，听说小芳昨天去了北京．
小华：妈妈，不可能，我今天上午还在学校碰到了她呢!
【点睛】本题考查反证法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．C
【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可．
【详解】解：A．利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，本选项说法正确，不符合题意；
B．面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意；
C．是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意；
D．可以用反证法证明它不是有理数，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴、反证法，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键．
34．B
【分析】直接利用四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法分别分析得出答案．
【详解】①伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；正确；
②夹在两条平行线间的垂线段相等；正确；
③成中心对称的两个图形不一定是全等图形；错误，一定全等；
④一组对角相等的四边形是平行四边形；错误；
⑤用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”；错误．
故选：B
【点睛】本题考查四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法，解题的关键是掌握相关定义．
35．D
【分析】根据全等三角形的性质可判断A，根据全等三角形的性质和可判断B，根据全等三角形的性质和直角三角形两锐角互余可判断C，可假设EG=BG，通过推理说明D是错误的．
【详解】解：A.∵，
∴AC=CD，故A正确；
B.∵，
∴∠B=∠E，
∵，
∴，
∴∠ABC=90°，故B正确；
C.∵，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠BGD=90°，BGE=∠EGF，
∴∠E+∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°，
∴，故C正确；
D.若EG=BG，
又∵B=∠E， ∠BGD=∠EGF，
∴△BGD≌△EGF，
∴DG=FG，
∴BF=BG+GF=EG+DG=DE=BC，这与BF故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，反证法，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
36．C
【分析】根据四边形的不稳定性可判断①，根据平行线间的距离处处相等可判断②，由反证法的含义可判断③，由关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标互为相反数可判断④，从而可得答案．
【详解】解：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；表述正确，故①符合题意；
夹在两条平行线间的垂线段相等；表述正确，故②符合题意；
用反证法证明命题“已知△ABC中，AB＝AC，求证：”时，应先假设；故③不符合题意；
在直角坐标系中，点P（2，a－1）与点Q（b＋2，3）关于原点对称，
，解得：
．故④符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是四边形的不稳定性，平行线间的距离处处相等，反证法的理解，关于原点成中心对称的两个点的坐标关系，掌握以上知识是解本题的关键．
37．每一个内角都大于或等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°
故答案为：每一个内角都大于或等于45°．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
38．三角形三个内角都大于60 °．
【分析】写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °．
故答案为：三角形三个内角都大于60 °．
【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．
39．B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识．
40．①②④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠0DB，AC=BD，①正确；由全等三角形性质得∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，根据全等三角形的性质得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
如图，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴，
∴
∴OH=OG，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∴MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＞OC矛盾，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
41．见解析
【分析】假设结论不成立，利用平行线性质推出矛盾即可得到答案；
【详解】证明：假设，
∵，
∴，
∵，
∴，这与平角为矛盾，
∴假设不成立，即，
故答案为：；；；平角为；．
【点睛】本题考查反正法及平行线性质，解题的关键是掌握反正法：假设结论不成立，推出矛盾．
42．（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可解答；
（2）首先由已知条件及全等三角形判定，可得，，然后根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形即可；
（3）根据已知条件及平行四边形的判定即可得到答案；
（4）根据已知条件分情况讨论证明即可．
【详解】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）已知：在四边形中，，对角线和交于点，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，
∴，，
在和中，，
∴≌（AAS），
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）（答案不唯一）
假命题：一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
反例：反例如图所示．
四边形是等腰梯形，，，
四边形满足一组对边平行，一组对边相等，但它不是平行四边形．
（4）分两种情况
①已知，且，
四边形满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，但它不是平行四边形．
②已知，且，
反证法：假设四边形不是平行四边形，则，
故可以在射线上取和不重合的点，使得，
∵且，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
但和不重合，矛盾，假设不成立，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、真假命题、反证法，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
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