2.1一元二次方程 同步讲义（含解析）八年级数学下册浙教版

专题2.1 一元二次方程
1.掌握一元二次方程的概念与一般形式，学会将方程化简成一般形式；
2.掌握一元二次方程的解的概念，学会求一元二次方程的解；
知识点01 一元二次方程的概念
【知识点】
知识点认识一元二次方程；
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 （为常数，）的整式方程叫一元二次方程．
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程（分母不含未知数的方程）．如：是分式方程，所以不是一元二次方程．
②、只含有一个未知数．
③、未知数的最高次数是2次．
【典型例题】
（2020秋·甘肃白银·九年级校考期中）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）
2．若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）
3． 为何值时，关于 的方程 ：
(1)是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，并求出对应方程的解．
【即学即练】
（2022秋·四川成都·九年级校考期中）
4．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·河南漯河·九年级统考期中）
5．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）
6．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．不能确定
（2022秋·山东青岛·九年级统考阶段练习）
7．若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是 ．（写出一个方程即可）
（2022·山东潍坊·模拟预测）
8．定义运算a b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的( )
A. 2 5＝－15； B. 不等式组的解集为x＜－；
C. 方程2x 1＝0是一元一次方程； D. 方程 x＝+x的解是x＝－1．
（2022秋·全国·九年级专题练习）
9．方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0
(1)m为何值时，方程是一元二次方程；
(2)m为何值时，方程是一元一次方程．
知识点02 一元二次方程的一般形式
【知识点】
知识点：一元二次方程的一般形式：
一般形式：（），系数中，一定不能为0，、则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：
①、如果，则得，例如：；
②、如果，则得，例如：；
③、如果，则得，例如：；
④、如果，则得，例如：．
其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项．任何一个一元二次方程经过整理（去括号、移项、合并同类项…）都可以化为一般形式．
【典型例题】
（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）
10．将一元二次方程化为一般形式（，，，为常数），其中的值是（ ）
A． B． C．6 D．18
（2022秋·广东深圳·九年级期末）
11．把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则常数项是 ．
（2022秋·全国·九年级专题练习）
12．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
【即学即练】
（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）
13．方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，0 C．3，，0 D．3，
（2022秋·九年级单元测试）
14．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．和 B． C． D．
（2022·全国·九年级专题练习）
15．将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
（2022秋·天津西青·九年级校考期中）
16．将一元二次方程化成的形式则 ．
（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）
17．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
（2021秋·全国·九年级专题练习）
18．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）；
（2）．
知识点03 一元二次方程的解
【知识点】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
【典型例题】
（2023秋·北京东城·九年级统考期末）
19．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．
（2022秋·广西北海·九年级统考期中）
20．若m是方程的一个根，则的值为 ．
（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）
21．已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值．
【即学即练】
（2022秋·云南曲靖·九年级校联考期中）
22．已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A． B．4044 C． D．
（2022秋·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）
23．已知m是方程的根，则式子 的值为（ ）
A．2015 B．2014 C．2013 D．2012
（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）
24．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．无法求解
（2022秋·北京房山·九年级校考阶段练习）
25．已知代数式．
(1)化简代数式；
(2)若m是方程的一个根．求代数式的值．
题组A 基础过关练
（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）
26．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）
27．方程化为一般形式后的一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．， B．，10 C．8， D．10，8
（2022秋·河南·九年级校考阶段练习）
28．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·河南周口·九年级校考期中）
29．若是方程的一个根，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
（2022秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）
30．若一元二次方程有一根为，则的值为 ．
（2022秋·陕西汉中·九年级校考阶段练习）
31．m＝ 时，关于x的方程是一元二次方程．
（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期中）
32．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
（2022秋·广东汕头·九年级校联考期末）
33．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ．
（2023春·八年级课时练习）
34．判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
（2021秋·全国·九年级专题练习）
35．如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
题组B 能力提升练
（2023秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）
36．一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，1，3 B．0，1，3 C．1，0，3 D．1，0，
（2023秋·宁夏中卫·九年级统考期末）
37．已知关于x的方程的一根为2，则另一个根是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
（2020秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）
38．观察下表，估计一元二次方程的正数解在（ ）
0 1 2 3 4
4 11 20
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
（2022秋·四川南充·九年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）
39．若是关于x的方程的一个解，则（　　）
A． B． C． D．6
（2022秋·新疆喀什·九年级校考期末）
40．若是关于x的方程的一个根，则 ．
（2022秋·甘肃酒泉·九年级校考期末）
41．已知是关于的方程的一个根，则 ．
（2020秋·甘肃白银·九年级校考期中）
42．方程转化为一元二次方程的一般形式是 ．
（2022秋·全国·九年级期中）
43．已知m为方程的一个根，那么的值为 ．
（2022春·八年级课时练习）
44．填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
（2021秋·四川巴中·九年级南江县第四中学校考阶段练习）
45．已知关于x的方程．
(1)当m取何值时，是一元二次方程；
(2)当m取何值时，是一元一次方程．
题组C 培优拔尖练
（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）
46．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
（2022秋·湖南湘西·九年级统考阶段练习）
47．若关于的一元二次方程为的一个解是，则的值是（ 　）
A． B． C． D．
（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）
48．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2019
（2022秋·九年级单元测试）
49．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
（2022秋·全国·九年级专题练习）
50．方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）
51．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）
52．已知m为方程的根，那么的值为 ．
（2022秋·四川内江·九年级校考期中）
53．已知a是方程的一个根，则代数式的值为：
（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）
54．已知一元二次方程 ，
(1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）
55．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、代数式不是方程，此项不符题意；
C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不满足一元二次方程的定义，此项不符题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义，是解题关键．
2．2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程
∴，解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，解题的关键是特别要注意的条件．
3．(1)．
(2)，．
【分析】（1）将方程整理为：，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程；
（2）将方程整理为的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，求出的值，再解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
整理得：，
∴当，即时，方程为一元二次方程．
（2）解：由（1）知，方程为：，
∴当，即时，方程为一元一次方程，
此时方程变为：，
∴，解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键．
4．A
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A．，是一元二次方程，正确；
B．，不是整式方程，不是一元二次方程，错误；
C．，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，错误；
D．，含有二个未知数，不是一元二次方程，错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．B
【分析】由，得到，根据方程的定义，即可得到结果
【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键
6．B
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程，即可列出式子，求解即可．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得，，
故，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
7．（答案不唯一）
【分析】直接利用一元二次方程的解写成符合题意的一个方程即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数的一个一元二次方程可以是： ，
整理得．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、方程的根等知识点，正确掌握一元二次方程解是解题关键．
8．AD
【分析】根据定义的运算规则a b＝a2－2ab+1，对各选项逐一进行计算判断，即可得到答案．
【详解】解：A．2 5=22-2×2×5+1=-15，故A正确；
B．不等式组等价于，解得该不等式组无解，故B错误；
C．2x 1=（2x）2-2×2x×1+1=4x2-4x+1＝0是一元二次方程，故C错误；
D． x＝=+x则x=-1，故D正确；
故答案为：AD．
【点睛】本题考查了不等式组的解集、实数的运算、一元二次方程的定义等，其中利用a b＝a2－2ab+1是解题关键，本题对计算要求较高，要求学生具备观察仔细、计算细心等品质．
9．(1)m＝﹣3
(2)3或±2或±
【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案；
（2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案；
【详解】（1）解：根据题意，则
∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程，
∴且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．
故m为﹣3时，原方程是一元二次方程；
（2）解：根据题意，则
∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或，
解得m＝3或m＝±2或m＝±
故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算．
10．A
【分析】将一元二次方程转化为一般形式，再进行判断即可．
【详解】解：，
整理，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式．正确将方程转化为一般式，是解题的关键．
11．
【分析】先将方程左边展开，再移项，化成一般式，即可得出常数项．
【详解】解：∵
∴，
∴常数项是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握，叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项，叫一次项，c是常数项是解题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1），
设，
，
∴，
解得：，
∴，
则方程为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
则方程为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．
13．C
【分析】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是、一次项系数是、常数项是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项系数；叫做一次项系数；叫做常数项．
14．D
【分析】根据的形式去判断即可．
【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
15．A
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，
一次项系数、常数项分别是-5，1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
16．1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为，
故，
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
17．-1
【分析】根据一元二次方程的定义得出k 1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k 1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝ 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
18．（1），二次项系数是3、一次项系数是、常数项是2；（2）化为，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是
【分析】一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．
【详解】解：（1）∵化为一般形式为，
∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；
（2）∵化为一般形式为 ，
∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
19．C
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键．
20．2037
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2037．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及整体代入的方法，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入的方法时解题的关键．
21．4
【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
∵是关于x的方程的一个根，
∴．
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解．
22．B
【分析】根据方程根的定义，把代入方程中得到，即，整体代入即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把代入方程中，
，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将代入方程中得到是解决问题的关键．
23．A
【分析】由题意，得到，然后整理化简，进行降次，然后计算，即可求出答案．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，
∴，
∴
；
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法进行解题．
24．A
【分析】变号后将转换成利用整体思想解题即可．
【详解】解：∵可转化为，方程的解是，，
∴或，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可
（2）根据方程的根得到，然后代入代数式即可
【详解】（1）解：
（2）∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的根，能够熟练的使用整式的运算法则进行计算是解决问题的关键
26．A
【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可．
【详解】解： ，当，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；
满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；
分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；
未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；
化简后为，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；
所以正确的只有②共1个，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
27．A
【分析】先把方程化为一般式为，然后确定一次项系数和常数项．
【详解】解：方程化为一般式为，
所以一次项系数、常数项分别是，．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．
28．B
【分析】根据一元二次方程的定义，方程中最高次项的指数为，二次项系数不能为零， 由此即可求解．
【详解】解：方程中最高次项为，且次数为二次，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
29．D
【分析】将代入方程得：，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴将代入方程得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握方程解的定义是解本题的关键．
30．
【分析】直接把代入一元二次方程中即可得到的值．
【详解】解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；关键是把方程的解代入方程并正确计算．
31．1
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
32．
【分析】将代入方程求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根,
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键．
33．2018
【分析】把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【详解】解： 把代入方程中得：
，
∴，
∴
，
故答案为：2018．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
34．②③⑥.
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①不是方程；
④ 不是整式方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程，
②③⑥符合一元二次方程的定义．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
35．﹣1
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】由题意，得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0．
解得m＝﹣1．
即m的值是﹣1．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
36．C
【分析】根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，0，3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
37．D
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入得到关于m的方程，然后解关于m的方程，然后再解方程即可．
【详解】把代入得：
解得：
∴
则
，
则另一个根是
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是将代入得到关于m的方程．
38．C
【分析】由表格可发现的值和4最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
39．B
【分析】把代入方程，可得，从而得到，再代入，根据负整数指数幂计算，即可求解．
【详解】解：把代入方程得∶
，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，负整数指数幂，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
40．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
41．2023
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
42．
【分析】方程左边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并即可得到一般形式．
【详解】解：方程转化为一元二次方程的一般形式是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
43．0
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再用m表示得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
【详解】解：∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
44．见解析
【分析】将方程化为一般形式，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，由此可解．
【详解】解：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
2
0
3
【点睛】本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．
45．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的定义列式求解即可；
（2）根据一元一次方程的定义列式求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
即时，是一元二次方程；
（2）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，且，
∴，
即时，是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程；只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
46．D
【分析】把代入方程得即可解得．
【详解】把代入方程得，
解得．
故选：D．
【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．
47．A
【分析】把代入方程得到，再把变形为，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵的解是，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
48．D
【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可．
【详解】解：原式化简为：，则有，
∵一元二次方程的一个根是，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键．
49．D
【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021．
【详解】由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
50． 6
【分析】先将化成一般式，再确定二次项系数即可．
【详解】解：，
，
，
．
故一般形式为：，二次项系数为：6．
故答案为：，6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式：（，a，b，c为常数）．叫二次项，a叫二次项系数；叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键．
51．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体代入的运用是解题的关键．
52．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．
53．
【分析】根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
把上面的两个式子代入原式求解，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．
54．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入方程即可得出答案；
（2）把代入方程即可得出答案；
（3）把代入方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入方程得：，
∴，，之间的关系是：；
（2）把代入方程得：，
∴，，之间的关系是：；
（3）把代入方程得：，
∴常数项．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
55．(1)是
(2)
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解；
（2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解．
【详解】（1）解：∵
这里，，
∴，
∴是“勾系一元二次方程”．
（2）解：当时，有，
即，
∵四边形的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键．
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