6.2反比例函数的图象和性质 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题6.2 反比例函数的图象和性质
1.掌握反比例函数的图象与性质；
2.掌握反比例函数的k值意义；
3、掌握反比例函数与一次函数、几何图形的综合问题；
【知识点】
知识点一、反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 (为常数，)中，由于，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
知识点二：反比例函数 ()中的比例系数的几何意义
过双曲线 ()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线 ()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
知识点01 已知反比例函数的图象判断解析式
【典型例题】
例
1．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．9 B．18 C．25 D．36
例
2．如图，符合图像的解析式是 ．（填序号）
①②③和④．
例
3．如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点．
(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若，求自变量t的取值范围．
【即学即练】
4．反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．函数和（且）的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
6．如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，且OA＝2，则k的值为 ．
7．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气体体积的反比例函数，其图像如图所示.则其函数解析式为 .
8．如图，在平面直角坐标系中．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围．
知识点02 已知双曲线分布的象限求参数范围
【典型例题】
例
9．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
例
10．反比例函数的图象的一支位于第一象限，则另一支位于第 象限，常数m取值范围是 ；在图象的每一支上，y随x的增大而 ．
例
11．已知函数．
(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？
(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？
【即学即练】
12．已知反比例函数 的图像上两点，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．若双曲线在第一、第三象限，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．条件不足，无法判断
14．已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是 ．
15．如图，菱形的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则反比例函数的表达式为 ．
16．已知反比例函数的图象位于第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若，反比例函数的图象过点，求m的值．
知识点03 反比例函数的增减性
【典型例题】
例
17．若点、、，在反比例函数的图象上，当时，，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例
18．已知函数，当时，函数的最大值为a，函数的最小值为，则k＝ ．
例
19．已知反比例函数，且当时，随的增大而减小．
(1)若该函数图像经过点，求实数的值；
(2)求实数的取值范围及该函数图像经过的象限．
【即学即练】
20．反比例函数，当时，随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
22．已知反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，且当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为 ．
23．在平面直角坐标系中，若反比例函数，当时，随增大而减小，则函数的图象不经过第 象限．
24．已知反比例函数（k为常数，）．
（Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求k的值；
（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）如图，若反比例函数的图象经过点A，轴于B，且的面积为6，求k的值；
知识点04 反比例函数k值意义
【典型例题】
例
25．如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
例
26．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，交反比例函数的图象于点B．若的面积为2，则m的值为 ．
例
27．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5．
(1)求值；
(2)当时，求函数值的取值范围．
【即学即练】
28．如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
29．如图，在平面直角坐标系中，的边与x轴重合，轴，反比例函数 的图象经过线段的中点C．若的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
30．如图是反比例函数图像的一部分，面积为4的矩形的边在轴上，顶点A在反比例函数图像上，则这个反比例函数的解析式为 ．
31．如图，一直线经过原点，且与反比例函数相交于点、点，过点作轴，垂足为，连接．若面积为，则 ．
32．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，且交轴于点．
(1)求，的值
(2)若点为双曲线上的一点，当的面积为时，求点的坐标．
知识点05 反比例函数与一次函数问题
【典型例题】
例1．
33．如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
例2．
34．点是一次函数与反比例函裂图像的交点，其 ．
例3．
35．阅读理解：
画图可知道，一次函数的图象可由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．
(1)反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是______．
解决问题：
如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点和点B．
(2)求点B的坐标；
(3)若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，经过点，求n的值及反比例函数平移后的图象对应的解析式．
【即学即练】
36．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为
37．一次函数和反比例函数 的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C．或 D．或
38．如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ．
39．已知一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，反比函数的图象经过的中点，则k的值为 ．
40．如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点B，．
(1)求k的值；
(2)求A、C两点的坐标；
(3)根据图像直接写出时x的取值范围．
知识点06 反比例函数与几何综合
【典型例题】
例
41．如图所示，的三个顶点分别为，，，若反比例函数在第一象限内的图像与有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．
42．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，轴，若的面积为2，则 ．
例
43．在平面直角坐标系中，过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，直线与x轴相交于点D．
(1)当时，求线段，的长．
(2)当时，求k的值．
【即学即练】
44．如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
45．如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
46．如图，平行四边形的边的中点D在y轴上，对角线与y轴交于点E，若反比例函数（k为常数且，）的图像恰好经过点A，且，则k的值为 ．
47．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过两点，已知平行四边形的面积是，则点的坐标为 ．
48．如图，已知双曲线与直线交于，两点，．
(1)求，的值；
(2)以为边向左构造正方形，过作轴的垂线交于点，连接，求的长．
49．如果反比例函数的图象经过点，那么这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
50．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
51．反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
52．如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
53．反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
54．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是 ．
55．如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ．
56．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则 ．
57．已知反比例函数
(1)如果这个函数的图象经过点，求k的值；
(2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
58．如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且．
(1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　．
59．反比例函数图象位于一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．如图，分别过反比例函数图像上任意两点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接、，设与的交点为E，与梯形的面积分别为，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
61．如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
62．如图，点是轴负半轴上一点，点在反比例函数的图象上，交交于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
63．已知函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么 ．
64．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，已知矩形的面积为6，则 ．
65．如图，点是反比例函数图象上一点，连接．过点作轴于点，为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，则四边形的面积为 ．
66．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则 ．
67．已知函数．
(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？
(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？
68．如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)连接，求的面积．
69．对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点
C．若点在其图象上，那么点也一定在其图象上
D．若点都在函数图象上，且，则
70．如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
71．如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
72．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点A，分别在轴、轴的正半轴上，为的中点，反比例函数（，）的图象经过点和点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
73．已知点，，都在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的大小关系是 ．
74．直线与x轴交于点C，与y轴交于D，与双曲线交于A，B两点，轴，，则 ．
75．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在反比例函数图象上，点为反比例函数图象上一动点，且在直线右侧，过点作轴于点，作于点，当四边形为正方形时，点坐标为 ．
76．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上． 以AB为边长作正方形，，点C在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D刚好落在该函数图象上，则k的值是 ．
77．已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．
(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出的面积；
(4)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
78．如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于和，以为对角线作矩形，点C恰好在反比例函数的图象上．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接、，求的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则周长的最小值为　 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据图象，当时，函数值在3和6之间，代入解析式即可求解．
【详解】解：当时，，
∵，
∴，
∴，
∴的值可以为25，
故选：C．
【点睛】此题考查了求反比例函数的比例系数，解题的关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
2．④
【分析】根据题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：双曲线图像在第一象限和第二象限，
，
应选④，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数的图像是双曲线，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可．
（2）先求出时对应的的值，再根据反比例函数图像特征写出时，自变量x的相应的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴该曲线所表示的函数的解析式；
（2）把代入得，，
由图像得，当时，．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围．
4．A
【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择．
【详解】假设点A在该反比例函数图象上，
∴，
∵点A实际在该反比例函数图象上方，
∴．
选项中只有A选项的值小于2．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答．
【详解】由条件可知，，
当时的图像经过第二、四象限，
当时的图像经过第一、三象限，故选B．
【点睛】本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k的关系．
6．2
【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，设A（t，t）（t＞0），根据两点间的距离公式0得到，求出得到A点坐标(，)，然后把A点坐标代入y＝（k≠0）中即可求出k的值．
【详解】解：设A（t，t）（t＞0），
∵OA＝2，
∴，解得t=（负值舍去），
∴A(，)，
把A(，)代入y＝得：k＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查函数图象的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．
7．
【分析】根据“气压×体积＝常数”可知：先求得常数的值，再表示出气体体积V和气压p的函数解析式．
【详解】设，那么点（1.6，60）在此函数解析式上，则k＝1.6×60＝96，
∴．
故答案为：．
【点睛】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8．（1），；（2）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据图象和A、B的坐标即可求出答案．
【详解】解：（1）在反比例函数的图象上
．
，．
把、代入一次函数
得，从而得到，，
．
（2）由（1）得
∵
∴一次函数图像在反比例函数图像上方
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想是解题关键．
9．A
【分析】根据反比例函数的性质∶反比例函数的图像位于第一、三象限，则可知系数，解得 m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限，
∴，
解得：．
结合选项可知，只有2符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上随y随x的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大．
10． 三 减小
【分析】根据反比例函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴另一支位于第三象限；
∵反比例函数的两个分支位于一、三象限，
∴，
解得；
∵，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
故答案为：三； ；减小．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握：当时，的图象在第一、三象限，在图象的每一支上，y随x的增大而减小；当时，的图象在第二、四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
11．(1)；
(2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大
【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限，
∴，
∴；
∵函数的图象分布在第二、第四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而减小；
∵在每一个象限内，函数随的增大而增大，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而增大．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键．
12．D
【分析】根据反比例函数图像上点的特征得到图像位于一、三象限，所以，即可求出的取值范围为．
【详解】解：时，，
反比例函数图像位于一、三象限，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据题意判断出函数图像位于的象限是解答本题的关键．
13．B
【分析】根据比例函数的图像与性质，双曲线在第一、第三象限，得到，再根据关于的方程计算根的判别式，从而判断该方程根的情况．
【详解】解：∵双曲线在第一、第三象限，
∴，
∵关于的方程，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式，正确理解相关概念，通过反比例函数的图像性质得到的取值范围是解题的关键．
14．
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．
15．
【分析】连接，交y轴于D，根据菱形性质得，得到为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出 面积，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到，最后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：连接，交y轴于D，
四边形为菱形，
，且，，
菱形的面积为8，
，
轴，
，
，
反比例函数在第二象限，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像与性质、反比例函数比例系数k的几何意义，以及菱形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解答本题的关键．
16．(1)
(2)1
【分析】（1）根据反比例函数图象位于第一、三象限即可得到，由此进行求解即可；
（2）直接把点代入中进行求解即可．
【详解】（1）由题意，，
解得：；
（2）∵，
∴反比例函数的表达式为，
把点代入，得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，求反比例函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图象与比例系数之间的关系．
17．B
【分析】利用反比例函数的性质，构建不等式即可解决问题．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，当时，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．2
【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案．
【详解】解：函数，当时，函数的最大值为，
时，，
，当时，函数的最小值为，
当时，，
，
故，
解得：．
则：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．
19．(1)
(2)，该函数图像经过第一、三象限
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解．
【详解】（1）解：∵该函数图像经过点，
∴，
解得：．
（2）解：∵当时，随的增大而减小，
∴．
∴的取值范围是．
∴该函数图像经过第一、三象限．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
20．A
【分析】根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而增大，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．A
【分析】先根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式的特点求得，进而求得即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，
∴，则，
∵整式是一个完全平方式，
∴，则，
∴，
∴该反比例函数的解析式为，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．
22．
【分析】根据题意得出，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，
∴，
∵当时，函数的最大值和最小值之差为4，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．二
【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】解∶∵反比例函数，当时，随增大而减小，
∴，
∴，，
∴函数的图象经过一、三、四象限，
∴函数的图象不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1=1×2，然后解方程即可；
（2）根据反比例函数的性质得k-1>0，然后解不等式即可；
（3）根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】（1）∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴；
（2）∵在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴，
∴；
（3）由题根据反比函数k的几何意义，可知：，
∴，解得：或，
又∵反比例函数图象经过第二象限，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查求解反比例函数的系数，反比函数的性质及反比例函数k的几何意义，熟记基本性质是解题关键．
25．C
【分析】根据三角形的面积，得出，再根据反比例函数系数k的几何意义，得出，即，再根据反比例函数图象所在象限判断，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握对反比例函数，当，图象在第一、三象限，当 ，图象在第二、四象限是解题的关键．
26．2
【分析】延长交x轴于点C，则，根据反比例函数系数k的几何意义可求得m的值．
【详解】解：如图，延长交x轴于点C，
轴，
轴，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查的是反比例函数中系数k的几何意义．熟练运用反比例函数中系数k的几何意义是解题的关键．
27．(1)10
(2)
【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可；
（2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案．
【详解】（1）解法一：
∵点在双曲线上，轴，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
解法二：
设点的坐标为
∵轴，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）∵．
∴双曲线的表达式为．
当时，．
由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键．
28．B
【分析】过点C作于点D，根据菱形的性质，可得，，根据菱形的面积，可得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义，可得k的值．
【详解】解：过点C作于点D，如图所示：
在菱形中，，
∴，
∵菱形的面积为4，点B在y轴的正半轴上，
∴的面积为2，
∴的面积为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和菱形的性质是解题的关键．
29．C
【分析】连接，根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵C为的中点，
∴，
∵轴，的面积为8，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据的面积为8，求出．
30．
【分析】设反比例函数解析式，根据反比例函数解析式中的几何意义可得，然后利用反比例函数的性质和绝对值的意义可求出，从而得到反比例函数解析式．
【详解】设反比例函数解析式，
面积为4的矩形的边在轴上，
，
而，
，
所以反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式中的几何意义，解题关键是理解矩形面积等于的的绝对值，需要注意图像在第四象限，其结果小于0．
31．4
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知、两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值．
【详解】解：反比例函数与正比例函数的图像相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图像上的点，且轴于点，
的面积，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
32．(1)，
(2)
【分析】（1）把点代入直线，可求出的值，再把求出的点代入曲线，即可求解；
（2）如图所示（见详解），直线交轴于点，可求出点的坐标，即的长度，由（1）可知双曲线方程，设的高，即点到轴的距离为，当的面积为时，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点，
∴，
∴，把点代入双曲线，
∴，解得，，即双曲线解析式为，
∴，．
（2）解：直线交轴于点，
∴，
∴，
∵点为双曲线上的一点，
∴设点，如图所示，
∴点到轴的距离为，
当的面积为时，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，三角形的面积，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的变换是解题的关键．
33．D
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵
∴
由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，
由图象可以看出当或时，函数在上方，即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．
34．-4
【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y=x-1与反比例函数，求出a-b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点A(a，b)是一次函数y=x+1与反比例函数的交点，
∴b=a+1，，即a b=-1，ab=4，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，在对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可．
35．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据函数图象向右平移减，向左平移加，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得B点坐标；
（3）根据函数图象向右平移减，可得平移后的函数解析式，根据待定系数法，可得n值，函数解析式．
【详解】（1）解：根据题意得：反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是；
故答案为：
（2）解：∵直线过点，
∴，解得：，
∴直线，
联立得：，解得：，，
∴点；
（3）解：根据题意得：将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后的函数解析式为，
∵平移后的函数图象经过点，
∴，解得：，
∴平移后的解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，利用了函数图象平移的规律：数图象向右平移减，向左平移加；解方程组得出函数图象的交点坐标，利用了待定系数法求函数解析式是解题的关键．
36．C
【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．
【详解】解：∵，
∴玻璃加热速度为，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，
由题可得，在正比例函数图象上，
代入点可得，，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，
∴将代入，得，
∴将代入，得，
∴，
∴能够对玻璃进行加工时长为，
故C选项符合题意；
将代入得，，
∴，
∴玻璃从降至室温需要的时间为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．
37．B
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图可知，当，的取值范围为或．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围．
38．或
【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可．
【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B，
令，
解得：，
∴，，
观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点．
39．2
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出的中点坐标，最后代入即可求解．
【详解】∵一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，
∴，
∴当时，，解得，
∴，
∴的中点坐标为，即，
∵反比函数的图象经过的中点，
∴将代入得，．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数上点的坐标，解题的关键是根据题意求出点A和点B的坐标．
40．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之即可求得A、C的坐标；
（3）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：设A点坐标为，且，
则，
∴，
又∵，
即，
∴；
（2）解：由（1）得：两个函数的解析式分别为，，
∵A、C是双曲线与直线的交点，
∴，解得，，
∴，；
（3）解：使成立的x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中是定值这一知识点是解答此题的关键．
41．B
【分析】由题意可知是直角三角形，结合反比例函数的图像与性质可知当反比例函数经过点时最小，经过点时最大，即可获得答案．
【详解】解：∵的三个顶点分别为，，，
∵是直角三角形，
∴当反比例函数经过点时最小，经过点时最大，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
42．7
【分析】设，则，由此可得，再由的面积为2，得到，据此列式求解即可．
【详解】解：设，
∵轴，顶点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，通过设出点A的坐标，进而求出的长度是解题的关键．
43．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的横坐标相等，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，进而问题可求解；
（2）根据题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
∵过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，
∴，
∴；
（2）解：∵过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
44．A
【分析】首先根据等边三角形的性质得到，进而求出，然后利用角直角三角形的性质求出，然后利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理得到，进而得到点B的坐标，然后代入即可求出k的值．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点恰好在反比例函数的图象上，
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标是解题的关键．
45．C
【分析】首先根据、点所在位置设出、两点的坐标，再利用勾股定理表示出，以及的长，再表示出，进而可得到．
【详解】
解：点在双曲线上一点，
设，，
轴，在双曲线上，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及勾股定理的应用，关键是表示出、两点的坐标．
46．12
【分析】先证明是等腰直角三角形，，由平行四边形的边的中点D在y轴上，求得，据此求解即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平行四边形的边的中点D在y轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图像恰好经过点A，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形性质及反比例函数系数的几何意义是解题关键．
47．
【分析】用待定系数法求值反比例函数解析式，设，设，可用含的式子表示出平行四边形的面积，解的关系是，再用待定系数法求出所在直线的解析式，根据点在上，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴设，则点到轴的距离为，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于，
∴，
∵平行四边形的面积是，即，
∴，则，
设直线所在直线的解析式为，且，
∴，解得，，
∴直线所在直线的解析式为，
∵在上，
∴，整理得，，
∵，则，
∴，且，
∴，则，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求正比例、反比例函数解析式，特殊四边形的性质是解题的关键．
48．(1)，
(2)
【分析】（1）将代入，，即可求解；
（2），关于原点中心对称，，得出，过作轴垂线交于点，连接，继而得出四边形是矩形，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：，
将代入，
即，
解得：；
（2）解：∵，关于原点中心对称，，
∴，
∴，
过作轴垂线交于点，连接，
∴，
则是等腰直角三角形，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，反比例函数与几何图形结合，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
49．A
【分析】先根据反比例函数的图象经过点求出k的值，再根据反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的图象在一、三象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，时，图象在第二、四象限．
50．A
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，
∴点和中，，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．
51．C
【分析】根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
52．D
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后去绝对值即可得．
【详解】解：由反比例函数的图象可知，，
的面积为1，点为反比例函数的图象上一点，且轴，
，
解得或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，熟记反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
53．##
【分析】若反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，即反比例系数，从而求得k的范围．
【详解】解：∵反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求．
54．
【分析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后结合函数图像，写出反比例函数图像在一次函数图像下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵，在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
当时，，即，
∴，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．掌握利用图像法解不等式是解题的关键．
55．
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果．
【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．
56．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义代入求解即可；点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，则．
【详解】解：依题意得，
，
，
的图像在第二象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
57．(1)
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围．
【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得，
∴．
（2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，
∴
解得：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
58．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标；
（2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
（3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
点的坐标为；
当时，有，解得：，
点的坐标为．
故答案为：，；
（2）解：，且、、、四点共线，
点是线段的中点，
，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（3）解：由解得或，
，
观察图象，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比．
59．C
【分析】根据反比例函数图象位于第一、三象限，可得，解不等式即可求解.
【详解】解：∵反比例函数图象位于一、三象限，
∴，
解得：，
故选：C.
【点睛】本题主要考查反比例函数图象性质，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象的性质.
60．C
【分析】根据点、在反比例函数图像上结合反比例函数系数k的几何意义即可得出，再根据、即可得出，此题得解．
【详解】解： 点A、B在反比例函数图像上，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用分割图形求面积法找出、是解题的关键．
61．A
【分析】分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案．
【详解】当时，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数图像位于一、三象限，可知A符合题意；
当时，一次函数图像经过第二、三、四象限，反比例函数图像位于二、四象限，可知B，C，D不符合题意.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，掌握函数关系式的系数与函数图像的位置之间的关系是解题的关键．
62．C
【分析】过点B作轴于点D，设，则根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．
∵
设，
则，
∵，
∴，，
∴
即，
则，
∴，，
故选：C．
【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
63．
【分析】先根据反比例函数的定义得到，解方程求出或，再根据反比例函数经过的象限得到，即可求出．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
解得或，
又∵该反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的定义和反比例函数图象与系数的关系，一般地，形如的函数叫做反比例函数；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
．
64．
【分析】根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在二、四象限可确定，进而得到解析式．
【详解】解：，
，
图象在二、四象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，正确记忆过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题关键．
65．3
【分析】根据反比例函数的几何意义可得，，根据中线的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
66．8
【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算．
【详解】解：轴，轴，
，，
四边形的面积．
解得．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
67．(1)；
(2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大
【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限，
∴，
∴；
∵函数的图象分布在第二、第四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而减小；
∵在每一个象限内，函数随的增大而增大，
∴，
∴，
即当时，在每一个象限内，随的增大而增大．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键．
68．(1)，；
(2)12．
【分析】（1）把点代入，可得双曲线的解析式为，再求出，再把A，B代入，即可求解；
（2）过点B作轴，交延长线于D，可得，，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，即，
∴双曲线的解析式为；
把点代入得，，
∴，
把A，B代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点B作轴，交AC延长线于D，
∵，轴，垂足为C，
∴点C的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
69．D
【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
【详解】A、∵，∴图象在第一、三象限，故A选项正确，不符合题意；
B、∵反比例函数，∴，故图象经过点，故B选项正确，不符合题意；
C、∵点在图象上，∴，故C选项正确，不符合题意；
D、∵不能确定点，是否在同一象限内，∴不能确定的大小，故原选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
70．D
【分析】先把代入反比例函数求出k的值，分别过 两点作轴，轴，证明，再设，即可得B的坐标，列方程求m的值，确定P点坐标．
【详解】
解：分别过 两点作轴，轴，垂足为C、D，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，设，
∴，，
∵在反比例函数上，
∴，解得：，
∴或
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，坐标与图形变化﹣旋转，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
71．C
【分析】表示出点E的坐标，然后根据点A和点E都在反比例函数图象上列出关于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系数法求出直线的解析式，然后可求出的长．
【详解】解：∵，四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点A和点E都在反比例函数图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴的长为5.4．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
72．C
【分析】过点E作轴，过点C作轴，根据含30度角的性质得出，，设矩形的宽，继续利用含30度角的直角三角形的性质确定点，点，组成方程求解，即可得出结果．
【详解】解：过点E作轴，过点C作轴，如图所示：
∵，，
∴
∴，，
设矩形的宽，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点；
∵反比例函数（，）的图象经过点和点，
∴，
解得：或（舍去），
将代入得，
故选：C．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质及含30度直角三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
73．
【分析】根据得到图象在第二、四象限并且函数值随自变量的增大而减小即可解答．
【详解】解：∵比例函数，
∴，
∴图象在第一、三象限，
当时，图象在第三象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点，中，，
∴,
当时，图象在第一象限，函数值随自变量的增大而减小，
∴在点中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
74．3
【分析】作轴于，则，即可得出，由，得出，即，由一次函数的解析式即可求得，，利用三角形面积公式即可求得，进一步求得，得出，从而求得．
【详解】解：作轴于，则，
直线与轴交于点，与轴交于，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，等腰直角三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
75．
【分析】先根据点B的坐标求出反比例函数解析式，设正方形的边长为a，则可求，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
设正方形的边长为，则，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一元二次方程的解法等知识，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
76．8
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质以及角的计算即可证出，设，即可得出点,的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的方程，解方程求出值，此题得解．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点如图所示．
四边形为正方形，
，，
，
又，
．
在和中，，
，
，．
同理可得：
，
设，，
，，
，．
∵点C在反比例函数的图象上
，
点沿x轴的负半轴方向平移6个单位长度后在反比例函数的图象上，
，
，
，
∵，
∴，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：8．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例函数解析式以及点的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程是关键．
77．(1)；图象见解析
(2)；或
(3)2
(4)或或
【分析】（1）把代入可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出的面积；
（4）根据平行四边形的性质，分两种情况：若以为对角线时；若以为边时，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
∴一次函数图象与x轴交于点，
画出一次函数图象，如下：
（2）解：联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
观察图象得：当或时，，
即当时，对应自变量x的取值范围或；
（3）解：∵点B与点D关于原点成中心对称，点B的坐标为，
∴点D的坐标为，
过点D作轴于交于点E，
把代入得：，
∴点E的坐标为，
∴，
即的面积为2．
（4）解：设点P的坐标为，
若以为对角线时，
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为边时，
或
解得：或
此时点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
78．(1)一次函数，反比例函数表达式
(2)
(3)+1
【分析】（1）将和代入可得k和b的值，从而得出点C的坐标，即可解决问题；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小，根据勾股定理求出的长，从而得出答案．
【详解】（1）解：将和代入得，
，
解得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数，反比例函数表达式；
（2）解：由题意知，
∴；
（3）：由题意知，
∴；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于，此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为+，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称 最短路线问题是解题的关键．
答案第1页，共2页
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