1.3二次根式的运算 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题1.3 二次根式的运算
1.掌握二次根式的加减乘除法运算，学会二次根式的混合运算的技巧；
2.掌握最简二次根式和同类二次根式的概念和性质，并学会其在计算中的应用；
3、掌握二次根式的应用；
知识点01 二次根式的乘除法运算
【知识点】
1、二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
2、二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
【典型例题】
例（2022秋·河南平顶山·八年级校考阶段练习）
1．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）
2．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（ ）
A． B． C． D．
例（2022春·宁夏吴忠·八年级校考期中）
3．化简＝ ．
【即学即练】
4．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）
6．的有理化因式可以是 ．
（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）
7．七巧板被西方人称为“东方魔板”，如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长是，则“一帆风顺”图中涂色部分的面积为 ．
（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）
8．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知识点02 二次根式的加减法运算
【知识点】
二次根式的加减：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
2、二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典型例题】
例1．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）
9．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
例2．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）
10．下列计算正确的有（　　）
；；；；；
A．1个 B．2个 C．5个 D．6个
例3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）
11．如果的整数部分为，的小数部分为，求 ．
【即学即练】
（2022春·八年级单元测试）
12．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A． B．
C． D．或
（2022·八年级单元测试）
13．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有　　
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）
14．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ．
（2021秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）
15．a＝x+2019，b＝x+2020，c＝x+2021，则的值为 ．
（2021春·山东淄博·九年级校考期中）
16．在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：
，
．请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：______；______．
(2)化简：．
(3)若，求的值．
知识点03 最简二次根式
【知识点】
最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【典型例题】
例1．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）
17．已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例2．（2021春·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）
18．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
例3．（2021秋·山西临汾·九年级校考期末）
19．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【即学即练】
（2021秋·八年级单元测试）
20．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
（2022春·广西贺州·八年级统考期中）
21．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022秋·全国·八年级专题练习）
22．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
（2021秋·安徽宿州·八年级统考期末）
23．最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ．
（2021·八年级统考课时练习）
24．已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值.
知识点04 同类二次根式
【知识点】
概念：几个二次根式,当它们化到最简形式后（即根号里的数不能再开方）,根号里的部分相同,则它们是同类二次根式.
【典型例题】
例1．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）
25．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期中）
26．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
例3．（2023春·八年级单元测试）
27．若最简二次根式与是同类二次根式，则m = ．
【即学即练】
（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）
28．能够使与是同类最简二次根式的x值是（　　）
A． B． C．或 D．不存在
（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）
29．下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）
30．若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是 ．
（2022春·河南周口·八年级统考期末）
31．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ．
（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）
32．阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
知识点05 二次根式的应用
【知识点】
二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【典型例题】
例1．（2022·八年级单元测试）
33．将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，，；
，，4，，；
…
若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（　　）
A． B． C． D．
例2．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）
34．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．18 D．
例3．（2022秋·全国·八年级专题练习）
35．如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽为 ．
【即学即练】
（2023春·八年级单元测试）
36．如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2022春·山东淄博·七年级统考期末）
37．如图，已知中，，，是上的中点，点，分别在，上，且，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）
38．一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程为 ．
（2022春·福建泉州·八年级校考期中）
39．如图，在中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，，垂足为D，，垂足为E，连接MD，ME．若，连接DE，则周长的最小值为 ．
（2021春·四川凉山·八年级校考期中）
40．已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
题组A 基础过关练
（2021春·河南新乡·八年级校考期中）
41．下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·重庆·九年级校考期末）
42．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
43．如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
（2021秋·河北石家庄·八年级统考期末）
44．若，则的结果是（　　）
A． B． C． D．
（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）
45．若与的被开方数相同，则 ．
（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）
46．如果和小数部分分别为a，b，那么 ．
（2022秋·上海·八年级校考期中）
47．若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为 cm（保留根式）．
（2022秋·江苏·八年级统考期中）
48．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为 km．
（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）
49．计算：
(1)．
(2)．
（2021秋·河北邯郸·八年级校考期末）
50．计算：
(1)；
(2)．
题组B 能力提升练
（2023春·八年级单元测试）
51．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）
52．下列运算正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）
53．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）
54．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的速度是（ ）
A．海里/小时 B．20海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时
（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）
55．化简： ．
（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）
56．当时，则代数式的值为 ．
（2023秋·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）
57．若两个代数式M与N满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）
58．如图，点是的平分线上的一点，过点作交于点，，若，，则
（2023春·八年级单元测试）
59．阅读下列材料，并回答问题：
，即，
的整数部分为3，小数部分为．
(1)仿照上述方法，求的整数部分与小数部分；
(2)设的整数部分为，小数部分为，求的值．
（2023秋·山西运城·八年级统考期末）
60．阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴ ，∴，
∴．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．
题组C 培优拔尖练
（2022秋·四川雅安·八年级统考期末）
61．设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．一个无理数
（2022秋·重庆万州·九年级校联考阶段练习）
62．观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（ ）
A． B． C．2021 D．2022
（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）
63．如图，在中，，，点D是AB的中点，将沿着CD翻折到的位置，若，则（ ）
A． B．10 C．15 D．
（2022·全国·八年级专题练习）
64．如图，在中，，，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（　　）
A． B． C． D．
（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）
65．满足等式的正整数对的个数有 个
（2023秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）
66．如图，中，，，D为线段上一动点，连接，连接，则的最小值为 ．
（2023春·湖南常德·八年级校考期末）
67．已知x＝，y＝，= ．
（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）
68．已知，则的值为 ．
（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）
69．阅读材料，黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，像和这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化，解决问题．
(1)的一个有理化因式是______，分母有理化结果是______．
(2)计算：．
(3)比较大小：______．
（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）
70．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得　　，　　；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空：　　　　　　　　；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．
【详解】解：A、，故正确；
B、，故错误；
C、3，计算正确，故正确；
D、，故正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟记二次公式的性质．
2．B
【分析】根据第一行和第三行列式进行计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与除法的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．
3．
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则即可化简．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4．A
【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．无法合并，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
5．D
【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④．
【详解】解：，所以①正确；
，所以②正确；
因为，则，所以③正确；
与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．
6．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答．
【详解】解：∵，
∴与互为有理化因式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．解决本题的关键是掌握二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
7．
【分析】先确定出涂色部分为等腰直角三角形，求出直角边的长度，即可求解．
【详解】根据题意可知，涂色部分为等腰直角三角形，
∵七巧板拼成的正方形的边长为，且由图可知涂色部分斜边长度是正方形边长的一半，
∴涂色部分的斜边长为，
∴涂色部分直角边长都为，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查学生对七巧板中等腰直角三角形性质知识点的掌握，解题的关键是正确求得等腰直角三角形的直角边的长度．
8．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（2）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
（3）先将二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算即可得到结果
（4）先将二次根式用平方差公式和完全平方公式展开，然后进行二次根式的加减运算即可得到结果
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键
9．D
【分析】根据二次根式的加减乘除运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、3，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
10．A
【分析】根据二次根式的性质一一判断即可．
【详解】解：，，，，，，
计算正确的有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．6
【分析】先估算的取值范围，从而求出a，b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
12．A
【分析】先根据三角形的三边关系判断第三条边的长度，然后再求周长．
【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，，，这不满足三角形的三边关系；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为．
综上可知，三角形的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论和三角形三边关系，通过二次根式的比较确定第三边的长度，再求周长．
13．B
【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可．
【详解】解：
，
甲正确；
，
，
，
解得，
，乙错误；
，
，
，
丙正确；
已知，
，
，
，
则，
丁错误；
，
戊正确，
正确的有甲丙戊，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化．
14．
【分析】由于，则，，然后代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
15．3
【分析】根据a，b，c两两的差是个常数，构造完全平方公式求值．
【详解】解：由题意得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2．
∴
＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查求代数式的值，找到a，b，c的关系，利用完全平方差公式计算是求解本题的关键．
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可；
（2）先分母有理化再进行加减计算即可；
（3）先分母有理化，得到，从而可得，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
（3）解：，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先化简再求值，运用整体代入的方法简化计算．
17．A
【分析】先化简，根据最简二次根式的定义可得，解方程组即可求解．
【详解】解：∵，最简二次根式与二次根式可以合并成项，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键．
18．D
【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：，
与最简二次根式能合并，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
19．2
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：当时，，不是最简二次根式，
当时，，是最简二次根式，
∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
20．D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
21．D
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．
【详解】根据题意可知，
解得：，
∴．
故选D．
【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
22．3
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：a＝3．
故答案为：3.
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
23．2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：
∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
24．，，.
【分析】由A、B、C是可以合并的最简二次根式可得A、B、C的被开方数相等，由此可得关于a、b的方程，解出a、b的值后，即可求出的值.
【详解】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，
∴ .
∴，则，，且.
∴，则.
故.
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义以及合并同类二次根式的法则，正确理解题意，得出关于a、b的方程是求解的关键.
25．B
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：A.不是的同类二次根式，故不符合题意；
B. 是的同类二次根式，故符合题意；
C.不是的同类二次根式，故不符合题意；
D. 不是的同类二次根式，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫作同类二次根式是解题的关键．
26．A
【分析】根据题意可知最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并，
∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，正确理解题意得到最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式是解题的关键．
27．3
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再解出m即可．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．
28．A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
29．C
【分析】根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【详解】A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
30．
【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，
【详解】解：由题意可得：，解得
的平方根为
故答案为：
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
31．1
【分析】由最简二次根式与是同类二次根式，可得，再解方程组可得答案．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴
由①得：
把代入②得：
∴方程组的解是
故答案为：1
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，理解“同类二次根式的含义，再建立方程组”是解本题的关键．
32．1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解：与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
33．C
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】解：这组数据可表示为：,…
∵，
∴为第4行，第3个数字．
故选：C．
【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．
34．A
【分析】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵a=5，b=6，c=7，
∴，
则S=．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
35．
【分析】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出=75，=3，进而得到a+b=5，a-b=，求出b即可．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则有=75，=3，
所以a+b=5，a-b=，
所以b=2，
即矩形的宽AB为2，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，二次根式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
36．D
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
37．C
【分析】连接AD，先证出△ADE≌△CDF（SAS），得出DE=DF，∠EDF=90°，再由勾股定理得，当DE⊥AB时，DE最小，则EF最小，此时，即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AB=4，
∴∠B=∠C=45°，，D是BC上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，AD=BD=CD，∠DAE=∠CAD=45°，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF中，
∵AD=CD，∠C=∠DAE，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADC=∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°，
∴，
当DE⊥AB时，DE最小，则EF最小，
此时，
∴EF的最小值为．
故选：C
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是准确作出辅助线，证出△ADE≌△CDF．
38．10
【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可．
【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母，
①情况一：经过前侧和右侧，如图所示，
∴；
②情况二：经过前侧和上侧，如图所示，
∴，
∴，
故蚂蚁爬行的最短路程为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理是解题的关键．
39．##
【分析】根据直角三角形的性质可得∠DAM=∠ADM，∠AEM=∠EAM，DM=EM，从而得到∠DME=2∠BAC，从而得到∠MDE=∠MED=30°，过点M作MN⊥DE于点N，则DE=2DN，可得，从而得到周长为，进而得到当AP最小时，周长最小，此时AP⊥BC，再求出AP的长，即可求解．
【详解】解：∵，，点M是AP的中点，
∴， ，
∴∠DAM=∠ADM，∠AEM=∠EAM，DM=EM，
∴∠DME=∠DMP+∠EMP=∠DAM+∠ADM+∠AEM+∠EAM=2（∠DAM+∠EAM）=2∠BAC，
∵，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
∴∠DME=120°，
∵DM=EM，
∴∠MDE=∠MED=30°，
如图，过点M作MN⊥DE于点N，则DE=2DN，
∴DM=2MN，
∴，
∴，
∴周长为DM+EM+DE=，
∴当AP最小时，周长最小，此时AP⊥BC，
∵∠B=45°，
∴∠BAP=∠B=45°，
∴AP=BP，
∵，，
∴AP=6，
∴周长的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意得到周长为是解题的关键．
40．(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）依据三条边的长度分别是，，，即可得到当时，的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
（3）依据（2）可得，且，由于x为整数，且要使取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当是，，，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
（2）解：由题知：，
解得：，
∴，，
∴
．
（3）解：∵，且，
又∵x为整数，且有最大值，
∴，
∴当时，三边长度分别为1，4，，但，不满足三角形三边关系
∴x≠4
当时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时的最大值为7，
不妨设，，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
41．D
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
B、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
C、与的被开方数不相同，故与不是同类二次根式；
D、与的被开方数相同，故与是同类二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
42．D
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可做出判断．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
43．B
【分析】求出的长度，再求出点C所表示的数．
【详解】解：，
∵，A所表示的实数为，点C在点A的右侧，
∴点C所表示的数为：，
故选：B．
【点睛】考查数轴表示数的意义，准确进行计算是解决问题的关键．
44．A
【分析】先合并同类二次根式，再把代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“合并同类二次根式的法则”是解本题的关键．
45．
【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
46．3
【分析】先估算，进而求得、的值，再代值计算便可．
【详解】解：，
，，
和小数部分分别为，，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
47．
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.
【详解】解：由题意可得：长方形宽，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.
48．
【分析】根据，，，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
49．(1)
(2)
【分析】（1）先计算零指数幂、算术平方根、平方和绝对值，再计算加减法即可的得到结果．
（2）先算乘除法，再将二次根式化为最简二次根式，最后算加减法即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算、零指数幂，解题的关键在于熟练掌握各运算法则．
50．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
51．D
【分析】利用已知，代入求值即可．
【详解】解：，
当，时，
，，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减．
52．C
【分析】根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：①不能合并，故错误；
②，故正确；
③，故正确；
④，故正确；
⑤，故错误；
⑥，故错误；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，零指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．
53．D
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：
故选: D.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确化简二次根式是解题关键．
54．C
【分析】由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由条件得：（海里），（海里），
而，
∴ （海里），
∴乙轮船的速度是（海里/小时）．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，方向角的概念，二次根式的化简，关键是应用勾股定理求出的长．
55．##
【分析】先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是：先把除法运算转化为乘法运算．
56．2021
【分析】先由已知条件分母有理化得，再变形为，两边平方化为，然后利用整体代入的方法即可求解．
【详解】解：
，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用整体代入的方法可简化计算．
57．
【分析】根据新定义直接求出 的结果即为答案．
【详解】解：，
∴的“互为友好因式”是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．
58．
【分析】作，则，由等腰三角形的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作，如下图：
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在中，，，
∴
∴，
由勾股定理得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，二次根式的化简，等腰三角形的判定与性质以及含直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
59．(1)的整数部分为6，小数部分为
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据无理数估算方法解答即可；
（2）先估算，得到，，再代入计算即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分为6，小数部分为；
（2），即，
的整数部分为，小数部分为，
，
即的值是．
【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，正确掌握无理数的估算方法及二次根式混合运算法则是解题的关键．
60．
【分析】先利用分母有理化化简a,再利用完全平方公式求出的值，最后整体代入．
【详解】解：
，
，
，
即，
，
，
，
即的值为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
61．A
【分析】先确定出m，n的值，再通过计算求解此题．
【详解】解：∵的整数部分是1，
∴的小数部分是，
即，
∵的整数部分是2，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．
62．C
【分析】首先利用已知化简二次根式，进而结合平方差公式计算得出答案．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，平方差公式，正确化简二次根式是解题的关键．
63．C
【分析】设相交于点O，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得：，由翻折的性质得，根据平行线的性质可得，利用可得,则，根据勾股定理求出，即可得的值．
【详解】解：设相交于点O，如图所示：
在中，，，点D是AB的中点，
，
由翻折得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握其相关的性质．
64．B
【分析】过A作于G，过B作于H，依据等腰三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后依据面积法即可得出的长，进而得到点B到线段的距离．
【详解】解：如图，过A作于G，过B作于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，， 由折叠的性质得：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴中，，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理的运用，二次根式的除法运算，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
65．8
【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案．
【详解】解：等式可变为：
，
∵，
∴，
即，
∴，
则正整数对可以是：
，，，，，，，，
∴满足已知等式的正整数对共有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
66．##
【分析】如图，取中点G，，，求解，可得，即当点H在线段上时，取最小值，从而可得答案．
【详解】解：如图，取中点G，，
∵，点G是中点
∴，
在中，，
结合，可得，
即当点H在线段上时，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，三角形三边关系的应用，熟练地确定取最小值时的位置是解本题的关键．
67．
【分析】先分母有理化，求出，的值，再同分根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分母有理化，整式的混合运算，异分母分式加减法，完全平方公式的变形计算，正确掌握各知识点是解题的关键．
68．
【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．
69．(1)；
(2)1
(3)>
【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先求出与的倒数，再比较落后两数倒数的大小，然后根据两正数，倒数大的反而小得出答案．
【详解】（1）解：∵
∴的一个有理化因式是，
∵
∴分母有理化结果是；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，比较无理数大小，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、分母有理化，利用倒数法比较无理数的大小是解决问题的关键．
70．(1)
(2)，
(3)a的值是7或13
【分析】（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组，的值，结合（1）算出，的值即可；
（3）由，可得，即得，或，，代入，可得的值为13或7．
【详解】（1），
，
，，
故答案为：，；
（2）当，时，，，
，，，，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）；
（3），
，，
，
，均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为13或7．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．
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