1.2二次根式的性质 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题1.2 二次根式的性质
1.掌握二次根式的性质和二次根式的化简，熟悉最简二次根式的条件；
2.掌握二次根式与数轴、几何问题的综合，掌握复合二次根式的化简方法；
知识点01 利用二次根式的性质化简
【知识点】
1.二次根式的性质：
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
2.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【典型例题】
例
1．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
例
2．已知，则的值为（ ）．
A．22 B．20 C．18 D．16
例
3．已知，则当 时，的最大值= ．
【即学即练】
4．已知，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果为（　　）
A． B．1 C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
7．若，则 ．
8．阅读理解：对于任意正整数，，有下面的不等式：，当且仅当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，当且仅当时，有最小值．若，式子有最小值为 ．
9．求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)______的解法是正确的；
(2)化简代数式，（其中）；
(3)若，直接写出的取值范围．
知识点02 根据数轴对二次根式进行化简
【典型例题】
例
10．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．b
例
11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　）
A． B．b C． D．
例
12．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ．
【即学即练】
13．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　 ）．
A． B． C． D．无法确定
15．实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( )
A． B． C． D．
16．实数a在数轴上对应的点位置如图所示，则化简＝ ．
17．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简= ．
18．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简．
知识点03 二次根式的性质与几何结合问题
【典型例题】
例
19．若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　）
A．5 B． C． D．
例
20．如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（ ）
A． B．10 C． D．15
例
21．如图，在，，，则 ．
【即学即练】
22．如图所示，是的平分线，点B在上，于点D，．若，点B到的距离为2，则长为（ ）
A．2 B． C． D．3
23．如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，一个大正方形被两条线段分成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别是4和8，则小长方形的对角线AB＝( )
A．2 B．3 C．2 D．3
25．如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为 ．
26．图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的，按此规律继续演化，则线段的长为___________
27．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段、、的顶点都在格点上．
(1)分别写出图中线段、、的长；
(2)证明以线段、、为三边的三角形是直角三角形．
知识点04 复合二次根式的化简
【典型例题】
例
28．化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
例
29．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
例
30．已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ．
【即学即练】
31．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
32．对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
33．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
34．观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ．
35．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 .
36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
题组A基础过关练
37．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6
39．下列等式一定成立的是（ ）
A．＝a B．＝a＋b
C．＝a－b D．＝a－b
40．对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4，则第三边的长是5；②；③若点在第三象限，则点在第一象限．正确的说法是（ ）
A．只有①错误，其他正确 B．①②错误，③正确
C．①③错误，②正确 D．只有③错误，其他正确
41．若，化简 ．
42．已知1＜a＜3，则化简的结果是 ．
43．若实数、在数轴上的位置如图所示，则代数式化简为 ．
44．对于任意不相等的两个实数、，定义一种运算※如下：※．如：4※3，那么9※7 ．
45．计算：
(1)；
(2)．
46．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
题组B 能力提升练
47．下列关于的叙述，正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点
B．
C．
D．与最接近的整数是
48．在中，若分别为所对的边，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．0
49．已知，当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
50．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（　　　）（用含n的代数式表示）
A． B． C． D．
51．若，，且，则 ．
52．已知函数，若，则 ．
53．化简： ．
54．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为9的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
55．一些数按某种规律排列如下：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
……
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第（是正整数）行，从左数第个数（用含的代数式表示）．
56．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成，从而使得，化简：
例如：∵．
∴．
请你仿照上例将右式化简：
题组C 培优拔尖练
57．若，，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．
58．将一组数据，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：，，3，，；
，，，，；
；
若的位置记为，的位置记为，则这组数中的位置记为（ ）
A． B． C． D．
59．观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A．
B．
C．
D．
60．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1cm/s的速度运动到点B．图2是点P运动时，△ADP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值是（　　）
A． B． C．2 D．
61．若两不等实数a，b满足，，则的值为 ．
62．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么 ．
63．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为 ．
64．设，，…，，则Sn化简的结果用n（n为整数）的式子表示为 ．
65．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
66．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，进而可得，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
，
故选：A.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．A
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：解：∵一定有意义，
∴，
∴，
，
整理得：，
∴，
则．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．
3．
【分析】首先根据，当时，取最大值，进而求出结果．
【详解】
当时，即：，时，取最大值，
当时， ．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式大于或等于0是解本题的关键．
4．A
【分析】根据二次根式的性质可得，，，求解即可．
【详解】解：由二次根式的双重非负性可得，，
解得且
∴
故选：A
【点睛】此题考查了二次根式的双重非负性，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性，正确列出不等式．
5．D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，判断的符号，再根据二次根式的定义进行化简即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，，
∴，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，以及二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，根据定义进行化简．
6．C
【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入求值即可．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算法则，根据二次根式有意义的条件得出的值是解本题的关键．
7．
【分析】利用和的完全平方公式求出，再利用差的完全平方公式变形求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的化简，正确掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键．
8．
【分析】根据题中所给方法可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
当时，则，
当且仅当时，即时，取最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解．
9．(1)小芳
(2)3
(3)
【分析】（1）由知，据此可得，从而作出判断；
（2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；
（3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应值，合并即可．
【详解】（1）解：，
，
则，
所以小芳的解法是正确的，
故答案为：小芳；
（2），
；
（3）
当时，，
解得：；
当时，；
当时，，
解得：，
综上，的取值范围是：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
10．A
【分析】先根据题意得到，然后化简绝对值和二次根式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的化简，正确得到是解题的关键．
11．B
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．
【详解】解：由数轴可知，
∴，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．
12．0
【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．
【详解】解：，
，，，
原式．
故答案为：．
【点睛】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．
13．C
【分析】根据数轴，确定a，b的符号，绝对值的大小，再进行计算判断即可．
【详解】解：根据数轴可知：，，
∴，，故AB错误，C正确；
D．∵，，，
∴，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握实数大小比较的原则，二次根式的性质，是解题的关键．
14．A
【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】解：∵由图可知：，
∴，，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
15．B
【分析】利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【详解】∵由数轴可知，，且，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
16．##
【分析】先根据数轴得出，可得，，进而利用二次根式的性质和绝对值的性质化简得
【详解】解：由数轴可得：，
则，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的性质，利用二次根式性质正确化简是解题关键．
17．
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【详解】由图可知，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握，．
18．
【分析】直接利用数轴上，点位置得出，，的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，，
原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
19．A
【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可．
【详解】解：由三角形三边关系可知：，
∴，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
20．C
【分析】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．
【详解】解：由折叠性质可知，，
在长方形中，，
，
，
在中，利用勾股定理得到，
设，则，
在中，利用勾股定理得到，即，解得，
，
在中，利用勾股定理得到，
故选：C．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．
21．6
【分析】根据勾股定理得出，即可求出答案．
【详解】解：∵在，，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．
22．C
【分析】过点B作于点E，则，根据角平分线的性质定理可得，再由，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于点E，则，
∵是的平分线，点B在上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
23．C
【分析】将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【详解】解：如图，将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，过作于，如图所示：
由题意得：，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．
24．A
【分析】根据两个正方形面积，得到两个正方形边长的平方，从而求出AB的值．
【详解】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，
则AB＝，
由题意可知，，，
∴AB＝＝＝．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
25．
【分析】判断出大正方形的面积，可得结论．
【详解】由题意大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的拼剪，算术平方根等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．
【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解．
【详解】解：，
由勾股定理可得：，
，
，
可知，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．
27．(1)，，
(2)详见解析
【分析】（1）利用勾股定理分别计算线段、、的长即可；
（2）先计算再利用勾股定理的逆定理可得结论．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：
（2）解：∵
∴
∴以为边的三角形是直角三角形，且是斜边．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键．
28．D
【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．
29．D
【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
30．-2018
【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题．
【详解】解：∵x＝，
∴4x2+4x-2020
=（2x+1）2-2021
=（2×+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（+1）2-2021
=（ 1+1）2-2021
=3-2021
=-2018．
故答案为：-2018．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可．
31．B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
32．C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
33．C
【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.
【详解】解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,
原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,
故选C.
【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0).
34．﹣．
【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握．
35．,
【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.
36．(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
37．B
【分析】根据题意可知，直接解答即可．
【详解】解：∵，
即
解得．
故选：B．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
38．A
【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴可以得到： ，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．
39．D
【分析】直接利用二次根式的性质化简判断即可．
【详解】解：A、=|a|，故此选项错误，不合题意；
B、无法化简，故此选项错误，不合题意；
C、=|a-b|，故此选项错误，不合题意；
D、=a-b，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
40．A
【分析】①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；②隐含条件a≥0，根据二次根式的定义解答；③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出-a、-b的符号即可．
【详解】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；
②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；
③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则-a＞0，-b＞0，点Q（-a，-b）在第一象限；
故选：A．
【点睛】本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，各象限内点的坐标特征，解题的关键在于注意题中隐含的条件．
41．
【分析】首先利用二次根式的性质得出，进而化简求出即可．
【详解】解：∵ ，有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
42．3
【分析】先根据二次根式的性质得出原式=，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴
=
=
=
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
43．2a+b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置进而得出，a＞0，再化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：
，a＞0，
则
=b+a+a
=2a+b．
故答案为：2a+b．
【点睛】此题考查了绝对值的性质、二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
44．2
【分析】根据新定义的运算法则即可解答．
【详解】解：9※7．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是明确新定义的运算．
45．(1)
(2)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可．
（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半．
46．(1)
(2)1
【分析】（1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程．
47．D
【分析】根据实数与数轴可判断A，根据二次根式的性质可判断B和C，根据的值的范围，可判断D．
【详解】解：A、在数轴上存在表示的点，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与最接近的整数是，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
48．A
【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可．
【详解】解：∵分别为所对的边，
∴，
∴原式
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
49．D
【分析】当时，，当时，，把代入，求出，再根据题意得出总和为，再求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，，
当时，；
当x=1时，；
所以当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的关键．
50．B
【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．
51．
【分析】根据，，且，得出，，代入求值即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，代数式求值，解题的关键是求出，．
52．
【分析】根据已知函数的形式代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键．
53．
【分析】根据完全平方公式，得出，根据的取值范围得出，化简绝对值即可求解．
【详解】解：
；
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
54．
【分析】先求出a、b、c的值，再代入所给的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，二次根式的化简，根据比的性质，求出三角形各边长，再运用公式计算是解题的关键．
55．(1)
(2)
【分析】（1）根据第4行的最后一个数为：，即可得到第5行第一个数为：，从左到右，被开方数依次加1，即可得解；
（2）根据规律可知：第1行最后一个数是：，第2行最后一个数是：，第3行最后一个数是：，第4行最后一个数是：，
进而推出第行最后一个数，然后推导出第（是正整数）行，从左数第个数即可．
【详解】（1）解：由表格可知：第5行第一个数为：，
则第5行，从左到右依次是：，，，，，
∴第5行从左数第4个数：；
（2）解：由表格可知：第1行最后一个数是：，
第2行最后一个数是：，
第3行最后一个数是：，
第4行最后一个数是：，
∴第行最后一个数是：，
∴第行的第一个数是：，从左数第个数为：．
【点睛】本题考查数字规律探究．观察出被开方数是连续自然数，并且每一行的最后一个被开方数是所在行数乘以比行数大1的数，是解题的关键．
56．
【分析】仿照例题将改为即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容，掌握二次根式的性质是解题的关键．
57．A
【分析】利用完全平方公式的变形公式，即可算出的值，根据来判断与的大小，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
即
故选：A．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．
58．A
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数．
【详解】解：一组数据的排列变形为
，，，，；
，，，，；
；
由题意可知，每行5个数，
∵87=3×29，
∴是第29个数，
∵…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的数的特点，找到数的排列规律是解题的关键．
59．C
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：由规律可得，第n个式子为：
．
故选项A、B、D错误，选项C正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．
60．B
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线可得，，再过点作于点，结合函数图象可得当点运动到点时，最大，则也最大，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得．
【详解】解：是的中线，
，，
如图，过点作于点，
则的面积，
当点运动到点时，最大，则也最大，
由函数图象可知，此时，，，
，
解得，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、从函数图象获取信息，找出当点运动到点时，最大，也最大是解题关键．
61．4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴原式＝．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是，本题属于基础题型．
62．##
【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键．
63．2或4##4或2
【分析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．
【详解】解：在中，，，，点是的中点，
，，，
由折叠可知，，
∴
①由点运动可知点不可能是直角顶点；
②如图，当点为直角顶点，即，
，
，，
，，
；
③如图，当点是直角顶点时，即，连接，
在△中，
∴△，
，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
64．
【分析】先将根号内的分式化成平方形式，再计算即可．
【详解】解：∵1+＝
＝
＝
，
∴Sn＝．
故答案为：Sn＝．
【点睛】本题考查二次根数的化简与分式的性质，将根号内的分式化成平方形式是解题的关键．
65．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
66．(1)见解析
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
答案第1页，共2页
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