6.1反比例函数 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题6.1 反比例函数
1.掌握反比例函数的定义，会求反比例函数值和自变量的范围；
2.会求反比例函数的解析式，并求反比例函数的参数；
【知识点】
知识点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
知识点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.
知识点01 反比例函数的定义
【典型例题】
例1．
1．下列式子:①；②；③；④；⑤，能表示y是x的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例2．
2．反比例函数的比例系数是 ．当时，y= ．
例3．
3．已知与成反比例，且时，，求当时的值．
【即学即练】
4．已知点是双曲线上一点，则下列各点不在该图象上的点是（　　）
A． B． C． D．
5．下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．点在反比例函数的图像上，则代数式的值为 ．
7．若函数是反比例函数，则 ．
8．已知反比例函数的图像经过点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)若点在该函数图像上，求m的值．
知识点02 求反比例函数值和自变量
【典型例题】
例1．
9．若点在同一个反比例函数的图像上，则m的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
例2．
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
例3．
11．已知反比例函数（为常数，）．
(1)若点在这个反比例函数的图像上，求的值；
(2)若，试判断点，是否在这个反比例函数的图像上，并说明理由．
【即学即练】
12．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在函数的图象上有一点，将点A先向右平移个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a的值为 ．
15．已知点、是反比例函数图像上的两个点，且，，则 ．
16．如图，阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）．
(1)求y关于x的函数表达式这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数．
(2)求当时，函数y的值，并说明这个值的实际意义．
(3)利用y关于x的函数表达式，说明当动臂长扩大到原来的倍时，所需动力将怎样变化？
知识点03 求反比例函数的解析式
【典型例题】
例1．
17．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图象上，若，，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
例2．
18．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
例3．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求的面积．
【即学即练】
20．如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是2个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数的图象上，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
21．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A． B． C． D．
22．如图，，，双曲线经过线段的中点，则的值是 ．
23．如图，已知，，以、为边作，若一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为 ．
24．如图，四边形的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，，点D的坐标为，双曲线经过点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)若（2）中所作的角平分线与x轴交于点E，若，，求证：四边形是平行四边形．
知识点04 根据反比例函数的定义求参数
【典型例题】
例1．
25．若函数是反比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．
26．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ．
例3．
27．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【即学即练】
28．已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（ ）
A． B．2 C． D．
29．若一次函数与反比例次函数有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第二、四象限，且经过点，则的值为 ．
31．如图，，点，，，反比例函数的图象经过点D，则 ．
32．已知反比例函数y＝－.
(1)写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；
(2)求当x＝－3时函数y的值；
(3)求当y＝－2时自变量x的值．
题组A 基础过关练
33．下列函数y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
34．已知两点，都在反比例函数的图象上，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
35．若点是反比例函数图象上的一点，则此函数图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
36．点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
37．反比例函数的图象经过点，则k的值是 ．
38．已知一个反比例函数的图像经过点，若该反比例函数的图像也经过点，则的值为 ．
39．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ．
40．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，，于点，点在反比例函数的图象上，若，，则反比例函数的表达式为 ．
41．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
42．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式．
题组B 能力提升练
43．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A． B． C． D．
44．点在反比例函数的图象上，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
45．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
46．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，则的值是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
47．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 .
48．如图，已知点A是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，，则 ．
49．如图，在等腰中，，轴于点，反比例函数的图象经过点．若，，，则的值为 ．
50．如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则
51．如图，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，与函数的图像交于点C（C在第二象限）且B为的中点．
(1)求出m的值；
(2)连接，求的面积．
52．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，射线在第一象限，且．
(1)过点B作轴于点B，交于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图)
(2)求图象经过点P的反比例函数的表达式；
(3)在（2）中的反比例函数图象上有一点Q，当其横坐标为4时，判断的形状，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
53．如图，点P在反比例函数的图像上，且其纵坐标为1．若将点P先向上平移一个单位长度，再向右平移两个单位长度，所得的点记为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
54．如图，等腰直角三角形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在反比例函数的图象上，且轴．若点C的坐标为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
55．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上，则的值是（　　）
A． B． C． D．
56．如图所示，和都是等腰直角三角形，，反比例函数 在第一象限的图象经过点，与交于点，若点的横坐标为，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．2
57．已知点在反比例函数的图像上，则实数的值为 ．
58．如图，已知直角三角形中，，，将绕O点旋转至的位置，且为中点，在反比例函数上，则k的值 ．
59．如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
60．如图，等腰中，，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图像经过点A，交于点D，若，则k的值为 .
61．如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A，连接.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求作的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；
(3)若的垂直平分线交x轴于点M，交于点N，当直线向上平移几个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点.
62．如图，在矩形中，，，分别以，所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交于点E，交于点F，．
(1)求k的值与点F的坐标；
(2)在x轴上找一点M，使的周长最小，请求出点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案．
【详解】①是正比例函数，②是反比例函数，③当时不是反比例函数，④即是反比例函数，⑤是反比例函数，共有三个反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数及反比例函数的定义，正确理解相关定义是解题的关键．
2．
【分析】将函数解析式变为，根据反比例函数的定义即可得出答案，再将代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的比例系数是，当时，；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义．形如为常数，的函数称为反比例函数，其中x为自变量，y为函数，k为反比例系数，还考查了反比例函数的函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．
【分析】设反比例函数的解析式为，待定系数法求解析式，进而令，即可求解．
【详解】设反比例函数的解析式为，
时，，
，解得，
反比例函数的解析式为：，
当时，．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求函数值，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
4．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【详解】解：是双曲线上一点，
，
A、，故点在该图象上；
B、，故点不在该图象上；
C、，故点在该图象上；
D、，故点在该图象上，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
5．A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
6．
【分析】将代数式化简为，再根据点在反比例函数的图像上，可以得到的值，再代入即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴
，
∴代数式的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，求代数式的值．解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．
【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做反比例函数．
8．(1)
(2)
【分析】（1）将点代入求解即可；
（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴将代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点在这个函数图像上，
∴把代入得，
解得：，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征．
9．B
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入到反比例函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：设这个反比例函数解析式为，
把代入反比例函数解析式中得，
∴，
∴这个反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数解析式中得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
10．
【分析】将点代入求得反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
11．(1)
(2)点在该函数的图像上；点不在该函数的图像上，理由见解析
【分析】(1)把代入解析式，列方程求解即可．
（2）用公式验证即可
【详解】（1）∵点在这个函数的图像上，
∴，
解得．
（2）∵，
∴该函数的解析式是：，
所以，
当时，时，
因为，
所以点在该函数的图像上；
当，时，
因为，
所以点不在该函数的图像上．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握坐标之积等于k是验证点是否在函数图像上的关键．
12．D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标关系，分别代入计算即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
当时，，因此选项A不符合题意；
当时，，因此选项B不符合题意；
当时，，因此选项C不符合题意；
当时，，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的关键．
13．B
【分析】用含有k的代数式表示点A移动后所得到的点的坐标，再代入函数关系式进行计算即可．
【详解】解：将点先向右平移个单位，再向下平移k个单位后所得到点的坐标为，
又∵点在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），或，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出移动后的点坐标是解决本题的关键．
14．##1.5
【分析】根据点的坐标求得反比例函数解析式，将代入，即可求解．
【详解】解：依题意，将点代入，得出，
∴反比例数解析式为，
当时，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．
15．2
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出，对等式进行化简可得出结论．
【详解】解：∵点、是反比例函数图像上的两个点，
∴，
整理得，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，根据反比例函数上点的坐标特征得出a，b之间的关系是解题关键．
16．(1)函数的表达式为，这个函数是反比例函数，比例系数是5000
(2)这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为
(3)当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的
【分析】（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂可进行求解；
（2）把代入（1）中函数关系式可进行求解；
（3）设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为，进而代入函数关系式可进行求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
所以所求函数的表达式为．
这个函数是反比例函数，比例系数是5000．
（2）解：当时，
．
这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为．
（3）解：设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为．
将分别代入，
得．
∴．
所以当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键．
17．B
【分析】根据等腰三角形的性质，求出点坐标，即可求出k的值．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查求反比例函数的值．解题的关键是根据三线合一，求出点A的坐标．
18．
【分析】先把代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出m的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
19．(1)；．
(2)
【分析】（1）先把点A和点B的坐标代入反比例函数，求出；再把点A和点B的坐标代入一次函数，求出和即可；
（2）设直线与x轴的交点为C，求出点C的坐标，由求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A 和点B，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：，点B的坐标为，
∵一次函数的图象经过点A和点B ，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
（2）解：设直线与x轴的交点为C，
由(1)知，，令，则，即．
则.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
20．D
【分析】根据图象可知，点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，设点A的坐标为，则点B的坐标为，再根据点A、B在函数的图象上，列出关于m的方程，解方程得出m的值，最后求出k的值即可．
【详解】解：根据图象可知，点A的横坐标为4，点B的横坐标为8，设点A的坐标为，则点B的坐标为，
∵点A、B在函数的图象上，
∴，
解得：，
点A的坐标为，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是求出点A或点B的坐标．
21．D
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，由此即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，
∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为是解题的关键．
22．1
【分析】由中点坐标公式可求出，再代入中，求出k的值即可．
【详解】解：∵点为线段的中点，且，，
∴点的坐标为．
∵双曲线经过点，
∴，
解得：　．
故答案为：1．
【点睛】本题考查中点坐标公式，反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
23．##
【分析】利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式．
【详解】解：如图，设与y轴交于点E，
∵，，以、为边作，
∴，，，
∴，
故，
设反比例函数的图象经过C点，
则，
∴，
∴这个函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，难度不大，根据平行四边形的性质求出C点坐标是解题的关键．
24．(1)反比例函数解析式为；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用尺规作出的平分线即可；
（3）求得，计算得出，利用对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点D，且点D的坐标为，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：如图，射线即可所作，
；
（3）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D的坐标为，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．A
【分析】根据自变量x的指数是，系数不为零解答即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查利用反比例函数的定义求参数值，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
26．1
【分析】由点在反比例函数图象上，代入后求出的值，再结合点在反比例函数图象上，由此得到关于的一元一次方程，即可求出结果．
【详解】反比例函数的图象过点，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的值，得到关于点坐标的方程即可求出结果，本题较为基础．
27．（1）；（2）
【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可；
（2）由（1）可直接把x=3代入求解．
【详解】解：（1）设，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）由（1）可把x=3代入得：
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．
28．A
【分析】根据反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，依此列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵点、是反比例函数图象上的一点，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积都等于比例系数是解题的关键．
29．B
【分析】联立方程组，由有两个交点，因此，又由，从而求出m的取值范围．
【详解】由题意，可得
，即有两个不相等的实数根，
，
，
又，
且，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，能够函数问题转化为方程问题，借助二次方程根的存在性解题是关键．
30．
【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，且经过点，得到，且，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，且经过点，
∴，且，
解得或（舍去），
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用反比例函数的性质求参数，解一元二次方程，正确理解反比例函数的性质是解题的关键．
31．12
【分析】通过，的坐标可看出C点在B点正上方，且能求出BC的长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数即可求出k的数值．
【详解】解：由，可知C在B点正上方，且，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴且，
∴D点在A点正上方，且，
∴D点坐标为 ，
将 代入反比例函数，
即，
∴．
故答案为：12
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和反比例函数的求法，熟练掌握平行四边形的性质求出D点坐标是解题的关键．
32．（1）-6，x≠0（2）2（3）3
【分析】（1）直接利用比例系数的定义以及分式的性质得出即可；
（2）将x=-3代入原式求出即可；
（3）利用y=-2代入原式求出即可．
【详解】（1）这个函数的比例系数为：-6，
自变量的取值范围是：x≠0；
（2）当x=-3时，y=-=2；
（3）当y=-2时，
-2=-，
解得：x=3，
即自变量x的值为3．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义以及代数式求值，正确理解函数值的意义是解题关键．
33．D
【分析】利用反比例函数定义对四个选项分析解答即可．
【详解】解：A．由得是的正比例函数，那么A不符合题意．
B．由得是的反比例函数，那么B不符合题意．
C．由得是的反比例函数，那么C不符合题意．
D．由得是的反比例函数，那么D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键在于掌握形如（为常数，）的函数称为反比例函数．
34．B
【分析】将点A，点B坐标代入解析式即可求解．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
35．B
【分析】把点代入反比例函数，可得，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，
4个选项中，只有点，，
故此函数图象必经过点，
故选：B．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式和图象上点的坐标特点，利用待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
36．B
【分析】把点的坐标代入反比例函数，求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴此函数图象上点的坐标特征为：，
∵，，，，
∴在此函数图象上，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键．
37．
【分析】把点代入反比例函数即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键．
38．
【分析】根据条件求出反比例函数解析式的比例系数k的值，代入，求m即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为：，
代入点，解得：，
代入，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是代入已知点求比例系数k的值．
39．4
【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：正方形中，
，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键．
40．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出点A的坐标，在带入解析式求解即可．
【详解】解：，
将代入，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，反比例函数解析式的求解，解题的关键是熟练应用反比例函数的性质．
41．
【分析】直接利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键．
42．反比例函数的表达式为
【分析】将点坐标代入一次函数的解析式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的解析式．
【详解】解：把点代入，得，
∴,
把点代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
43．C
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，是一次函数，故该选项不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不符合题意；
C． ，可化为，故该选项符合题意；
D． ，不是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．
44．C
【分析】先求反比例函数的解析式，再逐一进行判断即可．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
即：反比例函数为；
∵，
∴在此函数图象上；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，是解题的关键．
45．B
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形的周长为，边长为，
∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，
∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
46．C
【分析】设，则，再求出，，由F是的中点，得到，再由函数的图象经过点和点， 得到，由此即可求出答案．
【详解】解：由平移的性质可知 ，
设，则，
∵，，
∴轴，，
∴，
∴．
∵F是的中点，
∴，
∵函数的图象经过点和点，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，平移的性质，熟知正确用a表示出点C和点F的坐标是解题的关键．
47．
【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
48．
【分析】过作轴于，根据，即可求得，进而求得，最后代入解析式计算即可．
【详解】过作轴于，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
把代入得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得是解题的关键．
49．
【分析】如图所示，过点C作于D，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，则，即可推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
50．
【分析】根据平行四边形的性质，利用平移坐标变化规律求出点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点A平移到点B，横坐标减2，纵坐标加1，
根据平行四边形的性质可知，点O平移到点C也是如此，
∴C点坐标为，
代入得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用平行四边形的性质求出反比例图象上点的坐标．
51．(1)
(2)3
【分析】（1）在直线中求出点A和点B的坐标，根据中点的性质，可得点C坐标；
（2）根据点B和点C的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）过点作轴于点，如图所示，
在中，令，则，令，则，
∴，，
∴
∵B为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
代入中，得；
（2）∵，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，全等三角形的判定和性质，涉及到函数图像上的点，面积问题，比较基础，解题的关键是能根据中点得到点C的坐标．
52．(1)见详解
(2)
(3)是等腰三角形，理由见详解
【分析】（1）以B为圆心，为半径画弧，交于点P，问题得解；
（2）根据（1）可求出点P的坐标为，问题得解；
（3）根据反比例函数的图象上有一点Q，当其横坐标为4，可得点Q的坐标为，结合点B的坐标为，点P的坐标为，利用勾股定理可得，问题得解．
【详解】（1）以B为圆心，为半径画弧，交于点P，如图，
即：轴；
证明：根据作图可知，即，
则，进而有轴．
（2）∵点B的坐标为，
∴，
根据（1）可知，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为，
∴，
∴图象经过点P的反比例函数的表达式为：，
（3）是等腰三角形，理由如下：
∵反比例函数的图象上有一点Q，当其横坐标为4，
∴点Q的坐标为，
∵点B的坐标为，点P的坐标为，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质以及勾股定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
53．C
【分析】先求出点坐标，根据左边平移规律得到，利用待定系数法，求出过点的反比例函数的解析式．
【详解】解：将代入，得，则点坐标为，将点P先向上平移一个单位长度，再向右平移两个单位长度，所得点，
设反比例函数，将点代入得，
故选C．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，坐标的平移变换，掌握坐标平移变换规律是解题关键．
54．B
【分析】如图，过点C作于点D，由等腰直角三角形的性质可知，轴．由点在反比例函数的图象上，可得．设，得点B的坐标为，代入可得，求得，即可点A的坐标为，将其代入，即可求得．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵是等腰直角三角形，即：，
则轴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
设，
∴点B的坐标为，
∴，解得（不合题意，舍去），，
∴点A的坐标为，将其代入，
即：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式及等腰直角三角形的性质，添加辅助线，利用等腰三角形的性质表示出点B的坐标是解决问题的关键．
55．C
【分析】作轴于点先求出的坐标，证明，得到，，得到D的坐标是， 代入求出k即可．
【详解】作轴于点．
在中，令，解得：，即的坐标是．
令，解得：，即的坐标是．
则，．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
故D的坐标是，
代入得：，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求反比例函数的解析式，正确掌握全等三角形的判定定理证得，是解题的关键．
56．C
【分析】根据题意得到，求出，即可得到反比例函数解析式，由和都是等腰直角三角形，得到，再根据题意得点B的横坐标为，纵坐标为，根据反比例函数的意义即可求解．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
∵点P是反比例函数的图象与的交点，且点的横坐标为，
∴，
∴
∴反比例函数解析式为，
由题意得，点B的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，正确表示出点B的坐标是解题的关键，解答时，注意平方差公式的运用．
57．
【分析】把点代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】解：把点代入反比例函数，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练运用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
58．
【分析】连接，作轴于点E，先证明是等边三角形，求出，，再得出，进而得出，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：连接，作轴于点E，
由题意可得：，是的中点，
，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵在反比例函数上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出是解本题的关键．
59．2（答案不唯一）
【分析】根据矩形写出B，D两点坐标，然后利用双曲线经过点B，D时对应的k值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：∵矩形的顶点，，
∴,,
当双曲线经过点B时，k的值最小，此时，
当双曲线经过点D时，k的值最大，此时，
∴k的取值范围为．
∴k可以取2
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
60．60
【分析】过A作交于点E，交轴于点F，根据三线合一定理得到，再利用勾股定理求出，设，由，得到A点坐标为，D点坐标为，然后利用反比例函数图像经过点A，交BC于点D，求得，即可得到k的值．
【详解】解：，，
，
，
设，
，，
点坐标为，D点坐标为，
反比例函数的图像经过点A，交于点D，
，解得：，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图像上点的坐标特点，解题关键是能够熟练掌握相关知识进行求解．
61．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用尺规作图作出图形即可；
（3）利用待定系数法求出直线MN的解析式，设出平移后直线解析式，与反比例函数解析式联立，根据一元二次方程根的判别式为0求出答案即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过格点（网格线的交点），
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图所示；
（3）直线MN的解析式为，
由（2）可知，，
∴，解得，
∴直线的解析式为.
设直线向上平移m个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点，则平移后直线为，
联立得，，
则，
由，
解得（不合题意，舍去），
∴，
即当直线向上平移个单位时与唯一交点.
故答案为：
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，待定系数法求函数解析式，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.
62．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】（1）在矩形中，，，则，，再把E坐标代入，即可求出点F的坐标；
（2）的周长最小，即线段最短，所以作点F关于x轴的对称点，则，建立的函数关系式为，求出，即可求出点M的坐标；
（3）根据菱形的四边相等性质，即进行分类讨论、和即可．
【详解】（1）解：因为在矩形中，，
∴
∵
∴
因为的图象交于点E
∴，
因为F的横坐标等于B的横坐标，即F的横坐标为6
则F的纵坐标为
∴
（2）解：作点F关于x轴的对称点，则
连接与x轴交于点M，连接，此时的周长最小
设的函数关系式为
把，代入中，
得，解得
∴
当时，
∴
（3）解：点P的坐标为或或或，理由如下
设，由（2）知，
那么，
，
因为以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形
当，即，则，，（舍去）
此时
当，即，则，
此时
当，即，则，，
此时 P的坐标或者
综上所述：点P的坐标为或或或
【点睛】本题主要考查的是反比例内容、一次函数以及菱形性质等知识内容，掌握菱形性质进行正确分类讨论是解题的关键．
答案第1页，共2页
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