5.3正方形 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题5.3 正方形
1.掌握正方形的判定定理与性质；
2.根据正方形的性质求角度、线段长和面积；
3、掌握中点四边形的概念和应用；
4、掌握四边形问题的综合；
知识点01 正方形的判定定理
【知识点】
正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．
【典型例题】
1．在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号）
3．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当满足条件 ___________时，四边形是正方形．
【即学即练】
4．如图，在菱形中，对角线，交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形
D．对角线平分内角的平行四边形是正方形
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为 cm．
7．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号）
① ，；
② ，，，；
③四边形 是矩形，并且 ；
④四边形 是菱形，并且 ．
8．如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．
知识点02 根据正方形的性质证明
【知识点】
正方形的性质：
（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
【典型例题】
9．如图，P为上任意一点，分别以为边在同侧作正方形、正方形，连接，设，，则y与x的关系为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，P，Q分别为的中点，若，则大小为 ．
11．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：．
【即学即练】
12．如图，在正方形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在正方形中，点E，点F分别是对角线上的点，连接，，若，且，则的度数为（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．35°
14．如图，正方形中，点分别在上，连接，请添加一个条件： ，使．
15．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为 ．
16．已知是正方形对角线上一点，，垂足分别为，．．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)求的长．
知识点03 利用正方形的性质求角度、线段长和面积
【典型例题】
17．如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为 ．
19．如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【即学即练】
20．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，正方形绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）
A． B． C．1 D．2
22．如图，点G在正方形的边上，以为边在正方形外部作正方形，连接BF，P、Q分别是、的中点，连接．若，，则 ．
23．如图，线段的长为5，延长到B，以为一边作正方形，连接，以为一边作正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则的值为 ．
24．如图，已知是边长为1的正方形对角线上一点，且．求：
(1)度数；
(2)的长．
知识点04 中点四边形
【知识点】
任意四边形的中点四边形是平行四边形；
若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形；
若四边形的对角线垂直，则它的中点四边形是矩形；
若四边形的对角线垂直且相等，则它的中点四边形是正方形
【典型例题】
25．顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（ ）
A．菱形 B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形
26．E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，则四边形的形状是 ，当与满足条件 时，四边形是矩形．
27．如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．
(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是，则四边形EFGH的面积是________
【即学即练】
28．如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．
29．顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
30．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是 ．
31．如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为 ．
32．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD 菱形 矩形 正方形
平行四边形EFGH
知识点05 四边形综合
【典型例题】
33．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30 B．54 C． D．60
34．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作…若在第次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为阶奇异矩形，如图1，矩形中，若，，则称矩形为2阶奇异矩形．已知矩形的一边长为20，另一边长为（），且它是3阶奇异矩形，则的值为 ．
35．我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
(1)四边形ABCD是等对角四边形，A≠C，若A＝50°，B＝100°，则C＝_____，D＝_____．
(2)图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
(3)如图③，在平行四边形ABCD中，A＝60°，AB＝12，AD＝6，点E为AB的中点，过点E作EFDC，交DC于点F．点P是射线FE上一个动点，设FP＝x，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值．
【即学即练】
36．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
37．如图，在正方形中，是对角线上一动点，点P从点C出发，连接，过点P作交边于点Q，连接，取的中点H，若P点移动的路径长为2，则H点移动路径长为（ ）
A．2 B． C． D．
38．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 ．
39．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB＋PC的最小值为 ．
40．新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为_____________；
②若，探究的数量关系．
(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________．
题组A 基础过关练
41．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形
42．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　）
A．75° B．55° C．15° D．25°
43．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
44．如图，正方形的边长为，，，连结，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
45．正方形对角线长为8，则正方形的边长为 ．
46．如图，正方形剪去四个角后成为一个正八边形，若正八边形的边长为，则这个正八边形的面积为 ．
47．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 .
48．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”）
49．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积．
50．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．
题组B 能力提升练
51．给出下列命题，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
52．如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
53．如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
54．如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．16
55．如图，在正方形中，对角线，相交于点，则图中的等腰直角三角形有 个．
56．如图，在中，若，，，， ．
57．点在正方形外，是等边三角形，则 ．
58．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ．
59．如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若正方形边长是5，，求的长．
60．如图，在中，，点D是边的中点．过点A、D分别作与的平行线，并交于点E，连结．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当四边形是正方形，时，______．
题组C 培优拔尖练
61．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当，是矩形
B．当，是菱形
C．当，是菱形
D．当且，是正方形
62．如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
63．如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图．
步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线，分别交，于点E，F；
步骤3：连接，．
若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
64．如图，在矩形中，沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合，两条折痕交于点O，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
65．如图，点为正方形的边上的一点，，，连接为边延长线上一点，且，连接，过点A作交于点，连接，则线段的长度为 ．
66．如图，正方形的对角线交于点O，，现有半径足够大的扇形，，当扇形绕点O转动时，扇形和正方形重叠部分的面积为 ．
67．如图，正方形的边长为4，点E，F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为 ．
68．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接．若点恰好是中点时，则 ．
69．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点
(1)若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长；
(2)求证：；
(3)如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由．
70．（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接，求证：；
（2）【类比探究】如图2，连接交于点，连接，试判断、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，点恰为中点，则的面积为______．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】先证明四边形是矩形，再根据正方形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴当添加时，矩形是正方形，
而A、C、D、三个选项中得条件都是矩形性质所具有的，因此不能证明矩形是正方形，
∴只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知有3个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形时解题的关键．
2．②
【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
由四边形是菱形加上条件可证得到，能证明四边形成为正方形；
由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据正方形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
（2）解：当时，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
故答案为：．
．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
5．A
【分析】分别根据平行四边形的判定及正方形的判定对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项A是真命题，符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C是假命题，不符合题意；
D、对角线平分内角的平行四边形是菱形，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知平行四边形与正方形的判定定理是解题的关键．
6．6
【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABE为正方形，得到BE=AB，根据BC=BE+CE即可求答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，∠BA=90°，
根据则折叠的性质可知：AB=A，∠B=∠AE=90°，
∵∠B=90°，∠BA=90°，∠AE=90°，
∴四边形ABE为矩形，
∵AB=A，
∴四边形ABE为正方形，
∴BE=AB=4cm，
∴BC=BE+CE=6cm，
故答案为：6．
【点睛】题目考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．①②④
【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分是正方形，对各个选项进行分析而从得到答案．
【详解】解：①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确；
②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确；
③不能，只能判定为菱形，故选项错误；
④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组领边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
8．见解析
【分析】先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出结论．
【详解】是角平分线，，，
，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
9．D
【分析】根据正方形的性质，利用“”证明，证得即可求得答案．
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
10．##70度
【分析】根据正方形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵P，Q分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
11．证明见解析
【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证．
【详解】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．D
【分析】首先证明出，进而得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的 ，全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，证明是解题的关键．
13．B
【分析】根据正方形的性质和，证明得到，从而得到,即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是正方形，对角线为相交于点O，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质．
14．（答案不唯一）
【分析】由四边形为正方形，，，添加一个条件，证明．
【详解】添加一个条件为：
∵四边形为正方形，
∴，
在与中
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是根据相关性质定理，进行证明．
15．3
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出，，，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵M为DE的中点，
∴，
在中，
∴，
∴，，
∴，
∵点N为AF的中点，
∴，
∵F为BC的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定、勾股定理，三角形中位线定理，正确做出辅助线且证出是解决问题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出四边形有三个角为直角即可；
（2）根据对称性得出，然后根据矩形的性质与勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，
，
四边形为矩形；
（2）如图，连接，
∵四边形是正方形，为上任意一点，
、关于对称，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解决问题的关键．
17．B
【分析】根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明，可得，从而求得答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质．将四边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．
18．72
【分析】作于，根据等角的余角相等，得，证明，得到，再利用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：作于．
则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和在中，
，
∴，
∴，
的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，求出三角形的高．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论；
（2）由（1）则可得，，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
【详解】（1）解：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
在和中，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，连接，与交于点O，
由（1）得：
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．C
【分析】根据正方形，等边三角形的性质可知，是等腰三角形，且，，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴是等腰三角形，且，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形，三角形内角和定理的综合，掌握正方形，等边三角形，三角形内角和定理等知识是解题的关键．
21．C
【分析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出，可得四边形的面积等于的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵四边形和四边形是两个边长相等的正方形，
∴，，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，
∴两个正方形的重合部分的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形的面积等于的面积是解此题的关键．
22．7
【分析】连接，根据中位线定理得到，设大正方形边长为x，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵P、Q分别是、的中点，，
∴，
设大正方形边长为x，
∵，
∴，，
根据勾股定理可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为7；
【点睛】本题考查中位线定理及勾股定理，解题的关键是作出辅助线．
23．25
【分析】根据题意，，代入计算即可．
【详解】根据题意，，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
24．(1)22.5°
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可以得到，根据BP=BC，等腰三角形的性质即可求出的度数，即可得出结果；
（2）运用勾股定理可以得到BD的长度，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵是正方形，
∴
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，灵活掌握性质是本题的关键．
25．C
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，继而即可求解．
【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形形，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及矩形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
26． 平行四边形
【分析】连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形．
【详解】解：如图，连接．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形．
连接．、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
故答案为：平行四边形，；
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是正确构造三角形，正确的运用中位线定理，难度不大．
27．(1)见解析
(2)3.5
【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由矩形的判定与性质得出答案．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵E、F分别为AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD，EF∥BD，
同理，GH=BD，GH∥BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴DH=AF=CH=BF，
∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形，
∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，
∴S四边形EFGH=EG HF＝AB BC，
∵四边形ABCD的面积是7cm2，
∴AB BC=7cm2，
∴四边形EFGH的面积是3.5cm2，
故答案为：3.5．
【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
28．C
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形，根据菱形的性质计算周长．
【详解】解：连接、，
在中，，
四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，，，
四边形为菱形，
四边形的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
29．C
【分析】根据题意画出图形，由四边形是矩形，得出，又根据点，分别是边，的中点，得出是的中位线，从而得出，同理可得，即可解决问题．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
证明：四边形是矩形，
，
又点，分别是边，的中点，
是的中位线，
∴，
，
又点，分别是，边的中点，
是的中位线，
∴，
，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，借助图形充分抓住已知条件，围绕结论环环相加，步步逼近，结论便会得出来．
30．40
【分析】根据三角形中位线的性质得出，，，，且，，，，进而得出，，即可得出答案．
【详解】
解：、、、分别是四边形各边的中点，
∴，，，，且，，，，
对角线的长都是，
，，
四边形的周长是：．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出，是解题关键．
31．100
【分析】根据矩形的性质及H、F分别为边AD、BC的中点，推出AH＝BF，得到平行四边形BFHA，推出ABHF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BCEG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：连接HF、EG，交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BCAD，BC＝AD＝20m，
∵H、F分别为边AD、BC的中点，
∴AH＝BF，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB＝HF＝10m，ABHF，
同理BC＝EG＝20m，BCEG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积＝＝＝100（m2），
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．
32．(1)见解析
(2)矩形，菱形，正方形
【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和FG为中位线，根据中位线的性质即可求证．
（2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH//BD，EH＝BD，
同理FG//BD，FG＝BD，
∴EH//FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC，BD，如图所示：
当四边形ABCD是菱形时，
∴AC⊥BD，
∵FG//BD，EH//FG，
∴EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是矩形，
当四边形ABCD是矩形时，
AC=BD，则EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是正方形，
故答案为：矩形，菱形，正方形．
【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键．
33．B
【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成．
【详解】设两对角线的交点为E
∵
=54
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半．
34．5
【分析】先根据题意分析出阶奇异矩形边长满足的一般规律，然后即可得到答案．
【详解】解：根据题意分析可知，
阶奇异矩形中较长边为b，较短边为a，，
因此，，
故答案为：5．
【点睛】本题是四边形相关题目，主要考查了矩形性质、正方形性质、寻找规律的应用等知识，找到规律是解题的关键．
35．(1)110°；100°
(2)见解析
(3)x=或
【分析】（1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出；
（2）根据题目已给信息作图即可；
（3）过D点作DHAB于H，则四边形DHBE为矩形，根据含30°的直角三角形的性质求出AH和HD，分两种情况讨论进行求值即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是等对角四边形，，
∴D=B=100°，
∴C=360°-A-B-D=360°-50°-100°-100°=110°．
故答案为：110°；100°．
（2）由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
（3）如图③，作DHAB于H，
∵在RtADH中，A=60°，
∴ADH=30°，
∴AH=AD=3，
∴DH=3，
∵点E为AB的中点，
∴AE=AB=6，
∴DF=HE=6-3=3，
如图③，当ADP=AEP=90°时，DPE=120°，
∴DPF=60°，
在含30°的RtDFP中，
FP=x=，
如图④，连接DE，
∵AD=AE=6，A=60°，
∴ADE为等边三角形，
当APE=ADE=60°，
在含30°的RtAEP中
EP=2，
∴x=EF+EP=．
综上所述x=或．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、含30°的直角三角形和矩形的判定和性质；解决本题的关键通过作辅助线运用以上的性质即可得出结果．
36．B
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得E，G分别为AD，CD的中点，再根据勾股定理可得AD＝，再根据三角形的性质得到EG＞GC，即可得到结果；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，故①正确，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b2＝2a2，
∴b＝a，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝，故④正确，
∵∠EOG＝∠D＝90°，
∴EG＞OG，
∵OG＝GC，
∴EG＞GC，故②正确，
不妨设BE＝BF，则∠BEF＝∠BFE＝∠DEF＝∠AEB＝60°，这个显然不可能，故③错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键．
37．B
【分析】过点P作AD的垂线，交AD于G，交BC于F，连接BD交AC于O，连接OH，先由等腰直角三角形的性质得PF＝CF＝DG＝，根据全等三角形的性质得到FQ＝PG，于是得到PF＝QG＝，BP＝QP，FQ＝DF＝，然后证BQ的中点H移动的路径长即为OH的长，最后由三角形中位线定理得BH＝DQ＝即可．
【详解】解：过点P作AD的垂线，交AD于G，交BC于F，连接BD交AC于O，连接OH，如图所示：
则∠QGP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴PF⊥BC，
∴∠PFB＝90°，
∴四边形ABFG是矩形，
∴AG＝BF，△APG、△PCF是等腰直角三角形，
∴PF＝CF＝DG＝，AG＝PG，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠BPF＋∠PBF＝∠BPF＋∠QPG＝90°，
∴∠PBF＝∠QPG，
∴△BPF≌△QPG（AAS），
∴PF＝QG＝，BP＝QP，
∴FQ＝DF＝，
∴，
当点P在C点时，点Q与点D重合，BQ的中点即为BD的中点，
∴BQ的中点H移动的路径长即为OH的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝OD，
∵H是DQ的中点，
∴BH＝DQ＝，
即BQ的中点H移动的路径长为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．
38．135°或90°或45°
【分析】由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，然后根据题意画出图形，如图1，当AD＝AC时，证明△ABC是正三角形，求出∠CAD的度数即可得到∠BCD的度数；如图2，当AD＝CD时，证明四边形ABCD是正方形即可；如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，求出∠BCF＝30°，∠ACB＝∠ACE即可求出∠BCD的度数．
【详解】解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB＝AD＝BC，
如图1，当AD＝AC时，
∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠BCD＝60°＋75°＝135°；
如图2，当AD＝CD时，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°；
如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC＝CD，CE⊥AD，
∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF＝AE，
∵AB＝AD＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵ABCE，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，
∴∠BCD＝15°×3＝45°，
综上，∠BCD的度数是：135°或90°或45°，
故答案为：135°或90°或45°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题综合性较强，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
39． 15
【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，可得AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，进而即可求解；
（2）作点C关于AE的对称点，连接B交AE于点P，连接A，CP，可得PB＋PC的最小值= PB＋P= B，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）∵△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形，
∴AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠DAE=（180°-150°）÷2=15°，
故答案是：15，
（2）作点C关于AE的对称点，连接B交AE于点P，连接A，CP，
∵∠DAE=15°，∠DAC=60°，
∴∠CAE=60°-15°=45°，
∵点C关于AE的对称点，
∴∠CAE=∠AE=45°，A=CA=2，P=CP，
∴∠AC=90°，
∴PB＋PC的最小值= PB＋P=B=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，轴对称—线段和最小值问题以及等边三角形和正方形的性质，添加辅助线，构造直角三角形和轴对称图形，是解题的关键．
40．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得，，，由②的结论，列出方程可求解．
【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形，
，
，
；
②如图1，四边形是垂美四边形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
即：；
（2）解：如图，连接，
、分别是中边、的中点，，
，，，
，
四边形是垂美四边形，
，
，
．
故答案为
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形的定义并运用是解题的关键．
41．A
【分析】根据正方形的判定方法即可求解．
【详解】解：选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确，符合题意；
选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意；
选项，对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意；
选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键．
42．A
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
∴，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
43．D
【分析】先求出BD，再根据平移性质得，然后由求解即可．
【详解】解：由题意，，
由平移性质得，
∴点D，之间的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
44．B
【分析】如图所示（见详解），过点作于，可得，是直角三角形，可证明，求出的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵正方形的边长为，，，
∴，，
∴，是直角三角形，
∴，，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴在中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，三角形全等，直角三角形的综合，掌握正方形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
45．
【分析】根据正方形性质，边长相等，四个角都是直角，可以用勾股定理求出边长．
【详解】解：根据题意画出图形，四边形是正方形，对角线，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
根据勾股定理，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质及勾股定理的应用，正确计算是解答本题的关键．
46．##
【分析】正方形的面积减去四个直角三角形面积即可．
【详解】解：∵正八边形的边长为，
∴剪去的三角形的直角边为：1，
∴正方形的边长为，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，根据正方形的边长列式方程是解题的关键．
47．9
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
48．不对
【分析】根据文文的选择结合矩形的判定和正方形的判定只能证明四边形是矩形，无法证明为正方形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
再根据现有条件无法证明为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟知矩形的判定和正方形的判定定理是解题的关键．
49．阴影部分的面积为25
【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE BC+AE BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×50
＝25．
故阴影部分的面积为25．
【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键．
50．（1）见解析；（2）—4
【分析】（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；
（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．
51．C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故A选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项错误；
根据一条对角线平分一个内角，可以证明邻边相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题的关键．
52．B
【分析】如图1，图2中，连接，在图1中，可证得是等边三角形，得出，在图2中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接，
图1中，∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，∵四边形是正方形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．
53．C
【分析】根据四边形是正方形，是对角线，可求出的度数，根据折叠可知是角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵沿折叠后落在上，沿折叠后落在上，
∴是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形的折叠，掌握正方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质是解题的关键．
54．B
【分析】先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】解：如图1所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
图2正方形的面积，
∴阴影的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
55．
【分析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得，，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．
【详解】解：正方形中，对角线，相交于点，
，，
，，，，，，，都是等腰三角形，一共个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的定义，掌握正方形的性质是关键，另外不要出现遗漏或重复．
56．
【分析】先根据，，得出；再根据对称的性质得到，从而说明四边形是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的长即可．
【详解】解：分别以为对称轴，画出的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长相交于G点，
由题意可得：，．
∴，，又．
∴．
又∵，
∴，．
又∵，
∴．
∴四边形是正方形，
∴，，，
∴，．
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
57．##30度
【分析】根据四边形是正方形，是等边三角形，可得是等腰三角形，可求出的度数，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形的综合，掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
58．##117度
【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：四边形是正方形，
，
将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
59．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵正方形边长是5，
∴，
∵，
∴由（1）得，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键．
60．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，进而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证；
（2）根据正方形的性质和勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）∵，点D是中点，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去），
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
61．C
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案.
【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确；
B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故C选项错误；
D选项：根据可判断对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据可判断对角线互相相等的菱形是正方形，故D选项正确.
故选C.
【点睛】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用，牢记四边形的判定定理是解题的关键.
62．D
【分析】设与交于，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】设与交于，连接，
四边形和正方形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积正方形的面积的面积的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
63．D
【分析】由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：∵平分，，
∴，
由作图可知，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题．
64．B
【分析】如图，作交于点G，首先根据折叠的性质证明出四边形是正方形，然后根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理求出，然后根据矩形和正方形的性质得到，最后代入求解即可．
【详解】解：如图，作交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿对折，点B与点E重合，再沿对折，点A与点F重合，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
65．
【分析】过点G作，先证明，可得是等腰三角形，再结合条件得到即可得到答案．
【详解】解：过点G作，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴点G是的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何问题，灵活运用所学知识和正确作出辅助线是解题关键．
66．2
【分析】根据四边形为正方形，得到，，；推出，于是得到结论．
【详解】解：如图，
四边形为正方形，
，，；
由题意得：，
；
在与中，
，
，
扇形和正方形重叠部分的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
67．
【分析】先证明，可得，可证，再利用直角三角形斜边中线可得，最后根据求出的最小值．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
取中点，连接、
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，最小，最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等知识，得到是解题的关键．
68．
【分析】作于H，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出，的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：作于，连接，
∵四边形是正方形，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，点是中点
∴，，，
∴，则，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，关键是证明，得到是等腰直角三角形．
69．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）由“”可证，可得；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：正方形的边长为，点是边上的中点，
，
；
（2）证明：如图，在边上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
由（2）可知：，
，
，
，
，，，
，
，，
，
又．
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
70．（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）6
【分析】（1）只需要利用证明即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到由，先证明H，D，G三点共线，再证明，得到，即可证明；
（3）先求出，设，则，由（2）结论得到在中，由勾股定理建立方程解得，则，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2），证明如下：
由（1）知
∴，
∵，
∴，
∴H，D，G三点共线，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵四边形是正方形，，
∴，
∵E恰为中点，
∴，
设，则，
由（2）知
在中，由勾股定理知，
∴
解得
∴
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
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